아티야 추측

수학에서 아티야 추측은 l$$ {\$displaystyle l^{2$}}$$- 베티$$ 숫자의 가능한 값에 대한 제한에 관한 여러 문장의 집합 용어다.

역사

1976년, Michael Atiyah는 이산 카운트 가능 그룹의 자유로운 공동 컴팩트 작용이 있는 다지관의 l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ l$^{2}}$ -코호몰로지$$ (예를 들어 갑판 변형에 의한 기본 그룹의 작용과 함께 콤팩트 다지관의 범용 커버)를 도입했다.Atiyah는 ${\displaystyle {또한\mathrm{}}^{}}$l 2 {\$displaystyle$ l$^{2$}} -베티$$ ${\displaystyle {숫자}^{}}$를 결과$$l 2 {\$displaystyle$ l$^{2$}}$$-공호학$$ 그룹의 폰 노이만 치수로 정의하고 몇 가지 예를 계산했는데 모두 합리적인 숫자로 판명되었다.따라서 $그$는 l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}-베티$$ 수치가 비이성적일 수 있는지 물었다.

그 이후로, 다양한 연구자들이 l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ l$^{2$}}$$- 베티$$ 숫자의 가능한 값에 대해 좀 더 정제된 질문을 던졌는데, 모두 관습적으로 "아티야 추측"이라고 한다.

결과.

많은 긍정적인 결과들이 피터 린넬에 의해 증명되었다.예를 들어, 그룹 연기가 자유 그룹인 경우 ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle l^{2}}$ - 베티$$ 번호는 정수가 된다.

$2011년{\displaystyle {}^{}}$ 말 현재 열려 있는 가장 일반적인 질문은 ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ l$^{2$}} - 베티$$ 수가 작용하는 그룹의 유한한 부분군 순서에 한계가 있다면 합리적인가이다.사실, 가능한 분모와 문제의 명령 사이의 정확한 관계는 추측된다; 비틀림 없는 집단의 경우, 이 진술은 0분위 추측을 일반화한다.토론은 B의 기사를 참조한다.에크만

그러한 경계가 없는 경우, 팀 오스틴은 $2009년$에 ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ l$^{2$}} -베티$$ 숫자가 초월적 값을 가정할 수 있다는 것을 보여주었다.나중에 그 경우에 그것들은 음이 아닌 실제 숫자가 될 수 있다는 것이 밝혀졌다.

참조

• Atiyah, M. F (1976). "Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras". Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974). Paris: Soc. Math. France. pp. 43–72. Astérisque, No. 32–33.

• Austin, Tim (2013). "Rational group ring elements with kernels having irrational dimension". Proceedings of the London Mathematical Society. 107 (6): 1424–1448. arXiv:0909.2360. doi:10.1112/plms/pdt029.

• Eckmann, Beno (2000). "Introduction to ${\displaystyle \ell _{2}}$-methods in topology: reduced ${\displaystyle \ell _{2}}$-homology, harmonic chains, ${\displaystyle \ell _{2}}$-Betti numbers". Israel Journal of Mathematics. Vol. 117. pp. 183–219. doi:10.1007/BF02773570.