운굴라

고체 기하학에서, 웅굴라는 그것의 밑부분으로 비스듬한 면에 의해 잘려진, 혁명의 고체의 지역이다.^[1]일반적인 예는 구면 쐐기 입니다.언굴라(unula)라는 용어는 말의 발굽을 가리키는데, 이는 언굴라 불리는 포유류의 부류를 규정하는 해부학적 특징이다.

원통형의 부피는 그레고아르 드 생 빈센트에 의해 계산되었다.^[2]반지름과 수직 축이 같은 두 개의 실린더가 네 개의 이중 굴레로 교차한다.^[3]교차로에 의해 형성된 자전거는 아르키메데스가 기계 이론의 방법에서 측정한 것이지만, 원고는 1906년까지 분실되었다.

미적분의 역사학자는 적분에서 웅굴라의 역할을 다음과 같이 묘사했다.

그레고레 자신은 평면도관을 통해 부피적 통합이 축소될 수 있다는 것을 평면 도형의 거짓말 사이의 기하학적 관계를 고려하는 웅굴라(Ungula)를 참고하여 설명하는 데 주로 신경을 썼다.그러나 웅굴라는 그를 따르는 사람들, 그리고 그 속에서 여러 가지 기발한 방법으로 통합을 표현하고 변형시키는 수단을 본 사람들에게 귀중한 영감의 원천임을 증명했다.^{[4]: 146}

원통형 우굴라

기초 반지름 r과 높이 h의 원통형 웅굴라는 부피가 있다.

${\displaystyle V}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle r{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h},$^[5]

그것의 총 표면적은

${\displaystyle A}$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \pi }$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle r\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ +${\displaystyle \sqrt{{}^{}{r\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle 2}$ +$$ h $displaystyle A={1 \over$ 2$}\pi r^{2$}+{1$\over$2}\$pi r{{rqrt{2$}+h$^{2}}}+2rh$

곡선 측면부의 표면적은

${\displaystyle A_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{2r}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A_{s}=2rh$

그리고 그 꼭대기의 표면적(천장 지붕)은

${\$$$$}}}}$.

증명

실린더 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2}+y^{2$}를 고려하십시오.$}}=r^{2}}:$ $평면{\displaystyle }$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z=0}$ 및$$ $평면{\displaystyle }$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=ky}$에 의해 아래 경계를 이루며$$, 여기서$$ k는 기울어진 지붕의 기울기입니다.

${\displaystyle k}$= ${\displaystyle h\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\$ r$\}\}.$

볼륨을 y축에 평행한 슬라이스로 자르면 삼각 프리즘 모양의 차등 슬라이스가 볼륨이 있다.

$(\displaystyle A(x)\,dx}$

어디에

${\displaystyle A(x)={1 \over 2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}\cdot k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})}}}}}$

is the area of a right triangle whose vertices are, ${\displaystyle (x,0,0)}$, ${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)}$, and ${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}})}$, and whose base and height are이에$$ ${\displaystyle \sqrt{{따라\mathrm{}}^{}}}$ r 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$ 2 ${\$ 및 k ${\displaystyle r\sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}$ - ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$그러면 전체 원통형 웅굴라의 부피는 다음과 같다.

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}A(x)\,dx=\int _{-r}^{r}{1 \over 2k(r^{2}-x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \qquad ={1 \over 2}k{\Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{\Big [}{1 \over 3}x^{3}{\Big ]}_{-r}^{r}{\Big )}={1 \over 2}k(2r^{3}-{2 \over 3}r^{3})={2 \over 3}kr^{3}}$

어느 것이 같은가.

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle rk=h}$을(를) 대체한 후$.$

곡선 측면 벽의 차등 표면적은

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle )}$ )${\displaystyle r}$ r d${\displaystyle {\theta \mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle k}$ r ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$θ ) ${\displaystyle d}$ d d ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle dA_{s}=kr(\sin \theta )\d\\d\cdot$ r$\k^{2}(\sin \cdeta$ ) ,$d\ta$ $\},$d$.$

which area belongs to a nearly flat rectangle bounded by vertices ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$, ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,kr\sin \theta )}$, ${\displaystyle (r\cos(\theta +d$$\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),0)}$, and ${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),kr\sin(\theta +d\theta ))}$, and whose width and height are thereby ${\displaystyle r\,d\theta }$ and (close enough to) ${\displaystyle$$$각각 $kr\sin \theta$그러면 벽의 표면적은

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{}\pi }dA_{s}=\int _{0}^{\pi }kr^{2}(\sin \sin \cr^{2}\pi }}}$

여기서 적분율${\displaystyle }$-${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \cos \cos }$ ] ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -[\cos \theta ]^{0}^{\pi }=-[-1]=2$ 따라서 벽면 면적이

${\displaystyle A_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{2k}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle rk=h}$ 산출량$$ 대체

${\displaystyle A_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{2r}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A_{s}=2rh}$.

원통형 uncula의 밑부분은 반지름 r의 반원형 표면적: 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}^{}}$ r ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$${$1$\over$ 2$}\pi r^{2}},$해당 uncula의 기울어진 윗부분은 길이 r의 반소축과 길이 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ $2$의 반주축이 $있는$ $반팔각형이다.$${{}}}}}}}}$이$($가) 넓어지도록

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r\cdot r{\sqrt{1+k^{2}}}}={1 \{{}\pi r{\sqrt{r^{2}+(kr)^{2}}}}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle kr=h}$ 산출량$$ 대체

${\$$$$}}}}$. ∎

측면 벽의 표면적이 볼륨과 어떻게 관련이 있는지 주의하십시오. 이러한 표면적이 ${\displaystyle {}^{}}$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $dr$$}$에$$d ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle$ dr$}$을 곱하면 차동 하프 쉘의 볼륨이 제공되며$$, 이 볼륨은 2 ${\displaystyle 3k}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 통합되어 있다.

경사 k가 1일 때 그러한 웅굴라는 정확히 자전거의 8분의 1이다. 자전거의 부피는 ${\displaystyle \frac{16}{}}$ 3 ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$ ${\$이다$.$ 8분의 1은 $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$ ${\$ {2$\displaystystyle{3}r^{3}.$

원뿔형 우굴라

높이 h, 베이스 반지름 r, 상부 평탄한 표면 경사 k의 원뿔형 웅굴라(반원형 기초가 하단에 있는 경우, 평면 z = 0)에는 부피가 있다.

${\displaystyle V={r^{3}k하이 \over 6}}$

어디에

${\displaystyle H={1 \over {1 \over h}-{1 \over rk}}}}$

ungula를 잘라낸 원뿔의 높이와

${\displaystyle I=\int _{0}^{\pi }{2$$$$H+kr\sin \theta \over (H+kr\sin \theta )^{2}}\sin \theta \,d\theta$ $\}.$

곡선 측면부의 표면적은

${\displaystyle A_{s}={kr^{2}{\sqrt{r^{2}+$$H^{2}}:} \over{{I}$.

일관성 검사로 원뿔의 높이가 무한대로 올라가면 어떤 일이 일어나는지 고려하여 원뿔이 한계에 있는 실린더가 되도록 한다.

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}I-{4 \over H}{\Big )}=\lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}{2H \over H^{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta -{4 \over H}{\Big )}=0}$

하도록

${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \underset{}{H}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$= ${\displaystyle r\frac{{}^{}}{}}$ 3 ${\displaystyle \frac{{k\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{H}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle H}$= 2 ${\displaystyle \frac{3}{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {4$\over$ H$}={2 \}kr^{3$

${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \underset{}{H}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle A_{}}$= k ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ 4 ${\displaystyle \frac{H}{}}$= 2 ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ r 2 ${\$H$\over$ 2$}\cdot {$4$\over$ H$}=2kr^{2$ 그리고

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{t}={1 \over 2}\pi r^{2}{{\sqrt {1+k^{2}}} \over 1+0}={1 \over 2}\pi r^{2}{\sqrt {1+k^{2$$}}}={1} \1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(rk)$$^{2}}}}$,

원통형 케이스와 일치하는 결과

증명

원뿔을 다음과 같이 설명하십시오.

${\displaystyle 1-{\rho \over r}={z \over H}}}$

여기서 r과 H는 상수, z와 ρ은 변수,

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\qquad 0\leq \rho \leq r}$

그리고

${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle ,y}$= ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ {\$displaystyle x=\rho \cos$\cos \$theta,\qquad$ y$=\rho \sin \theta$

원뿔을 평면으로 잘라라.

${\displaystyle z}$= ${\displaystyle k}$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sin }$ sin ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle$ z$=k=k\rho \sin \theta$

이 z를 원뿔 방정식으로 대체하고, ρ 산출량에 대한 해결

${\displaystyle \rho _{0}={1 \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}}$

주어진 값에 대해 for은 면과 원뿔의 축에서 가장 멀리 떨어져 있는 원뿔의 양쪽 모두에 공통되는 점의 방사형 좌표다.이 점의 원통형 높이 좌표는

${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle H}$( ${\displaystyle 1\frac{{}_{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ 0 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$) ${\$ $\over$r}{\$Big$ $)\}\}\}\}\}\}.$

그래서 θ각의 방향을 따라 원뿔형 운굴라의 단면은 삼각형처럼 보인다.

${\displaystyle (0,0,0)-(\rho _{0}\cos \theta ,\rho _{0}\sin \theta ,z_{0})-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$.

Rotating this triangle by an angle ${\displaystyle d\theta }$ about the z-axis yields another triangle with ${\displaystyle \theta +d\theta }$, ${\displaystyle \rho _{1}}$, ${\displaystyle z_{1}}$ substituted for ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \rho _{0}}$, and $$${\displaystyle z_{0}}$ respectively, where ${\displaystyle \rho _{1}}$ and ${\displaystyle z_{1}}$ are functions of ${\displaystyle \theta +d\theta }$ instead of ${\displaystyle \theta }$. Since ${\displaystyle d\theta }$ is infinitesimal then ${\displaystyle \rho$$_{1}$및$$ $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1} 또한$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \rho_{0$$}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 무한히 다르므로 차동 사다리꼴 피라미드의 체적을 고려할 때 동일한 것으로 간주할 수 있다.

The differential trapezoidal pyramid has a trapezoidal base with a length at the base (of the cone) of ${\displaystyle rd\theta }$, a length at the top of ${\displaystyle {\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}rd\theta }$, and altitude ${\displaystyle {z_{0}$$\over H}{\sqrt {r^{2}+$$H^{1$}:{2$\}\}:$ 사다리꼴에 면적이 있음

$displaystyle A_{{}$$T}={r\,d\theta +{\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}r\,d\d\theta \over 2}{z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+)$$H^{2}}:}=r\,d\d\theta {(2H-z_{0}}}z_{0}} \over 2H^{2}}{\sqrt{r^{2}+$$H^{2$

사다리꼴 베이스에서 포인트까지의 고도$({\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\디스플레이$ 스타일$(0,0,0)$은 길이가 차등 가까운 값이다.

${\$$H^{2$

(이것은 사다리꼴 피라미드의 측면 삼각형 중 하나의 고도)피라미드의 부피는 기본 면적의 3분의 1에 해당하는 위도 길이로 원뿔형 웅굴라의 부피는 그 핵심이다.

${\displaystyle V=\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}{rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}:}{{{0}}}z_{0}} \over 2H^{2}}{\sqrt{r^{2}+H^{2}}}r\,d\theta =\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H}d\theta ={r^{2}k \over 6H}\int _{0}^{\pi }(2H-ky_{0})y_{0}\,d\theta }$

어디에

${\displaystyle y_{0}=\rho _{0}\sin \theta ={\sin \over {1\over r}+{k\sin \theta }={1\over r\sin }{kover H}}}}}}}$

오른손을 적분으로 대체하고 대수학적 조작을 하면 부피가 입증되는 공식이 된다.

sidewall의 경우:

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }A_{T}=\int _{0}^{0}{{0}}{{0}}z_{0}} \{0} \{0} \over 2H^{2}}r{\sqrt{r^{2}+H^{2}}}\,d\theta ={kr{\sqrt{r^{2}+H^{2}}:} \over 2H^{2}}\int_{0}^{\pi }(2H-z_{0}}y_{0}\,d\theta }}}$

맨 오른쪽의 적분은 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H^{2}rI}$로 단순화된다$.$

일관성 검사로 k가 무한대로 갔을 때 어떤 일이 일어나는지 고려한다. 그러면 원뿔형 웅굴라가 세미콘이 되어야 한다.

${\displaystyle \lim _{k\오른쪽 화살표 \infit }{\Big (}I-{\pi \over kr}{\Big )=0}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infit }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}{\Big (}{1 \3}\pi r^{2}H{\Big )}}}}$

원뿔의 부피의 절반이다.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infit }A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}: \over 2}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}\pi r{\sqrt{r^{2}+H^{2}}:}}$

원뿔의 곡선 벽면 면적의 절반이다.

상단부 표면적

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$/ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k=H/r}$일$$때 "상부"(즉, 밑부분과 같이 반원형이 아닌 평평한 얼굴)는 포물선 모양을 하고 그 표면적은 다음과 같다.

${\$$H^{2$

< / ${\displaystyle k<H/r}$이(가) 있을 때 상단부에는 타원형(즉, 타원의 1/2 미만)이 있고 그 표면적은

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){\sqrt{1+k^{2}}\Lambda }}$

어디에

${\$$H^{2}-k^{4}r^{6} \over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2$$}^{2}$$}}}}$,

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{r}{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{k\frac{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{H}{}}{}}$ ${\$1$\over$ r$}+{k \over$ H$\}\},$

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle k\frac{}{}}$ r ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ h ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$H$\over$ k$^{2}r^{2}-H^{2$

${\displaystyle \Lambda ={\pi \over 4}-{1 \over 2}\arcsin(1-\lambda )-{1 \over 4}\sin(2\arcsin(1-\lambda ))}$, and

${\displaystyle \lambda }$= ${\displaystyle y\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ - y m ${\$}-$y_{m$

> / ${\displaystyle k>H/r}$이(가) 있을 때 상단 부분은 하이퍼볼라의 단면이고 그 표면적은

${\displaystyle A_{t}={\sqrt {1+k^{2}}(2Cr-aJ)}$

어디에

${\displaystyle C}$= ${\displaystyle y\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ y ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$ 위와 같다.

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{1k}}{}}{}}$ H${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1\frac{\mathrm{}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{r}{}}{}}$ ${\$

${\displaystyle a}$= ${\displaystyle r\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{C\mathrm{}}^{}}}{}}$ 2 -${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}{\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\$ a$={r \over {\sqrt {C^{2}-\Delta ^{2$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= ${\displaystyle y\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ 2 ${\$1}{1} \{1}$$\{1} \{}}}}$이상$

$displaystyle J={r \over a}B+{\delta ^{2} \over 2}\log {\Biggr}{{r \$$cH00B$$빅그라$ $\}\},$

여기서 로그는 자연스럽고

${\displaystyle B}$= ${\displaystyle \sqrt{{\Delta \mathrm{}}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$+ r ${\displaystyle \sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ a ${\displaystyle \sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ ${\$2}} \{r^{2}}} $\over$ a$^{2}}}$.

참고 항목

• 구면 웨지
• 스타인메츠 고체

참조

외부 링크

• William Vogdes (1861) Google Books를 통한 측정 및 실제 기하학에 관한 기초 논문