약한 측정

양자역학(및 계산 및 정보)에서 약한 측정은 관찰자가 평균적으로 시스템에 대한 정보를 거의 얻지 못하지만 상태를 거의 방해하지 않는 양자 측정의 한 유형이다.^[1] 부쉬의 정리로부터^[2] 시스템은 반드시 측정에 의해 교란된다. 문헌에서 약한 측정은 또한 흔들림,^[3] 퍼지,^[3]^[4] 둔탁함, 소음,^[5] 근사함, 온화한^[6] 측정으로 알려져 있다. 또한 약한 측정은 종종 약값의 뚜렷하지만 관련된 개념과 혼동된다.^[7]

역사

약한 측정은 양자 시스템의^[8] 약한 연속 측정(즉, 양자 필터링 및 양자 궤적)의 맥락에서 먼저 생각되었다. 연속 양자 측정의 물리학은 다음과 같다. 양자 시스템을 프로빙하기 위해 필드 또는 전류와 같은 안실라를 사용하는 것을 고려해 보십시오. 시스템과 프로브 사이의 상호 작용은 두 시스템의 상관 관계를 분석한다. 일반적으로 교호작용은 시스템과 보조적 관계만 약하게 연관시킨다. (특히 교호작용 단일체는 섭동 이론에서 1차 또는 2차 순서로만 확장하면 된다.) anicilla를 측정한 다음 양자 측정 이론을 사용하여 측정 결과에 대해 조건화된 시스템의 상태를 결정할 수 있다. 강력한 측정을 얻으려면 많은 안시야를 결합한 다음 측정해야 한다. 보조기구의 연속성이 있는 한계에서는 측정 과정이 시간 내에 연속적으로 된다. 이 과정은 맨스키,^[9]^[10] 벨라브킨,^[11]^[12] 바르시엘리, 란즈, 프로스페리,^[13] 바르시엘리,^[14] 동굴,^[15]^[16] 밀번으로 먼저 설명되었다.^[17] 나중에 하워드 카마이클과^[18] 하워드 M. 와이즈맨은^[19] 또한 그 분야에 중요한 공헌을 했다.

약한 측정에 대한 개념은 종종 아하로노프, 알버트, 바이드만에게 잘못 인용된다.^[7] 그들은 논문에서 약한 측정의 예를 고려하고(그리고 아마도 "약한 측정"이라는 문구에 동기를 부여한다) 그들이 처음으로 정의한 약한 가치의 정의에 동기를 부여하는 데 그것을 사용한다.

수학

약한 측정에 대해 보편적으로 인정되는 정의는 없다. 한 가지 접근방법은 Kraus 사업자의 일부 또는 전체가 정체성에 가까운 일반화된 측정이라고 선언하는 것이다.^[20] 아래에서 취하는 접근법은 두 시스템을 약하게 상호작용한 다음 그 중 하나를 측정하는 것이다.^[21] 이 접근법을 상세히 설명한 후 예를 들어 설명하겠다.

약한 교호작용 및 보조 결합 측정

Consider a system that starts in the quantum state $\psi \rangle$ and an ancilla that starts in the state $\phi \rangle$ , the combined initial state is $\Psi \rangle = \psi \rangle \otimes \phi \rangle$ . These two systems interact via the Hamiltonian $H=A\otimes B$ , which generates the time evolutions $U(t)=\exp[-ixtH]$ (in units where $\hbar =1$ ), where $x$ is the "interaction strength", which has units of inverse time. Assume a fixed interaction time $t=\Delta t$ and that $\lambda =x\Delta t$ is small, such that $\lambda ^{3}\approx 0$ . A series expansion of $U$ in $\lambda$ gives

{\reasoned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3}\\\\\cHB I\i\lambda A\otimes B-{1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\여러 번 B^{2}.\end{정렬}}

섭동 이론에서 단일질서를 낮은 질서로 확장하는 것만이 필요했기 때문에, 우리는 이것을 약한 상호작용이라고 부른다. 또한 $\lambda }$ 과 $\lambda$ $\lambda ^{2}$ 2 $\lambda ^{2}$ {\ $displaystyle \lambda ^{2$ }}가 $\lambda ^{2}$ 작기 때문에 유니테리어가 주로 ID 연산자라는 사실은 상호작용 후의 상태가 초기 상태와 근본적으로 다르지 않음을 암시한다. 상호작용 후 시스템의 결합된 상태는

\psi '\rangele =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{{1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\오른쪽) \Psi \rangele .

이제 우리는 시스템에 대해 알아내기 위해 anchilla에 대한 측정을 수행하는데, 이것은 anchilla-coupled 측정이라고 알려져 있다. ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ $|q\rangle$ ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ q $|q\rangle$ ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ = I ${\textstyle \sum _{q} \langle q =I}$ 을(를) 기준으로 $|q\rangle$ 을 고려한다 ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ 두 시스템에 대한 측정 작업은 프로젝터 $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ = $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ q $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ $displaystyle \Pi _{q}=$ 의 작업으로 설명된다. $|\Psi '\rangle$ $\otimes q\angle \langle$ q $}$ 공동 상태 state $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ $|\Psi '\rangle$ ${\displaystyle \Psi '\rangle$ $|\Psi '\rangle$ 양자 측정 이론에서 우리는 측정 후의 조건 상태를 알 수 있다.

{\begin{aligned} \Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q} \Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi ' \Pi _{q} \Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q \phi \rangle -i\lambda A\langle q B \phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q B^{2} \phi \rangle }{\mathcal{N}} \psi \rangele \otimes q\rangle,\ended}}}}

여기서 ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ = ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ { ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${$ {\ $textstyle {\mathcal{N}={\sqrt$ {\ $langle \Psi$ ' $\Pi_{q} \Psi '\angle }}}}}}}$ 은 파형 기능의 정규화 요인이다 ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ . 보조 시스템 상태는 측정 결과를 기록한다는 점에 유의하십시오. 개체 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ q := I ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ⟩ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ - i ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ q B ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ - 1 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ q 2 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ q ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ 2 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ⟩ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ { {\ $textstyle M_{q}:$ $=I\langle q \phi \angle -i\lambda A\langle q B \phi \langle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{$ $A^{2}\langle$ q $B^{2} \phi \rangle }$ 은(는 ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ ) 시스템 Hilbert 공간의 연산자로 Kraus 연산자라고 불린다.

Kraus 운영자에 관해서, 결합 시스템의 사후 측정 상태는 다음과 같다.

\psi_{q}\rangele ={\frac {M_{q} \psi \langle \psi M_{q}^{\dager }M_{q}}}\psci \}}\otimes q\rangele.}

$E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ $E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ = $E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ = M $E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ ${\$ 은(는) POVM이라고 하는 것의 요소로서 $E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ 반드시 ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ = ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ ${\textstyle \sum$ \sum $_{q}E_{q}=}}}}$ 을 준수해야 한다. $I}$ so that the corresponding probabilities sum to unity: ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q \psi )=\sum _{q}\langle \psi E_{q} \psi \rangle =1}$ . As the ancilla system is no longer correlated with the primary system, it is simply recording the outcome of the measurement, we can trace ov음. 그렇게 하면 1차 시스템의 조건부 상태만 얻을 수 있다.

\psi _{q}\rangele ={\frac {M_{q} \psi \rangele }{\si M_{q}^{\dager }}\m_{q} \psi \rangele}}}}}}}},

측정 $q$ {\ $displaystyle q}$ 의 결과에 따라 레이블을 지정한다 $q$ 실제로 이러한 고려 사항들은 양자 궤적을 도출할 수 있게 해준다.

Kraus 연산자 예제

우리는 바르시엘리, 란즈, 프로스페리,^[13] 그리고 동굴과 밀번에서 주어진 가우스 크라우스 연산자의 표준적인 예를 사용할 것이다.^[17] Take $H=x\otimes p$ = $H=x\otimes p$ $H=x\otimes p$ $H=x\otimes p$ ${\displaystyle H=x\otimes$ p $H=x\otimes p$ 여기서 두 시스템의 위치와 모멘텀은 통상적인 표준 정류 관계 $[x,p]=i$ [ $[x,p]=i$ , $[x,p]=i$ $[x,p]=i$ = $[x,p]=i$ ${\displaystyle [x,p]=i$ 가우스 분포를 갖기 위해 보조의 초기 파동 기능을 취한다.

\Phi \rangele ={\frac {1}{{{\pi \sigma ^{2}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})] q'\rangele .

Anchilla의 위치파동 기능은

\Phi (q)=\langle q \Phi \rangle ={\frac {1}{1}{{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2}).

Kraus 연산자는 (위의 논의와 비교하여 $\lambda =1$ = $\lambda =1$ $[\displaystyle \lambda =1})$ 로 설정했다 $\lambda =1$

{\begin{aligned}M(q)&=\langle q \exp[-ix\otimes p] \Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}

해당 POVM 요소가

{\begin}E(q)&=M_{q}^{\dager }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}: exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ E ( ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ) ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ = ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle \int dq\,E(q)=I$ 문헌에서 흔히 다른 표현을 볼 수 있다. 위치 연산자 ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ = ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ x x ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ x x x ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ x ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ x ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ { { { { { { { { { ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ \ $textyle x$ =\ $int x$ 'dx' x'\랑 $글 \langle x$ 우리는 쓸 수 있다.

{\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})] x'\rangle \langle x' ,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})] x'\rangle \langle x' .\end{aligned}}

는 σ → 0E(q)lim에 주목해라)x = q ⟩ ⟨ x = q{\textstyle \lim_{\sigma \to 0}(q)=x=q\rangle \langle x=q}그것은, 이러한 사업자 위치의 강력한 측정에 제한하는 특정한 제한하는 것이며 우리의 측정치에 finite-strength으로 부른다 σ{\displaystyle \sigma}의 다른 가치를 위한 것, 그리고로σ→ ∞{\d .[17].ispl $aystyle \sigma \to \infully$ 우리는 측정이 약하다고 말한다.

정보게인-장애물 트레이드오프

위에서 말한 바와 같이, 부쉬의 정리는^[2] 무료 급식을 방지한다: 교란 없이는 어떠한 정보 이득도 있을 수 없다. 그러나 정보 획득과 교란 사이의 트레이드오프는 푸흐스와 페레스,^[22] 푸흐스,^[23] 푸흐스와 야콥스,^[24] 그리고 바나섹을 포함한 많은 저자들에 의해 특징지어졌다.^[25]

최근 "신사 측정 보조정리"라고 불리는 맥락에서 정보-거점-장애물 절충 관계가 조사되었다.^[6]^[26]

적용들

초기부터 약한 측정의 주요 용도는 양자 시스템의 피드백 제어 또는 적응형 측정을 위한 것이 될 것이 분명했다. 실제로 이것은 벨라브킨의 작품의 많은 동기를 부여했고, 동굴과 밀번으로부터 명시적인 예가 제시되었다. 적응형 약한 측정의 조기 적용은 실험적으로 실현된 돌리나르의 수신기의^{[dead link]} 그것이었다.^[27]^[28]^[29] 약한 측정의 또 다른 흥미로운 적용은 약한 측정 후에 약한 측정치를 사용하고 약한 측정 결과를 조건부로 하여 다른 일반화된 측정치를 합성하는 것이다.^[20] 와이즈맨과 밀번의 책은^[21] 많은 현대적 발전을 위한 좋은 참고서다.

추가 읽기

브룬 기사^[1]
제이콥스와 스탁의 기사^[30]
양자 측정 이론과 그 응용, K. Jacobs (Cambridge Press, 2014) ISBN 9781107025486
양자 측정 및 제어, H. M. 와이즈먼 및 G. J. 밀번(Cambridge Press, 2009)^[21]
타미르와 코헨의 기사^[31]

참조

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