추상초급반

모델 이론에서 수학 논리 내의 규율, 즉 추상적인 초등 클래스, 즉 줄여서 AEC는 1차 모델 이론에서 초등 계층의 기초 하부 구조의 관계와 유사한 부분 순서를 가진 모델의 한 종류다.그들은 사하론 셀라에 의해 소개되었다.^[1]

정의

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle$ K$,\prec _{K$${\displaystyle \}\backslash }$$rangele$ $\},$$$$K{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $K$$}$의 구조 ${\displaystyle \mathrm{클래스}}$는 다음과 같은 속성을 가진 경우 AEC이다$.$

• ${\displaystyle {\prec }_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에 대한 부분 주문이다$.$
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ N ${\displaystyle M\prec _{K}N}$인 경우, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 하부 구조인$$ 것이다$.$
• Isomorphisms: ${\displaystyle K}$ is closed under isomorphisms, and if ${\displaystyle M,N,M',N'\in K,}$ ${\displaystyle f\colon M\simeq M',}$ ${\displaystyle g\colon N\simeq N',}$ ${\displaystyle f\subseteq g,}$ and ${\displaysty$$르 M\prec _{K}N,}$ 다음$$ $M{\displaystyle {}^{}}$ ′${\displaystyle {}^{}\prec {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ N ${\displaystyle \prime .}$ ${\displaystyle$ M$'\prec _{K}N.}$
• 일관성:If ${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{3},}$ ${\displaystyle M_{2}\prec _{K}M_{3},}$ and ${\displaystyle M_{1}\subseteq M_{2},}$ then ${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{2}.$$}$
• 타르스키-Vaught 체인 공리:If ${\displaystyle \gamma }$ is an ordinal and ${\displaystyle \{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K}$ is a chain (i.e. ${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }}$), then:
  • ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K}$
  • If ${\displaystyle M_{\alpha }\prec _{K}N}$, for all ${\displaystyle \alpha <\gamma }$, then ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N}$
• 뢰웬하임-스콜렘 공리:There exists a cardinal ${\displaystyle \mu \geq L(K) +\aleph _{0}}$, such that if ${\displaystyle A}$ is a subset of the universe of ${\displaystyle M}$, then there is ${\displaystyle N}$ in ${\displaystyle K}$ whose universe contains ${\displaystyle A}$ such that ${\displaystyle \Vert }$${\displaystyle \ N\ \leq A +\mu }$ and ${\displaystyle N\prec _{K}M}$. We let ${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ denote the least such ${\displaystyle \mu }$ and call it the Löwenheim–Skolem number of ${\displaystyle K}$.

우리는 보통 뢰웬하임-스콜렘 수보다 작은 크기의 모델에는 신경 쓰지 않으며 종종 존재하지 않는다고 가정한다(우리는 이 기사에서 이 관례를 채택할 것이다).뢰웬하임-스콜렘 번호 위의 구조물에 영향을 주지 않고 AEC에서 그러한 모든 모델을 제거할 수 있으므로 이는 정당하다.

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -embedding은$$ ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle }$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:$$M\rightarrow N}$ for ${\displaystyle M,N\in K}$ such that ${\displaystyle f[M]\prec _{K}N}$ and ${\displaystyle f}$ is an isomorphism from ${\displaystyle M}$ onto ${\displaystyle f[M]}$. If ${\displaystyle K}$ is clear from context, we omit it.

예

추상적인 초등 수업의 예는 다음과 같다.^[2]

• 초등 수업은 AEC의 가장 기본적인 예: T가 1차 이론이라면, T 모델의 클래스$$ ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$( T${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Mod} (T)$가 기초 하부 구조와 함께 AEC를 형성하고 Löwenheim–Skolem 번호 T.
• If ${\displaystyle \phi }$ is a sentence in the infinitary logic ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$, and ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a countable fragment containing ${\displaystyle \phi }$, then ${\displaystyle \langle \operatorname {Mod} (T),\prec _$${\mathcal{F}\rangele }$은(는) 뢰웬하임-스콜렘 번호 ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 0${\$을(를) 가진 AEC이다$.$이는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ,${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$ $},$ 또는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\Omega \mathrm{}}_{}}_{}}$ 1 ,${\displaystyle {{}_{}\Omega }_{}}$ $Q$) ${\displaystyle L_{\omega _{1},\displaysty$ Q$}$와 같은 다른 로직으로 일반화할 수 있으며$,$ $여기$서 Q ${\\displaystylean$ Q$}$은 "수 없을 정도로 많다"를$$ 표현한다.
• T가 1순차 카운트할 수 있는 수퍼마켓 이론이라면, ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 1${\$} -1$}$ T의 포화 모델$$ 세트는 기초 하부 구조와 함께 뢰웬하임-스콜렘 번호 2 ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$가 있는 AEC이다$.$
• 질버의 사이비-엑스포텐셜 필드는 AEC를 형성한다.

일반적인 가정

AEC는 매우 일반적인 대상이며, AEC를 연구할 때 대개 다음과 같은 몇 가지 가정을 한다.

• AEC는 공통 모델 내부에 두 개의 모델을 내장할 수 있는 경우 공동 임베딩이 있다.
• 어떤 모델이든 적절한 확장자를 가지고 있다면 AEC는 최대 모델을 가지고 있지 않다.
• An AEC ${\displaystyle K}$ has amalgamation if for any triple ${\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}\in K}$ with ${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{1}}$, ${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{2}}$, there is ${\displaystyle N\in K}$ and embedd$M{\displaystyle }$ ${\$을 점으로 고정하는$$ N ${\displaystyle N}$ 안쪽에$$ ${\displaystyle {있는\mathrm{}}_{}}$ $M{\displaystyle {}_{}}$ 1$${\displaystyle $M_${1}$$및$$ M ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}.

초등반에서 공동 임베딩은 이론이 완성될 때마다 유지되는 반면, 합병과 최대 모델은 콤팩트성 정리의 잘 알려진 결과라는 점에 유의한다.이 세 가지 가정을 통해 우리는 기본 사례와 정확히 같은 범용 모델 동종 몬스터 $모델{\displaystyle \mathfrak{}}$ C ${\$를 구축할 수 있다$.$

한 사람이 할 수 있는 또 다른 가정은 태만함이다.

셸라의 분류 추측

셀라는 1차 분류 이론을 일반화하는 통일된 틀을 제공하기 위해 AECs를 도입했다.분류 이론은 몰리의 분류 정리로부터 시작되었으므로, 유사한 결과가 AECs에 들어 있는지 묻는 것은 당연하다.이것은 셀라의 궁극적인 분류 추측이다.분류에는 Hanf 번호가 있어야 한다고 명시되어 있다.

For every AEC K there should be a cardinal ${\displaystyle \mu }$ depending only on ${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ such that if K is categorical in some ${\displaystyle \lambda \geq \mu }$ (i.e. K has exactly one (up to isomorphism) model of size ${\displaystyle \lambda }$), then K is categoric$al{\displaystyle }$ in ▼$$${\displaystyle \mu }$[\$displaystyle$ \$theta }$ 모든 all${\displaystyle }$μ$[\displaystyle \theta \geq \mu$$}.$

셀라는 또한 몇 가지 더 강력한 추측을 가지고 있다.분류성의 임계값 카디널은 카디널리티 LS(K) 언어의 유사초급 클래스의 Hanf 수입니다.좀 더 구체적으로 클래스가 카운트 가능한 ${\displaystyle {{언어}_{}}_{}}$로 되어 있고 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega {}_{}}_{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$ 문장으로$$ 공리가 가능한 경우 분류에 대한 임계값 번호는 ${\displaystyle {{\Omega \mathrm{}}_{}}_{}}$ 1 ${\$이 추측은 1976년으로 거슬러 올라간다.

몇 가지 근사(예: 아래 결과 섹션 참조)가 발표되었으며, 설정-이론적 가정(대형 추기경의 존재 또는 일반화된 연속체 가설의 변동 등) 또는 모델-이론적 가정(합성 또는 타밀도 등)을 가정하였다.2014년 현재, 원래의 추측은 여전히 열려 있다.

결과.

다음은 AECs에 대한 몇 가지 중요한 결과들이다.마지막을 제외하고 모든 결과는 셀라 덕분이다.

• 쉘라의 프레젠테이션 정리:^[3]Any AEC ${\displaystyle K}$ is ${\displaystyle \operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$: it is a reduct of a class of models of a first-order theory omitting at most ${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$ types.
• 존재에 대한 Hanf 번호:^[4]크기$$ $size{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {2^{}}_{}}$ LS${\displaystyle {{}^{}{}^{}}_{}}$ (${\displaystyle {K^{}{}^{}}_{}}$) +$${\$displaystyle \beth _{(2^{\operatorname {LS}(K)^{+}}}}}}$의 모델이 임의로 큰 크기의$$ 모델을 $가지고{\displaystyle }$있는 AEC K {\$displaysty K}.$
• 범주성에서의 합병:^[5]K가 ${\displaystyle \lambda }$과($와{\displaystyle {}^{)}}$ λ + ${\$$lambda$ $^{+}$ < 2 +{\$displaystyle 2^{\lambda }}}$의AEC 범주형이라면 K는 크기 $\lambda {\displaystyle }$ ${\day$
• 범주성으로부터의 존재:^[6]If K is a ${\displaystyle \operatorname {PC} _{\aleph _{0}}}$ AEC with Löwenheim–Skolem number ${\displaystyle \aleph _{0}}$ and K is categorical in ${\displaystyle \aleph _{0}}$ and ${\displaystyle \aleph _{1}}$, then K has a model of size ${\displaystyle \aleph _{2}}$.특히 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ,${\displaystyle {{}_{}\Omega }_{}}$( ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$의 문장은 정확히 하나의 계산할 수 없는 모델을 가질 수 없다$$.
• 쉘라의 분류 추측에 대한 근사치:
  • 후계자로부터의 하향 이동:^[7]만약 K가 "고농축" 후계자 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에서 범주형인 합병을 가진 추상적인 초등학교 클래스라면$,$ K는 모든 고농축 ${\displaystyle \mu }$ {${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \mu \leq \lambda }$에서 범주형이다$.$
  • 대형 추기경들의 후임자에 대한 셀라의 분류 추측:^[8] 만약 다수의 강력한 소형 추기경들이 있다면, 셀라의 분류 추측은 우리가 후임 추기경들의 분류로부터 시작할 때 적용된다.

참고 항목

• 추상초급반

메모들

참조

• Shelah, Saharon (1987), John T. Baldwin (ed.), Classification of Non Elementary Classes II. Abstract Elementary Classes, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1292, Springer-Verlag, pp. 419–497
• Shelah, Saharon (1999), "Categoricity for abstract classes with amalgamation" (PDF), Annals of Pure and Applied Logic, 98 (1): 261–294, arXiv:math/9809197, doi:10.1016/s0168-0072(98)00016-5, S2CID 27872122
• Grossberg, Rami (2002), "Classification theory for abstract elementary classes" (PDF), Logic and algebra, Contemporary Mathematics, vol. 302, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 165–204, CiteSeerX 10.1.1.6.9630, doi:10.1090/conm/302/05080, ISBN 9780821829844, MR 1928390
• Baldwin, John T. (July 7, 2006), Abstract Elementary Classes: Some Answers, More Questions (PDF)
• Shelah, Saharon (2009), Classification theory for elementary abstract classes, Studies in Logic (London), vol. 18, College Publications, London, ISBN 978-1-904987-71-0
• Shelah, Saharon (2009), Classification theory for abstract elementary classes. Vol. 2, Studies in Logic (London), vol. 20, College Publications, London, ISBN 978-1-904987-72-7
• Baldwin, John T. (2009), Categoricity, University Lecture Series, vol. 50, American Mathematical Society, ISBN 978-0821848937
• Boney, Will (2014). "Tameness from large cardinal axioms". arXiv:1303.0550v4 [math.LO].