경계형(수학)

수학에서 복잡한 평면의 한 영역에 정의된 함수는 그 영역에 경계된 두 분석함수의 비율과 같으면 경계형이라고 한다.But more generally, a function is of bounded type in a region ${\displaystyle \Omega }$ if and only if ${\displaystyle f}$ is analytic on ${\displaystyle \Omega }$ and ${\displaystyle \log ^{+} f(z) }$ has a harmonic majorant on ${\displaystyle \Omega ,}$ where ${\displaystyle {\log }^{+}(}$${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle max}$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \log ^{+}(x)=\max[0,\log(x$ 두 경계 분석함수의 비율이 되는 것은 한 함수가 경계형(조화학적 주요 함수의 관점에서 정의됨)이 되기에 충분한 조건이며, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaysty Oome \}$도 또한 필요하다.

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 있는 그러한 $모든{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 클래스는 $일반적$으로 N${\displaystyle (\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle N(\Oomega)}$으로 표시되며$$$$, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$의 네반린나 클래스라고 부르기도 한다$.$

경계가 있는 유형의 함수는 반드시 경계가 있는 것도 아니며, 경계가 있는 "형식"이라는 속성을 가지고 있는 것도 아니다.그 이름의 이유는 아마도 디스크에 정의했을 때 네바린나 특성(디스크 중심으로부터의 거리의 함수)이 경계되기 때문일 것이다.

분명히, 함수가 두 개의 경계함수의 비율인 경우, 1:2로 경계된 두 함수의 비율로 표현될 수 있다.

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle z}$) $displaystyle$1/$P(z) }$과 ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle z}$) $displaystyle 1/Q(z) }$의 로그는 부위에서 음수가 아니므로$$

${\displaystyle {\begin{aigned}\log f(z) &=\log 1/Q(z) -\log 1/P(z) \&\leq \log 1/Q(z) \end{aigned}}}}}$

$\displaystyle {\begin}\log ^{+} f(z) &=\max[0,\log f(z) ]\&\leq \max(0,\log 1/Q(z) )\\\&\leq \re(log Q)(z)\re \re \lefteft.\end{정렬}}}$

후자는 분석함수의 실제 부분이며 따라서 ${\displaystyle 고조파}$로서, ${\displaystyle {\mathrm{로그}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$z ) $displaystyle \log ^{+} f(z)$}}이(가) Ω에 고조파를 가지고 있음을$$ 보여준다.

주어진 영역의 경우, 분모가 동일한 0이 아닌 한, 그러한 두 함수의 몫처럼, 경계 유형의 함수 합계, 차이 및 산물은 경계 유형이다.

예

다항식은 모든 경계 영역에서 경계형이다.도 n의 다항식 $f{\displaystyle (}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(z)}$은(는) UHP에서 경계된 두 가지 분석 함수의 비율로 표현될 수 있기 때문에 상반면(${\displaystyle \mathrm{UHP}}$)에서도 경계형이다.

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

와 함께

${\displaystyle P(z)=f(z)/(z+i)^{n}}$

${\displaystyle Q(z)=1/(z+i)^{n}}$

다항식의 역행은 또한 어떤 합리적인 함수처럼 한 지역의 경계형이다.

${\displaystyle \exp }$exp ( ${\displaystyle i}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exp(aiz)}$ 함수는 a가 실제인 경우에만 UHP에서 경계 유형이다$$.a가 양이면 함수 자체가 UHP에 경계($그래서{\displaystyle }$ 우리는 ${\displaystyle \mathrm{Q}}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$ Q$(z)=1$}을 사용할 수 있고,$$ a가 음수이면 함수는 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaysty Q(z)=\expens(iz)}$과 1/Q(z)와 같다$.$

Sine과 Cosine은 UHP에서 경계형이다.정말,

${\displaystyle \sin(z)=P(z)/Q(z)}$

와 함께

$[\displaystyle P(z)=\sin(z)\exp(iz)]}$

$[\displaystyle Q(z)=\exp(iz)]}$

둘 다 UHP에 묶여있어

위의 예시들은 모두 다른 P와 Q 기능을 사용하는 하반면에서도 경계형이다.그러나 "경계형"이라는 용어의 정의에서 언급된 영역은 전체 영역에 걸쳐 동일한 P와 Q를 사용해야 하기 때문에 기능이 일정하지 않는 한 전체 복합면(즉, 전체 복합면에서의 분석)이 될 수 없으며, 리우빌의 정리로는 경계가 상수밖에 없기 때문이다.

상부 하프 평면의 또 다른 예로는 "네바린나 함수", 즉 UHP를 닫힌 UHP에 매핑하는 분석함수가 있다.f(z)가 이런 유형이라면, 그 다음

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

여기서 P와 Q는 경계 함수다.

${\displaystyle P(z)={\frac {f(z)}{f(z)+i}}}}$

${\displaystyle Q(z)={\frac {1}{f(z)+i}}}$

(이는 분명히 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f(z)/i},$즉 UHP에서 실제 부분이 음성이 아닌 함수에도 적용된다.)

특성.

특정 지역의 경우, 경계 유형의 2개(Null이 아닌) 함수의 합계, 제품 또는 몫도 경계 유형이다.경계형 함수의 집합은 복잡한 숫자에 대한 대수로서 사실상 하나의 필드다.

Any function of bounded type in the upper half-plane (with a finite number of roots in some neighborhood of 0) can be expressed as a Blaschke product (an analytic function, bounded in the region, which factors out the zeros) multiplying the quotient ${\displaystyle P(z)/Q(z)}$ where ${\displaystyle P(z)}$ and${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle Q(z)}$은(는) 1로 제한되며 UHP에 0이 없다.그러면 이 지수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle P(z)/Q(z)=\exp(-U(z)/\exp(-V(z)))}$

$여기$서 UHP에서 음이 아닌 실제 부분을 갖는 $분석함수인{\displaystyle }$ U$z)$$displaystyle V(z)}$과(${\displaystyle 와}$)는 각각$$ 포아송 표현으로 표현할 수 있다(네반리나 함수 참조).

${\displaystyle U(z)=c-ipz-i\int _{\mathb {R}}\왼쪽({\frac {1}{\lambda -z}-{\lambda }-{1+\lambda ^{2}}\right)d\mu(\lambda )}$

${\displaystyle V(z)=d-iqz-i\int _{\mathb {R}}\왼쪽({\frac {1}{\lambda -z}-{\lambda ^{1+\lambda ^}\right)d\nu(\lambda )}$

여기서 c와 d는 가상 상수, p와 q는 음이 아닌 실제 상수, μ와 μ는 실제 변수의 비결정함수(적분체가 수렴하도록 잘 동작함)이다.차이 q-p는 루이 드 브랑게스(Louis de Branges)에 의해 "mean type"이라는 이름을 부여받았으며, 상상의 축을 따라 함수의 성장 또는 붕괴를 기술하고 있다.

${\displaystyle q-p=\limsup _{y\to \infit }y^{-1}\ln f(iy) }$

상부 하프 평면의 평균 유형은 함수 절대값의 가중 평균 한계치를 0에서 거리로 나눈 값으로, ${\displaystyle \exp (}$( - ${\displaystyle i}$z )$${\$displaystyle \exp(-iz)}$의 값이 1이 되도록$$ 정규화한다.^[1]

${\displaystyle q-p=\lim _{r\to \infit }}(2/\pi ){-1}\int _{0}^{\pi }\ln f(re^{i\tta }) \sin \theta d\}$

전체 함수가 상반면과 하반면 모두에서 경계형인 경우, 두 개의 각각의 "평균형"^[2] 중 더 높은 지수형(더 높은 함수는 음성이 아님)이다.1보다 큰 순서의 전체 함수(즉, 어떤 방향에서 지수 유형의 함수보다 더 빨리 성장한다는 의미)는 어떤 반평면에서도 경계형일 수 없다.

따라서 우리는 적절한 지수인 z와 임의의 네바린나 함수에 i를 곱한 지수들을 이용하여 경계형식의 함수를 생산할 수 있다.

$[\displaystyle f(z)=\exp(iz)]{\frac {\exp(i{\sqrt {z})}{\expeci/{\sqrt {z}}}}}}$

위에 제시된 예에 관해서, 다항식 또는 다항식의 평균 형식은 0이다.위쪽 하프 평면에 있는$$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (i}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exp(aiz)}$의 평균 유형은 -a인 반면 아래쪽 하프 평면에 있는 exp type(aiz)은 a이다.두$$ 개의 절반 평면 모두에서 sin${\displaystyle \sin }$ (${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \sin(z)}$의 평균 유형은 1이다.

비양성 평균 유형을 갖는 상부 하프 평면에서 경계 유형의 기능 및 실제 축에 대한 연속적이고 정사각형 통합 가능한 확장을 갖는 기능에는 적분(실제 축을 따라)이 갖는 흥미로운 특성이 있다.

${\displaystyle {1}{2\pi i}\int_{-\int_{-\inflt}{\frac {f(t)dt}{t-z}}}}$

z가 상부 하프 평면에 있으면$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z)}$이고, z가 하부 하프 평면에 있으면 0이다.^[3]이를 상부 하프 평면에 대한 코치 공식이라고 할 수 있다.

참고 항목

• 드 브랑게스 공간
• 롤프 네반리나

참조

• Conway, John B. Functions of a Complex Variable II. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 159. Springer-Verlag. p. 273. ISBN 0-387-94460-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Topics in Hardy classes and univalent functions. Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhauser Verlag.