웨더번-아틴 정리

Wedderburn–Artin theorem

대수학에서, 웨더번-아르틴 정리(Wedderburn-Artin theorem)는 반단순환과 반단순 대수에 대한 분류 정리이다.이 정리는 (아르티니아)[1] 반단순 고리 R이 분할 고리i D 위에 있는 최종 다수의 n-x-nii 행렬 고리의 과 동형이며, 일부 정수i n은 둘 다 지수 i의 순열까지 유일하게 결정된다는 것을 나타낸다.특히 왼쪽 또는 오른쪽의 단순 아르티니아 고리분할링 D 위의 n-by-n 매트릭스 고리와 동형이며, 여기서 nD가 모두 일의로 [2]결정된다.

정리

R을 (아르티니아) 반단순 링으로 하자.그리고 R은 분할링i D 에 최종 다수의 n-by-nii {i}(i})}의 곱과 동일하며, 두 정수i n은 지수 i의 순열까지 일의로 결정된다.

만약 R이 유한 차원 반단순 k-대수라면, 위의 문장의 i D는 k 의 유한 차원 나눗셈 대수이다.i D의 중심k일 필요는 없습니다. k유한 확장일 수 있습니다.

R분할환 E에 대한 유한차원 단순대수라면 D는 E에 포함할 필요가 없다는 점에 유의한다.를 들어, 복소수 위의 행렬 고리는 실수에 대한 유한 차원 단순 대수이다.

결과 1

웨더번-아틴 정리에 따르면 분할환 위에 유한 차원인 모든 단순 고리는 분할환 D 위에 있는 n-by-n 행렬 고리와 동형이며, 여기서 n과 D는 [2]둘 다 유일하게 결정된다.이것은 조지프 웨더번의 원래 결과입니다.에밀 아르틴은 나중에 그것을 왼쪽 또는 오른쪽 아르티니아 고리의 경우로 일반화했다.특히 k k 대수적으로 닫힌 필드인 k k에서 입력된 행렬링은 k k에 대한 한 유한 차원 Artian 단순 대수이다.

결과 2

k를 대수적으로 닫힌 필드라고 하자.R을 반단순 고리, 즉 유한 차원 k-대수로 하자.R은 유한곱 i r () \ \ \ {) n_ik서 ni ()는 i ×이다.k보다 커집니다.

결과

웨더번-아틴 정리는 필드 K에 대한 유한 차원 중심 단순 대수를 분류하는 문제를 K에 대한 유한 차원 중심 분할 대수로 분류하는 문제로 줄인다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ 반단순 고리는 반드시 아티니아 고리입니다.어떤 작가들은 반지에 하찮은 제이콥슨 라디칼이 있다는 의미로 "반심플"을 사용한다.아르티니아 고리의 경우 두 개념은 동일하기 때문에 "아르티니아"가 포함되어 그 애매함을 해소합니다.
  2. ^ a b John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge University Press. p. 156. ISBN 978-0-521-64407-5.