메타폴틱 그룹

수학에서 메타폴로지 그룹 mp는_2n 복합체 그룹 sp의_2n 이중 표지다.그것은 실제 또는 p-adic 숫자에 걸쳐 정의될 수 있다.그 건축은 더 일반적으로 임의의 국부적 또는 유한한 분야, 그리고 심지어 아델의 고리까지도 포괄한다.

메타폴틱 그룹은 특히 유의미한 무한 차원 선형 표현인 Weil 표현을 가지고 있다.^[1]안드레 웨일이 세타 함수에 대한 표현-이론적 해석을 하기 위해 사용했으며, 반 통합적 무게의 모듈형 형태 이론과 세타 통신에 중요하다.

정의

공감리 그룹 Sp_2n(R)의 기본 그룹은 무한 순환이기 때문에 Mp_2n(R)로 표기하고 메타플렉스 그룹이라고 하는 독특한 연결 더블 커버를 가지고 있다.

메타폴로지 그룹 Mp₂(R)는 매트릭스 그룹이 아니다: 충실한 유한차원 표현을 가지고 있지 않다.그러므로 그 노골적인 실현의 문제는 비견할 수 없다.그것은 아래에 설명한 Weil 표현과 같이 수정 불가능한 무한 차원 표현을 충실하게 가지고 있다.

만약 F가 C 이외의 국부적 분야라면, 동정적 그룹_2n Sp(F)가 순서 2의 주기적 그룹인 커널 Z/2Z와 함께 독특한 완벽한 중앙 확장을 인정한다는 것을 증명할 수 있는데, 이를 F에 대한 메타폴릭스 그룹이라고 한다.F = R일 때 사용되는 2배 커버의 위상학적 개념을 대수적으로 대체하는 역할을 한다.중심확장 개념을 통한 접근방식은 특정 고치를 통한 그룹운영에 대한 설명이 가능하기 때문에 실제 메타폴로지 그룹의 경우에도 유용하다.

n = 1에 대한 명시적 구성

사례 n = 1에서, 공통점 그룹은 특수 선형 그룹 SL₂(R)과 일치한다.이 그룹은 부분-선형 변환에 의해 복잡한 상부 반평면에 생체동형적으로 작용한다.

g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

where

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )

단위 결정요소가 있는 실제 2x2 매트릭스로, z는 상부 하프 평면에 있으며, 이 동작을 사용하여 SL₂(R)의 메타폴틱 커버를 명시적으로 구성할 수 있다.

그metaplectic 그룹 Mp2(R)의 요소는 쌍(g, ε), g∈ SL2⁡(R){\displaystyleg\in \operatorname{SL}_ᆱ(\mathbf{R})}과 상단 단면이 ϵ(z)2)c은 z+d)j({\displaystyle \epsilon(z)^{2}(g,z)}. 그 곱셈 법def에 ε은 적인. 기능.i다음을 가리키는 말이다.

(g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),

where

{\displaystyle \epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).

}

이 제품이 잘 정의된 것은 cocycle 관계 j ( $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ 1 g $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ 2 $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ = j ( $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ 1, $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ 2 $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ z ) $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ ( $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ 2 , $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ ) $displaystyle j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2$ }, $cdot$ z $)=j(g_{2$ },{2 $},z$

(g,\epsilon )\mapsto g}

Mp₂(R)에서 SL₂(R)까지 돌출된 것으로, 연속적인 섹션이 허용되지 않는다.따라서 우리는 후자의 2중 커버를 제작했다.

Weil 대표성 구축

우리는 먼저 Weil 대표성이 존재하는 다소 추상적인 이유를 제시한다.하이젠버그 그룹은 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 에 대해 설명할 수 없는 단일적 표현, ${\mathcal {H}}$ 즉,

\rho :\mathb {H}(V)\longrightarrow U({\mathcal {H})

중심은 주어진 0이 아닌 상수로 작용한다.스톤-본 노이만 정리는 이러한 표현이 본질적으로 고유하다고 기술하고 있다: 만일 $\rho '$ $\rho '$ ${\$ '}이 $($ 가) 또 다른 표현이라면 $\rho '$ , 자동형식이 존재한다.

\psi \in U({\mathcal {H}})

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

\psi \in U({\mathcal {H}})

( H

\psi \in U({\mathcal {H}})

)

{\displaystyle \psi \in U({\mathcal{H}})

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

=

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

(

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

)

{\displaystyle \rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

그리고 결합 자동형은 프로젝트적으로 독특하다. 즉, 최대 곱셈 계량 1 상수까지이다.그래서 하이젠베르크 집단의 어떤 오토모프리즘은 중심에서 정체성을 유도하는 이 표현 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 에 작용한다 ${\mathcal {H}}$ 정확히 말해서 그 작용은 0이 아닌 상수에 의해 곱셈까지만 잘 정의된다.

하이젠베르크 집단의 자동화(중심을 고치는 것)는 동정성 집단을 형성하므로, 이것은 ${\mathcal {H}}$ 에 H ${\$ 에 있는 동정성 집단의 작용을 주는 것처럼 보인다 ${\mathcal {H}}$ 그러나 그 작용은 0이 아닌 상수에 의해서만 곱셈까지 정의되고, 다시 말해서 그루우 자동화를 지도화시킬 수 있을 뿐이다.p 클래스 $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ [ $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ ] $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ ∈ $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ ( $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ ${\displaystyle$ [\ $psi$ ]\ $in \operatorname {PU}({\mathcal {H$ 따라서 우리는 동일동형체 ${\mathcal {H}}$ 에서 H ${\mathcal {H}}$ {\ $displaystyle {\mathcal {H$ 의 투사적 단일 집단으로만 얻는다. ${\mathcal {H}}$ 다음 투영적 표현에 대한 일반 이론을 적용하여 ${\mathcal {H}}$ H {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{$ H}}에 있는 공감적 그룹의 일부 중심 확장 작용을 한다 ${\mathcal {H}}$ 계산 결과 이 중심 확장을 이중 커버로 취할 수 있으며, 이 이중 커버는 메타폴리트 그룹이다.

이제 우리는 가장 간단한 Mp₂(R) 사례에서 좀 더 구체적인 구조를 제시한다.Hilbert 공간 H는 실제의 모든² L 기능의 공간이다.하이젠베르크 그룹은 번역과 x의 함수 e^ixy, y real에 의한 곱셈에 의해 생성된다.그런 다음 H에 대한 메타폴틱 그룹의 작용은 실제를 위해 x의 exp(ixy²) 함수에 의해 푸리에 변환과 곱셈에 의해 생성된다.

일반화

Weil은 Pontryagin 이중성에 의해 이중(문자의 그룹)에 이소모픽인 어떤 국소적인 아벨리아 그룹 G로 Ⅱ를 대체함으로써 위의 이론을 확장하는 방법을 보여주었다.Hilbert 공간 H는 G에서 모든 L 기능의² 공간이다.하이젠베르크 그룹의 (아날로그)는 G의 요소들에 의한 번역과 이중 그룹의 요소들에 의한 곱셈에 의해 생성된다(G에서 단위 원까지의 함수로 간주된다).하이젠베르크 그룹에 작용하는 동정파의 아날로그가 있는데, 이 작용은 H에 투영적인 표현으로 상승한다.공감집단의 그에 상응하는 중심 확장을 메타집합집단이라고 한다.

이 구성의 몇 가지 중요한 예는 다음과 같다.

G는 차원 n의 실체 위에 있는 벡터 공간이다.이것은 복합체 그룹 Sp_2n(R)의 이중 커버인 메타폴리트 그룹을 제공한다.
보다 일반적으로 G는 치수 n의 국소 필드 F에 대한 벡터 공간이 될 수 있다.이것은 복합체 그룹 Sp_2n(F)의 이중 커버인 메타폴릭스 그룹에 주어진다.
G는 숫자 필드(또는 글로벌 필드)의 아델 위에 있는 벡터 공간이다.이 경우는 자동 형태에 대한 표현-이론적 접근법에 사용된다.
G는 유한집단이다.이에 대응하는 메타폴로지 그룹도 유한하며, 중앙 커버도 사소하다.이 경우는 격자의 세타함수 이론에 사용되는데, 일반적으로 G는 짝수 격자의 판별군이 된다.
유한한 분야에 걸친 선형(프로젝티브가 아닌) 위일 표현의 존재, 즉 그것이 표준적인 힐버트 공간 실현을 인정한다는 현대적 관점이 데이비드 카즈단에 의해 제안되었다.조지프 번스타인이 제시한 정론적인 뒤얽힌 연산자의 개념을 이용하여, 그러한 실현은 구레비치-하다니에 의해 건설되었다.^[2]

참고 항목

메모들

^ Weil, A. (1964). "Sur certains groupes d'opérateurs unitaires". Acta Math. 111: 143–211. doi:10.1007/BF02391012.
^ Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (31 May 2007). "Quantization of symplectic vector spaces over finite fields". arXiv:0705.4556 [math.RT].

참조

Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Nonabelian harmonic analysis. Applications of SL(2,R), Universitext, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
Lion, Gerard; Vergne, Michele (1980), The Weil representation, Maslov index and theta series, Progress in Mathematics, vol. 6, Boston: Birkhäuser
Weil, André (1964), "Sur certains groupes d'opérateurs unitaires", Acta Math., 111: 143–211, doi:10.1007/BF02391012
Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2006), "The geometric Weil representation", Selecta Mathematica, New Series, arXiv:math/0610818, Bibcode:2006math.....10818G
Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2005), Canonical quantization of symplectic vector spaces over finite fields

[1] Weil, A. (1964). "Sur certains groupes d'opérateurs unitaires". Acta Math. 111: 143–211. doi:10.1007/BF02391012.

[2] Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (31 May 2007). "Quantization of symplectic vector spaces over finite fields". arXiv:0705.4556 [math.RT].

[1]

[2]

Search

메타폴틱 그룹

네임스페이스

더

목차

정의

n = 1에 대한 명시적 구성

Weil 대표성 구축

일반화

참고 항목

메모들

참조