웨더번-아틴 정리

대수학에서, 웨더번-아르틴 정리(Wedderburn-Artin theorem)는 반단순환과 반단순 대수에 대한 분류 정리이다.이 정리는 (아르티니아)^[1] 반단순 고리 R이 분할 $고리 i$ D 위에 있는 최종 다수의 n-x-n_i_i 행렬 고리의 곱과 동형이며, 일부 $정수 i$ n은 둘 다 $지수$ i의 순열까지 유일하게 결정된다는 것을 나타낸다.특히 왼쪽 또는 오른쪽의 단순 아르티니아 고리는 분할링 D 위의 n-by-n 매트릭스 고리와 동형이며, 여기서 n과 D가 모두 일의로 ^[2]결정된다.

정리

R을 (아르티니아) 반단순 링으로 $하자$ .그리고 R은 $분할링 i$ D 위에 최종 다수의 n-by-n_i_i $M_{n_{i}}(D_{i})$ $)$ { $displaystyle M_{n_{$ i}( $D_{$ i})}의 $M_{n_{i}}(D_{i})$ 곱과 동일하며, 두 $정수 i$ n은 $지수$ i의 순열까지 일의로 결정된다.

$만약$ R이 유한 차원 반단순 k-대수라면, 위의 문장의 $각 i$ D는 k $위$ 의 유한 차원 나눗셈 대수이다. $각 i$ D의 중심은 $k일$ 필요는 없습니다. $k$ 의 유한 확장일 수 있습니다.

$R$ 이 분할환 E에 대한 유한차원 단순대수라면 D는 E에 포함할 필요가 없다는 점에 유의한다.예를 들어, 복소수 위의 행렬 고리는 실수에 대한 유한 차원 단순 대수이다.

결과 1

웨더번-아틴 정리에 따르면 분할환 위에 유한 차원인 모든 단순 고리는 분할환 D 위에 있는 n-by-n 행렬 고리와 동형이며, 여기서 n과 D는 ^[2]둘 다 유일하게 결정된다.이것은 조지프 웨더번의 원래 결과입니다.에밀 아르틴은 나중에 그것을 왼쪽 또는 오른쪽 아르티니아 고리의 경우로 일반화했다.특히 k $(\displaystyle$ k $)$ 가 $k$ 대수적으로 닫힌 필드인 $경우$ k $(\displaystyle$ k $)$ 에서 $k$ 입력된 행렬링은 k $(\displaystyle$ k $k$ 에 대한 $k$ 한 유한 차원 Artian 단순 대수이다.

결과 2

k를 대수적으로 닫힌 필드라고 $하자$ .R을 반단순 고리, 즉 유한 차원 k-대수로 $하자$ . $R$ 은 유한곱 $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ i $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ r $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ ( $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ ) \ $displaystyle$ \ $textstyle$ \ $textstyle _$ { $i$ $n_{i}\times n_{i}$ $1}^{$ $n_{i}}($ $k$ ) $M_$ ${$ n_i $}($ k $n_{i}$ $) 여기$ 서 ni ( $n_{i}\times n_{i}$ )는 i × $n_{i}$ $n_{i}\times n_{i}$ 의 $정수$ 이다. $k$ 보다 커집니다.

결과

웨더번-아틴 정리는 $필드$ K에 대한 유한 차원 중심 단순 대수를 분류하는 문제를 K에 $대한$ 유한 차원 중심 분할 대수로 분류하는 문제로 줄인다.

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레퍼런스

^ 반단순 고리는 반드시 아티니아 고리입니다.어떤 작가들은 반지에 하찮은 제이콥슨 라디칼이 있다는 의미로 "반심플"을 사용한다.아르티니아 고리의 경우 두 개념은 동일하기 때문에 "아르티니아"가 포함되어 그 애매함을 해소합니다.
^ ^a ^b John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge University Press. p. 156. ISBN 978-0-521-64407-5.

P. M. Cohn (2003) 기본 대수: 그룹, 링, 필드, 137-9페이지.
J.H.M. Wedderburn (1908). "On Hypercomplex Numbers". Proceedings of the London Mathematical Society. 6: 77–118. doi:10.1112/plms/s2-6.1.77.
Artin, E. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5: 251–260. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[1] 반단순 고리는 반드시 아티니아 고리입니다.어떤 작가들은 반지에 하찮은 제이콥슨 라디칼이 있다는 의미로 "반심플"을 사용한다.아르티니아 고리의 경우 두 개념은 동일하기 때문에 "아르티니아"가 포함되어 그 애매함을 해소합니다.

[Beachy1999-2] John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge University Press. p. 156. ISBN 978-0-521-64407-5.

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