카펠리의 정체

In mathematics, Capelli's identity, named after Alfredo Capelli (1887), is an analogue of the formula det(AB) = det(A) det(B), for certain matrices with noncommuting entries, related to the representation theory of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. It can be used to relate an invariant ƒ to the invariant Ωƒ여기서 Ω은 Cayley의 Ω 프로세스다.

성명서

i,j = 1, ...,n에 대한 x가_ij 통근 변수라고 가정하자.양극화 연산자를 위해_ij E 작성

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}$

카펠리 아이덴티티에는 결정요인으로 표현되는 다음과 같은 미분 연산자가 동일하다고 명시되어 있다.

${\displaystyle{\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&, \cdots &.E_{1,n-1}&.E_{1n}\\\vdots, \ddots &, \vdots &, \vdots \\E_{n-1,1}&, \cdots &, &.E_{n-1,n-1}+1&.E_{n-1,n}\\E_{n1}&, \cdots &.E_{n,n-1}&.E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&, \cdots, x_{1n}\\\vdots &, \ddots &, \vdots \\x_{n1}&, \cdots & &, x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac{\partial}{\partial x_{11}}}&\cdots.&{\frac{\frac}{\frac_{1n}}\\vdots &\\vdots &\\vdots \\\\frac {}{\propert x_{n1}}}\cdots &{\frac{\preason x_{n}}\end{vmatrix}}}.}$

양쪽 모두 차등 연산자다.왼쪽의 결정요인은 비고정 항목을 가지며, "좌우" 순서를 보존하는 모든 용어로 확장된다.이러한 결정요소는 첫 번째 열에서 시작하는 결정요소의 열팽창에 의해 얻을 수 있기 때문에 종종 열결정요인이라고 불린다.라고 정식으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \det(A)=\sum _{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1,1)A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n}$

제품에서 첫 번째 열에서 원소들이 먼저 나오고, 그 다음 두 번째 열에서 원소들이 나온다.맨 오른쪽의 결정요인은 케일리의 오메가 과정이고, 왼쪽에 있는 것은 카펠리 결정요인이다.

연산자 E는_ij 매트릭스 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle E=XD^{t}}$

여기서 $E{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$, D ${\displaystyle E,X,D}$은(는$$) 각각 E_ij, x_ij, ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ x ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\$요소가 있는 행렬이다$$.만약 이러한 행렬의 모든 요소가 동일하다면${\displaystyle ,}$ 명확하게 ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle E}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle det}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle det}$ (Det)$$det (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$) $displaystyle \det(E)=\det(X)\det(D^{t$카펠리의 정체성은 비확실성에도 불구하고 위 공식의 "양"이 존재한다는 것을 보여준다.비고정률의 유일한 가격은${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 왼편에 있는$$ 작은 보정이다.일반 비확정 행렬 공식의 경우:

$[\displaystyle \det(AB)]=\det(A)\det(B)}$

존재하지 않으며, '상속적'이라는 개념 자체가 일반적 비확정적 매트릭스에 대해서는 이치에 맞지 않는다.그것이 카펠리의 정체성이 그것에 대해 제시된 많은 증거들에도 불구하고 여전히 약간의 미스터리를 담고 있는 이유다.아주 짧은 증거는 존재하지 않는 것 같다.진술에 대한 직접 검증은 n = 2에 대한 연습으로 할 수 있지만 n = 3에 대해서는 이미 긴 편이다.

대표이론과의 관계

다음과 같은 좀 더 일반적인 상황을 고려해 보십시오.$n{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle n}$과 m ${\displaystyle m}$이$($가) 두 정수이고$$ i = ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$, j${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{j}}$ = ${\displaystyle 1}$ , m${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle$ i$=1,\dots,m}$에 대해$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이 출퇴근 변수라고 가정하자.거의 동일한 공식으로$$ E ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 재정의하십시오.

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}$

합계 지수 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이(가) $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$에서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 사이의 유일한 차이점을 가지고 있다$.$ 이러한 연산자가 정류 관계를 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}}E_{kj}.~~~~~~~~~~~~}$

여기서 [ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$은 정류자 $a{\displaystyle }$ - ${\displaystyle b}$ $displaystyle ab-ba}$을(를$)$ 나타낸다$$$.$이는 1이$$서 있는 위치${\displaystyle (i}$ ,${\displaystyle j}$ $){\displaystyle e_{ij}$를 제외한 모든 곳에 0이 있는 행렬$$ $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ij$}}$에 의해 충족되는 동일한 정류 관계다.(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 매트릭스 단위라고도 한다$$.따라서 $대응성{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle {\mathrm{ei}}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$e ${\displaystyle {\mathrm{Ei}}_{}}$ j$${\$displaystyle \pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}}}}$은(는$)$ x i j {\$displaystyle x_{ij$의 다항식 벡터 공간에서$$ $Lie{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{대수}}_{}}$ g l {${\displaystyle n_{}}$ ${\\daystytymathfrace{g}$의 표현을 정의한다$$.

사례 m = 1 및 표현 Sⁿ C^k

특수 사례 m = 1을 고려하는 것이 특히 유익하다. 이 경우 x로_i 약칭되는 x가_i1 있다.

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}.}$

특히 제1도 다항식의 경우 다음과 같이 본다.

${\displaystyle E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}.~~~~~~~~~~~~~~}$

따라서 1차 다항식의 공간에 $국한$된 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 작용은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ $e_{ij}$의 벡터에 대한$$ 매트릭스 $단위{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ e_${ij}$의 작용과 정확히 동일하므로, 표현 이론상 다항식의 하위 공간은 다음과 같다$.$1도는 Lie 대수 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$의 하위표시로, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 표준표현과 동일시$.$ 더 나아가 차등 연산자 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 p의 정도를 보존하고$$ 있는 것으로 보인다.olynomials, and hence the polynomials of each fixed degree form a subrepresentation of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. One can see further that the space of homogeneous polynomials of degree k can be identified with the symmetric tensor power ${\displaystyle S^{k}\mathbb {C} ^{n}}$$$ 표준 표현 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 $.$

또한 이러한 표현 중 가장 높은 중량 구조를 쉽게 식별할 수 있다.단수 $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 실제로 최고 중량 벡터로서, i <j>의$$ 경우 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E_{ij}x_{1}^{$1}^{$k}=0}$이다.이것의 가장 높은 무게는 (k, ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ... ,0), 정말: ${\displaystyle {\mathrm{Ei}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}^{1$}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{$1}^{$k}}}$와 같다$.$

Such representation is sometimes called bosonic representation of ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. Similar formulas ${\displaystyle E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}}$ define the so-called fermionic representation, here ${\displaystyle \psi _{i$$}}}$은(는) 반선호도 변수다$$.Again polynomials of k-th degree form an irreducible subrepresentation which is isomorphic to ${\displaystyle \Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}}$ i.e. anti-symmetric tensor power of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Highest weight of such representation is (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0).k = 1, ..., n에 대한 이러한 표현은 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 기본적인 표현이다$.$

m = 1에 대한 카펠리 아이덴티티

카펠리의 정체성으로 돌아가자.다음과 같은 것을 증명할 수 있다.

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij}=0,\qquad n>1}$

${\displaystyle {일부}_{}^{}}$ 통근 변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$$$ {\$displaystyle e_{ij$$}^{c}=x_{i}p_$${j$을(를) 고려하십시오$.$행렬 $E{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\$는 순위 1이므로$$ 결정 인수는 0과 같다.행렬 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 요소는 유사한 공식에 의해 정의되지만 그 요소는$$ 통근하지 않는다.카펠리 ${\displaystyle {아이덴티티}^{}}$를 보면 정류자 ID: det(${\displaystyle \mathrm{E}}$ c${\displaystyle }$) =$$0$displaystyle \det(E^{c$}}=0$}은($는) $매트릭스{\displaystyle }$ E ${\\displaystyle$E}을${\displaystyle (}$는 -${\displaystyle }$i ) ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j$${\$displaystystyle (n-i$)\$delta _{{$ij$$$\}\}\}\}\}\}.$

또한 특성 다항식에도 유사한 정체성이 부여될 수 있다는 점을 언급하자.

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij}=t^{[n]}+\mathrm {Tr}(E)t^{[n-1]}},~~~}$

$여기$서 t${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$= ${\displaystyle t}$( ${\displaystyle t}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdots }$( t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle t^{[k]=t+1)\cdots (t+k-1$이에 대한 상쇄는 순위 = 1 행렬의 경우 특성 다항식이 첫 번째 계수와 두 번째 계수만 포함한다는 단순한 사실이다.

n = 2에 대한 예를 생각해 보십시오.

${\displaystyle {\begin{aigned}&#{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&, t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&, x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&, t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&, =(t+x_{1}_{1}+1\partial)(t+x_{2}_{2}\partial)-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _ᆾ\\[6pt]&, =t(t+1)+t(x_{1}_{1}+x_{2}\partial_{2}\partial)+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_.{2}\partial _{2}-x_{2}\properties _{1}x_{1}\properties _{2}\end{aigned}}}$

사용.

${\displaystyle \property_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}\properties_{1}x_{2}}\property_{1}x_{1}x_{2}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}}x_{1}}x_{1}}x_{1}}x_{1}}x_{1}:{1}:{1}$

우리는 이것이 다음과 같음을 안다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{정렬}}}$

범용포락 대수 U${\displaystyle ({\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{n}}_{}}$) ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}_{n}})$와 그 중심

카펠리 결정요소의 흥미로운 특성은 모든 연산자 E와_ij 통근한다는 것이다. 즉, 정류자${\displaystyle }$[${\displaystyle {\mathrm{Ei}}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle detector}$[${\displaystyle E}$+${\displaystyle }$(${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ) ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j${\displaystyle }$)${\displaystyle }$] = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [E_{ij}}}\det(E+(n-i)\delta _{ij}=0}$은 0과$$ 같다.일반화할 수 있는 항목:

모든 링에 있는 요소_ij E를 고려하십시오$.{\displaystyle }$ 이러한 요소가 정류 관계를 만족하는 경우 [${\displaystyle {\mathrm{Ei}}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}]}$ = ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ i ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$E_{kj$ (위의 미분 연산자, 매트릭스 단위 e 또는 다른_ij 원소가 될 수 있도록) 다음과 같이 요소 C를_k 정의한다.

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij}=t^{{ij}}+\sum _{k=n-1,\dots,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~~~~}$

여기서 $t{\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$= ${\displaystyle t}$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \cdots }$( t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t^{[k]=t+1)\cdots (t+k-1)}$

다음:

• 요소_k C는 모든 요소_ij E와 함께 통근한다.
• 요소 C는_k 상쇄 사례와 유사한 공식으로 제공될 수 있다.

${\displaystyle C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}}}\det(E+(k-i)\delta _{ij}}}}{{I}}}}}}}{{I=}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}II}}}$

즉, 이들은 행렬 E의 주요 미성년자 합계로서 카펠리 보정${\displaystyle +(k}$- i${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 특히 C 요소는₀ 위에서 고려한 카펠리 결정요인이다$.$

이러한 진술들은 아래에서 논의될 것처럼 카펠리 정체성과 상호 연관되어 있으며, 그것과 유사하게, 공식화의 단순함에도 불구하고 직접적인 몇 줄의 짧은 증거는 존재하지 않는 것 같다.

만능포락대수학

${\displaystyle U({\mathfrak {gl}_{n}})$

에 의해 생성된 대수로서 정의할 수 있다.

E_ij

관계를 맺을 수 있는.

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}}E_{kj}}$

위의 명제는 원소 Cbelong이_k $U{\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ $){\displaystyle$ U $({\mathfrak{gl}_{n}}}$의 중심에 있다는 것을 보여준다$.$실제로 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ $){\displaystyle$ U $({\mathfrak{gl}_{n}})$의 중심부의 자유 생성기임을 알 수 있다$.$그것들은 때때로 카펠리 발전기라고 불린다.그들을 위한 카펠리 신원은 아래에서 논의될 것이다.

n = 2에 대한 예를 생각해 보십시오.

${\displaystyle {\begin{aigned}{}}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}=(t+E_{11}+1)-E_{22}-E_{21}E_{12}\&=t+1)+t(E_{11}+E_{22}+}+}E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{정렬}}}$

요소(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {22}_{}}$) ${\displaystyle(E_{11}+E_{22}})$이 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$과(identity matrix가 다른 모든 행렬과 함께 통근한다는 것은 명백한 사실에 해당한다.보다 교훈적인 것은 ${\displaystyle {\mathrm{Ei}}_{}}$ j$${\$displaystyle E_{ij}}$와 함께 두 번째 원소의 동시성을 확인하는 것이다$.$ E ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$:

${\displaystyle [E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]}$

${\displaystyle =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}}]-[E_{12},E_{12},E_{12}]+][E_{12},E_{22}]}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}}}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.}$

우리는 순진한 결정요소 E ${\displaystyle {11}_{}}$ E ${\displaystyle {22}_{}}$- E ${\displaystyle {21}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ $(\$$E_{12}}}}$와 함께 통근하지 않을$$ 것이며, 카펠리의 보정${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 중심성을 보장하기 위해 필수적이다$$.

일반 m 및 이중 쌍

일반적인 사례로 돌아가 봅시다.

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}},$

임의 n과 m에 대해.사업자 Eij의 정의는 매트릭스 형태로:요소와 E)XD({\displaystyle E=XD^{t}}, E나는 j{\displaystyle E_{ij}요소와 E{E\displaystyle}은 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}행렬};X{X\displaystyle}은 n×m{\displaystyle n\times습니다.}매트릭스 작성할 수 있다.${\displaystyle x_{}}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$; D ${\displaystyle D}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ m ${\displaystyle n\times m}$ 행렬이며, elements${\displaystyle \frac{\mathrm{}{}_{}}{}}$ i ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\partial }{\partial x_{ij$

카펠리-카우치-비넷 정체성

일반 m 매트릭스 E는 X와 D로 전치되는 두 개의 직사각형 매트릭스의 곱으로 주어진다.만약 이러한 행렬의 모든 요소가 통근된다면, 사람들은 E의 결정요소가 X와 D의 미성년자를 통해 소위 Cauchy-Binet 공식으로 표현될 수 있다는 것을 안다.$수정$ $E{\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$+${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$- $i$) ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의 동일한 $경가$ 매트릭스 $E$에 대해서도 이 공식의 아날로그가 존재한다$.$

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{$$I}\det(D_{I}^{t$

특히 (교환 사례와 유사): m < n이면 ${\displaystyle det}$(${\displaystyle E}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$- i${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij}=0$ m = n이면 위의 ID로 돌아간다.

또한 상쇄 사례와 유사하게(미성년자의 경우 Cauchy-Binet 참조), E의 결정요인뿐만 아니라 X와 D의 미성년자를 통해서도 E의 결정요인을 표현할 수 있다는 점을 언급하자.

${\displaystyle \det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{$$IL}^{t$

여기서 K = (k₁ < ... k_2s), L = (l₁₂ < l < ... l_s))는 임의의 다중 지수로서, ${\displaystyle {통상적}_{}}$으로 M ${\displaystyle K_{}}$ L$${\$displaystyle M_${KL$}$은 _kalb M 원소에 의해 형성된 M의 서브트리스를 의미한다$$.이제 카펠리 교정에는 이전 공식과 같이 n이 아닌 s가 포함되어 있다는 점에 유의하십시오.s=1의 경우 수정(s - i)이 사라지고 X의 제품으로서 E의 정의만 얻어 D로 전치된다는 점에 유의한다.또한 일반 K,L에 해당하는 미성년자는 모든 요소_ij E로 통근하지 않기 때문에 카펠리 아이덴티티가 중심 요소에만 존재하는 것이 아니라는 점을 언급하자.

이 공식과 이전 절의 특성 다항식의 상관관계로서 다음을 언급할 수 있다.

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij}=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots,0t^{[k]}}\sum _{I,J}\det(X){{{}IJ}\det(D_{)JI}^{t}),}$

where ${\displaystyle I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),}$ ${\displaystyle J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)}$.이 공식은 왼손에는ⁿ modula${\displaystyle }$+ ${\displaystyle (n}$- ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$와^[n] 유사하다.

이중 쌍과의 관계

이러한 정체성에 대한 현대의 관심은 그의 환원 이중 쌍(Howe duality라고도 한다) 이론에서 그들을 고려했던 로저 하우에 의해 많은 자극을 받아 왔다.이러한 아이디어와 첫 접촉을 하기 위해서는 연산자 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 좀 더 정확하게 살펴보도록 하자$.$ 그러한 연산자는 다항식의 정도를 보존한다.도 1의 다항식: ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ x ${\displaystyle k_{}}$ l${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$ ${\$을(를) 살펴보자$.$ 우리는 지수 l이 보존되어 있음을 알 수 있다.One can see that from the representation theory point of view polynomials of the first degree can be identified with direct sum of the representations ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}}$, here l-th subspace (l=1...m) is spanned by ${\displaystyle x_{il}}$, i = 1,..., n. 이 벡터 공간에 대해 다시 한 번 봅시다.

${\displaystyle \mathb {C}^{n}\oplus \cdots \oplus \oplus \oplus \mathb {C}^{n}=\mathb {C}^{n}\otimes \mathb {C}.}$

그러한 관점은 m과 n의 대칭성에 대한 첫 번째 힌트를 준다.이 생각을 심화시키려면 다음을 고려하십시오.

${\displaystyle E_{ij}^{dual}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}}.}$

이러한 연산자는 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$모듈라$$ 리누멘션 i${\displaystyle }파운드{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle$$i_leftrightarrow$ $j}$와 동일한 공식으로 제공되므로$,$ 동일한 주장으로 ${\displaystyle {Ei}_{}^{}}$ j ${\displaystyle {\text{듀얼}}_{}^{}}$ ${\$}이(가$)$ Lie 대수 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}${${\displaystyle m_{}}$\$displaysty$}의 표현을 형성한다고$$ 추정할 수 있다$.$x의_ij 다항식 벡터 공간에서$$ $mathfrak{gl}_{m}}}.$ 더 나아가기 전에 다음 속성을 언급할 수 있다$.$ 차동 연산자 ${\displaystyle {Ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{듀얼}}_{}^{}}$ ${\$ 차동 연산자$$ E ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$ E_ $E_{kl}.$

Lie 그룹 G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G}$ L ${\displaystyle m_{}}$ ${\${n}\times GL_${m}}$은 벡터 공간 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {C$} ^{n}\times \m}$에 자연적으로 작용한다$$$$.One can show that the corresponding action of Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}}$ is given by the differential operators ${\displaystyle E_{ij}~~~~}$ and ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ respectively.이것은 이러한 운영자들의 공통점을 설명한다.

다음과 같은 더 깊은 속성이 실제로 참이 된다.

• ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $displaystyle E_{ij}~~}$과(와) 통근하는 유일한 차동 연산자는 ${\displaystyle {Ei}_{}^{}}$ j ${\displaystyle {\text{듀얼}}_{}^{}}$ ${\$의 다항식이며$,$ 그 반대의 경우도 마찬가지다.
• 다항식 벡터공간을 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ n$${\$displaystyle GL_{n}}$과($와$) ${\displaystyle G_{}}$ L$$m {\$displaystyle GL_{$m}의 수정불가 표현 텐서 생성물의 직접 합으로 분해하면 다음과 같이 제공할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathb {C}[x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathb {C} ^{m}=\sum _{D}\rho _{n}^{d}\otimes \rho _{m}^{d'}}.}$

요약은 영 다이어그램 D에 의해 색인화되며, 표현 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle D^{}}$ ${\$는 상호 비이형성이다.그리고 다이어그램 $D{\displaystyle }$ ${\$이(가) $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 결정하고$$$$ 그 반대의 경우도 마찬가지다.

• 특히 큰 그룹 G L ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle L_{}}$ m ${\$의 표현은$$ 다중성이 없으며, 각 표현은 한 번만 발생한다.

슈르-와일 이중성과 강한 유사성을 쉽게 관찰할 수 있다.

일반화

정체성과 그것의 일반화에 대해 많은 작업이 이루어졌다.대략 두 명의 수십 명의 수학자와 물리학자들이 이 주제에 기여했다. 하우, B. 코스탄트^[1][2] 필즈 메달리스트 A. 오쿤코프^[3][4] A. 소칼,^[5] D. 질베르거.^[6]

역사적으로 최초의 일반화는 1948년 Herbert Westren Turnbull에 의해 얻어진 것으로 보인다.^[7] 그는 대칭 행렬의 경우 일반화를 찾았다(현대 치료법은 참조^[5][6]).

다른 일반화는 몇 가지 패턴으로 나눌 수 있다.그들 대부분은 리 대수학 관점에 근거하고 있다.그러한 일반화는 Lie $대수{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ ${\${\$mathfrak{gl}_{n}}$를 단순한 Lie Algebras와^[8] 그 슈퍼^[9][10](q)^[11][12] 및 현재 버전으로 변경하는 것으로 구성된다.^[13]서로 다른 환원 이중 쌍에 대해 아이덴티티뿐만 아니라 일반화할 수 있다.^[14][15]그리고 마지막으로 매트릭스 E의 결정인자뿐만 아니라 그 힘과 임마넌트의 영구적인 ^[16]흔적도 고려할 수 있다.^{[3][4][17][18]}몇 개의 논문을 더 언급하자.^[19][20][21] 여전히 참고문헌^[23][24][25] 목록이 불완전하다.그 정체는 반단순 리 알헤브라와 밀접하게 연관되어 있다고 꽤 오랫동안 믿어 왔다.놀랍게도 2008년^[5] S. Caracciolo, A. Sportiello, A. D. Sokal에 의해 그 정체성에 대한 새로운 순수 대수적 일반화가 발견되었는데, 이것은 어떤 리 알헤브라와도 관련이 없다.

대칭 행렬에 대한 턴불의 ID

대칭 행렬 고려

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}x_{11}&, x_{12}&, x_{13}&, \cdots &, x_{1n}\\x_{12}&, x_{22}&, x_{23}&, \cdots &, x_{2n}\\x_{13}&, x_{23}&, x_{33}&, \cdots, x_{3n}\\\vdots, \vdots & &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\x_{1n}& &, x_{2n}&, x_{3n}&, \cdots &, x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac{\partial.}{\partial x_{11}}}&{\frac{\partial}{\partial x_{12}}}&{\frac{\partial}{\pa.Rtial x_{13}}}&\cdots &,{\frac{\partial}{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac{\partial}{\partial x_{12}}}&2{\frac{\partial}{\partial x_{22}}}&{\frac{\partial}{\partial x_{23}}}&\cdots &,{\frac{\partial}{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac{\partial}{\partial x_{13}}}&{\frac{\partial}{\partial x_{23}}}&2{\frac{\parti.알}{\partial x_{33}}}&\cdots &,{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$

1948년 허버트 웨스트렌 턴불은^[7] 다음과 같은 정체를 발견했다.

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij}=\det(X)\det(D)}$

조합 증명서는 논문에서 찾을 수 있으며,^[6] 또 다른 증거와 재미있는 일반화는 아래 토론도 참조한다.^[5]

비대칭 행렬의 Howe-Umeda-Kostant-Sahi 정체성

비대칭 행렬 고려

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}0&, x_{12}&, x_{13}&, \cdots &, x_{1n}\\-x_{12}&, 0&, x_{23}&, \cdots &, x_{2n}\\-x_{13}&, -x_{23}&, 0&, \cdots, x_{3n}\\\vdots, \vdots & &, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\-x_{1n}&, -x_{2n}&, -x_{3n}&, \cdots &, 0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&,{\frac{\partial}{\parti.알 x_{12}}}&{\frac{\partial}{\partial x_{13}}}&\cdots &,{\frac{\partial}{\partial.X_{1n}}}\\[6pt]-{\frac{\partial}{\partial x_{12}}}&0&,{\frac{\partial}{\partial x_{23}}}&\cdots &,{\frac{\partial}{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac{\partial}{\partial x_{13}}}&-{\frac{\partial}{\partial x_{23}}}&0&, \cdots,{\frac{\partial}{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &, \vdots &, \vdots & &, \ddots &am.P;\vdots \\[6pt]-{\frac{\partial}{\partial x_.{1n}}&-{\frac {\frac {\reason x_{2n}}&-{\frac {\frac {\reason x_{3n}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.}$

그러면

$\det(XD+(n-i)\delta _{ij}=\det(X)\det(D)}$

마닌 행렬의 카라치올로-스포티엘로-소칼 정체성

다음 조건을 만족하는 연관성 링 위에 M과 Y 두 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle [M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}~~~~~~}$

일부 요소 Q_il. 또는 "단어로": J = k가 아닌 경우 M의 j번째 열에 있는 요소는 Y의 k번째 열에 있는 요소와 함께 통근하며, 이 경우 요소_ik M과_kl Y의 정류자는 i, l에만 의존하지만 k에 의존하지는 않는다.

M이 마닌 행렬이라고 가정한다(가장 간단한 예는 통근 요소가 있는 행렬이다).

정사각형 행렬의 경우

${\displaystyle \det(MY+Q\,\mathrm {diag})(n-1,n-2,\dots,1,0)=\det(M)\det(Y)=\det(Y)=\det.~~~~~~~}$

여기서 Q는 원소 Q를_il 갖는 행렬이며, diag(n - 1, n - 2, ...1, 1, 0)는 대각선 상에 n - 1, n - 2, ... 1, 0 원소를 갖는 대각선 행렬을 의미한다.

제안 1.2' 공식 (1.15) 페이지 4를 참조하라, 우리의 Y는 그들의 B로 바뀐다.

분명히 원래의 카펠리의 정체성은 이 정체성의 특정한 경우다.게다가 이 정체성을 통해 카펠리의 정체성에서는 원소를 고려할 수 있다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\frac}{\put x_{ij}}+f_{ij}(x_{11},\property,x_{kl},\property )}$

임의_ij 함수 f 및 ID는 여전히 진실일 것이다.

묵힌-타라소프-바르첸코 정체성과 가우딘 모델

성명서

${\displaystyle {위치}_{}}$(ij)에 요소 x j {\$displaystyle x_{ij}$ 및$$ $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$와 같이 행렬 X와 D를 카펠리의 정체와 같이 간주한다.

z를 다른 형식 변수로 설정(x로 커밋)A와 B를 복잡한 숫자인 행렬로 두자.

${\displaystyle \det \왼쪽({\frac {\partial }{\partial _{z}-A-X{1}{z-B}D^{t}\right)}}$

${\displaystyle ={\det }_{{\text}}}x{\text{}, }z{\text{{}를 모두 왼쪽에 두되, 오른쪽의 모든 파생어는}^{\text{모두 통근하는 것처럼 계산하십시오}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial _{z}-A-X{1}{z-B}D^{t}\right)}}$

여기서 첫 번째 결정 인자는 (항상 그렇듯이) 비확정 항목이 있는 행렬의 열 결정 인자로 이해된다.오른쪽의 결정요소는 모든 원소가 통근하는 것처럼 계산하고, 오른쪽에는 모든 x와 z를, 오른쪽에는 파생을 배치한다.(이러한 레시피를 양자역학에서는 Wick 순서라고 한다.)

가우딘 양자 통합 시스템과 탈랄레프의 정리

행렬

${\displaystyle L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}D^{t}}}$

가우딘 양자 통합형 스핀 체인 시스템의 Lax 매트릭스 입니다.D. 탈랄레프는 가우딘 모델에 대한 양자 통근 보존법의 완전한 세트에 대한 명시적 해결책의 오랜 문제를 해결하여 다음과 같은 정리를 발견하였다.

고려하다

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{z}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\왼쪽({\frac {\partial }{\partial _{z}\오른쪽)^{i}}}$

그럼 모든 나,제이,즈,w

${\displaystyle [H_{i}(z),H_{j}(w)=0,~~~~~~~~~~}$

즉, H_i(z)는 모든 통근하는 x의 차동 연산자를 위해 z의 기능을 생성한다.그래서 그들은 가우딘 모델에 양자 통근 보존법을 제공한다.

영속성, 임마넌트, 트레이스 - "더 높은 카펠리 정체성"

카펠리의 원래 정체성은 결정요인에 대한 진술이다.후에 영속성, 임마넌트, 흔적에 대해 유사한 정체성이 발견되었다.S.G. 윌리엄슨이 작성한 결합 접근법에 근거한 논문은 이 방향에서 최초의 결과 중 하나였다.

비대칭 행렬의 영속성에 대한 턴불의 정체

위의 HUKS 아이덴티티의 경우처럼 요소 x와_ij 해당 파생을 갖는 비대칭 행렬 X와 D를 고려한다.

그러면

${\displaystyle \mathrm {perm}(X^{t}D-(n-i)\delta _{ij}=\mathrm {perm} _{\text}모든 }}x{\text{{{}data. 오른쪽}}^{\text{모두 통근하는 것처럼 계산하십시오}(X^{t}D).}$

인용해보자. "...턴불의 논문이 끝날 때 증거 없이 명시되어 있다."^[6]저자들은 스스로 턴불(Turnbull)을 따르고 있다 – 논문의 맨 끝에 다음과 같이 쓴다.

"이 마지막 정체성에 대한 증거가 턴불의 대칭적 아날로그에 대한 증거와 매우 유사하기 때문에 (약간의 반전을 통해) 독자에게 교훈적이고 즐거운 연습으로 남긴다."

그 정체는 종이로 깊이 분석되어 있다.^[27]

참조

추가 읽기