보니-브레지스

수학에서, 프랑스 수학자 장-미셸 보니와 하움 브레지스에 의해, 다양체의 닫힌 부분집합이 벡터장에 의해 정의된 흐름 하에서 불변할 수 있는 필요하고 충분한 조건을 제공합니다.즉, 닫힌 집합의 각 점에서 벡터 필드는 집합에 대한 외부 정규 벡터를 갖는 비양의 내부 곱을 가져야 합니다.벡터는 닫힌 집합의 한 점에서 해당 벡터를 도함수로 사용하여 해당 점에서 국소적으로 최대화된 실제 값의 연속 미분 가능 함수가 있는 경우 해당 닫힌 집합의 한 점에서 외부 정규입니다.닫힌 부분 집합이 경계가 있는 평활 하위 매니폴드인 경우, 벡터 필드가 경계 점에서 부분 집합 외부를 가리키면 안 된다는 조건입니다.편미분 방정식 이론에서 매끄럽지 않은 부분 집합으로의 일반화는 중요합니다.

사실 이 정리는 1942년 나구모 미티오에 의해 발견되었고 나구모 ^[1]정리로도 알려져 있습니다.

진술

F가 C 매니폴드² M의 닫힌 부분 집합이고 X가 립시츠 연속인 M의 벡터 필드라고 합니다.다음 조건은 동일합니다.

• F로 시작하는 X의 모든 적분 곡선은 F에 남아 있습니다.
• F의 한 점 m에서 모든 외부 정규 벡터 v에 대해 (X(m), v ≤ 0.

증명

첫 번째 조건이 두 번째 조건을 의미한다는 것을 증명하기 위해, c(t)를 F의 c(0) = x와 dc/dt= X(c)의 적분 곡선으로 하자.fat x의 로컬 최대값을 g로 설정합니다.그런 다음 t가 작고 양수일 때 g(c(t)) ≤ g(c(0)).미분, 이것은 g '(x)⋅ X(x)≤ 0을 의미합니다.

반대의 의미를 증명하기 위해, 결과는ⁿ 로컬이기 때문에 R에서 확인하기에 충분합니다.이 경우 X는 국부적으로 Lipschitz 조건을 만족시킵니다.

${{displaystyle \displaystyle {X(a)-X(b) \leq Ca-b}} 표시$

F가 닫힌 경우 거리 함수 D(x) = d(x,F)²에는 다음과 같은 미분 특성이 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)=D(x)+\min _{z}2h\cdot(x-z)+o(h),}}$

여기서 최소값은 F에서 가장 가까운 점 z에서 x까지 차지합니다.

이를 확인하려면 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle \displaystyle {f_{\varepsilon}(h)=\min _{z}2h\cdot(x-z),}}$

여기서 d(x,z) ≤ d(x,F) + θ가 되도록 F에서 최소값이 z를 이어받습니다.

f는 손이 균일하기 때문에_ε 어떤 구체에서도 f로₀ 균일하게 증가합니다.

$\displaystyle \displaystyle {f_{0}(h)\geq f_{\varepsilon}(h)\geq f_{0}(h)-C(\varepsilon) h,}$

상수 C(θ)가 0인 경우 θ가 0인 경우

이 미분가능성 속성은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \displaystyle {D(x+h)\leq x+h-z ^{2}\leq z-x ^{2}+2h\cdot(x-z)+h ^{2}=D(x)+f_{0}(h)+h ^{2}}}$

그리고 유사하게 만약 h ≤ ≤ ≤ µ

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)\geq D(x)+f_{\varepsilon}(h)+ h^{2}}}$

미분가능성 속성은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle \downarrow 0}{D(c(t+\delta))-D(c(t) \over \displaystyle }=2\min_{z}X(c(t)\cdot(c(t)),}}}$

z에서 c(t)까지 가장 가까운 점에 걸쳐 최소화됩니다.이러한 z에 대해

$\"displaystyle \displaystyle {2X(c(t))\cdot(c(t)-z)=2X(z)\cdot(c(t)-z)-2(X(z)-X(c(t))\cdot(t)-z)}}.$

- y - c(t)는 Faty = z에서 로컬 최대값을 가지므로, c(t) - z는 z에서 외부 정규 벡터입니다.그래서 오른쪽의 첫 번째 항은 부정적이지 않습니다.X에 대한 Lipschitz 조건은 두 번째 항이 2C⋅D(c(t))로 제한되었음을 의미합니다.따라서 오른쪽에서 파생된 파생물은

${\displaystyle \displaystyle {e^{-2Ct}D(c(t))}}$

는 양수가 아니므로 t의 비증가 함수입니다.따라서 c(0)가 F, D(c(0)=0에 속하고 따라서 D(c(t)) = 0 for t > 0, 즉 c(t)는 F for t > 0에 속합니다.

레퍼런스

문학.

• Nagumo, Mitio (1942), "Über die lage der integralkurven gewöhnlicher differentialgleichungen", Nippon Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 3 Ki, 24: 551–559 (독일어)
• Yorke, James A. (1967), "Invariance for ordinary differential equations", Mathematical Systems Theory, 1 (4): 353–372, doi:10.1007/BF01695169, S2CID 5973578
• Bony, Jean-Michel (1969), "Principe du Maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénerés" (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 19: 277–304, doi:10.5802/aif.319 (프랑스어)
• Brezis, Haim (1970), "On a characterization of flow-invariant sets", Comm. Pure Appl. Math., 223 (2): 261–263, doi:10.1002/cpa.3160230211
• Redheffer, R. M. (1972), "The Theorems of Bony and Brezis on Flow-Invariant Sets", The American Mathematical Monthly, 79 (7): 740–747, doi:10.2307/2316263, JSTOR 2316263
• Crandall, Michael G. (1972), "A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance", Proceedings of the American Mathematical Society, 36 (1): 151–155, doi:10.1090/S0002-9939-1972-0306586-2
• Volkmann, Peter (1974), "Über die positive Invarianz einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachschen Raumes bezüglich der Differentialgleichung u'= f (t, u)", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1976 (285): 59–65, doi:10.1515/crll.1976.285.59, S2CID 117740430 (독일어)
• Hörmander, Lars (1983), Analysis of Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, pp. 300–305, ISBN 3-540-12104-8정리 8.5.11
• Blanchini, Franco (1999), "Survey paper: Set invariance in control", Automatica, 35 (11): 1747–1767, doi:10.1016/S0005-1098(99)00113-2
• Walter, Wolfgang (1998). Ordinary Differential Equations. Springer. ISBN 978-0387984599.

참고 항목

• 장벽 인증서