열차 궤도 지도

기하학적 집단 이론의 수학 과목에서, 열차 트랙 지도는 유한 연결 그래프에서 그 자체로 이어지는 연속 지도 f로, 호모토피 동등성이며, 반복에 관해서 특히 좋은 취소 특성을 가지고 있다. 이 맵은 그래프의 모든 에지 e와 모든 양의 정수 n에 대해 fⁿ(e)가 담근 속성을 가진 비(非) 에지 경로에 정점과 에지에 정점을 보낸다. 즉, fⁿ(e)가 e에 로컬로 주입된다. 열차 트랙 지도는 정밀하게 생성된 자유 집단의 자동화의 역학 분석과 컬러-보그만 외부 공간의 연구에 중요한 도구다.

역사

자유 그룹 자동화를 위한 열차 트랙 지도는 1992년 베스트비나와 헨델에 소개되었다.^[1] 이 개념은 Thurston의 표면의 열차 선로에 의해 동기 부여되었지만, 자유 그룹 사례는 실질적으로 다르고 더 복잡하다. 1992년 논문에서 Bestvina와 Handel은 F의_n 모든 돌이킬 수 없는 자동모형에는 열차 트랙 대표가 있다는 것을 증명했다. 그들은 같은 논문에서 상대 열차 선로의 개념을 소개하고 스콧 추정을 풀기^[1] 위해 열차 선로 방법을 적용했는데, 이는 미세하게 생성된 자유 그룹 F의_n 모든 자동화 α에 대해 고정된 하위 그룹 α는 최대 n등급에서 자유롭다는 것이다. 후속 논문에서^[2] Bestvina와 Handel은 열차 트랙 기법을 적용하여 Thurston의 소형 표면(경계가 있건 없건 없건)의 동위원소 분류에 대한 효과적인 증거를 얻었는데, 이 증거는 그러한 동위원소까지 환원 가능하며 유한한 순서나 사이비 아노소프라는 것이다.

그 이후로 철도는 자유 그룹과 Out(F_n) 하위 그룹의 자동화된 대수학, 기하학 및 역동적 특성에 대한 연구에서 표준 도구가 되었다. 열차 선로는 F의_n 특정 결합 등급에 적용되는 F의_n 자동형성 큰 반복에 대한 장기적 성장(길이 측면)과 취소 행동을 이해할 수 있기 때문에 특히 유용하다. 이 정보는 특히 컬러-보그만 외계에서 아웃(F_n) 요소의 작용과 그 경계선의 역학관계와 실제 나무에 대한 F 작용을 연구할_n 때 유용하다.^[3][4][5] 기차 길들의 어플리케이션 예로는:Brinkmann[6]의 정리인 Fn의 모든 자기 동형 α에 만일 α이 주기적인 conjugacy의 수업이 있Bridson과 Groves[7]의 정리가 α의 매핑 원환체 그룹 구현하는 2차 isoperimetr은 Fn의 자기 동형 α에 α의 매핑 원환체 그룹word-hyperbolic를 증명하는 포함한다.ic ine품질, 자유 주기 그룹에 대한 결합 문제의 알고리즘적 해결 가능성 증명 등.^[8]

트레인 트랙은 그룹 아웃(F_n)이 티츠 대안을 만족한다는 베스트비나, 파인, 헨델의 입증에서 핵심 도구였다.^[9][10]

자유 집단의 주입적 내형성을 위한 열차 선로 기계는 후에 딕스와 벤투라에 의해 개발되었다.^[11]

형식 정의

조합 지도

유한 그래프 γ(여기서 1차원 셀 콤플렉스로 생각됨)의 경우 결합형 맵은 연속형 맵이다.

f : γ → γ

다음과 같은 경우:

• 지도 f는 정점을 정점으로 한다.
• γ의 모든 엣지 e에 대해 그것의 이미지 f(e)는 γ에서 비경쟁 엣지 경로₁ e...e이다_m. 여기서 m ≥ 1. 더욱이 e는 i-th 간격의 내부가 엣지 e의_i 내부에 동형적으로 매핑되도록 m 간격으로 세분될 수 있다. i = 1,...m.

열차 궤도 지도

γ은 유한 연결 그래프가 되도록 한다. 조합 지도 f : γ → γ의 모든 에지 e와 모든 정수 n ≥ 1 에 대해 에지 경로ⁿ f(e)가 백트랙(backtrack)을 포함하지 않는 경우, 즉 hh⁻¹ 폼의 하위 경로를 포함하지 않는 경우, h가 γ의 에지인 경우 γ → γ이라고 한다. 즉, f toⁿ e의 제한은 모든 에지 e와 모든 n ≥ 1에 대해 국소적으로 주입(또는 몰입)된다.

사례 n = 1에 적용될 때, 이 정의는 특히 경로 f(e)에 백트랙이 없음을 암시한다.

위상학적 대표자

F는_k 유한 계급 k ≥ 2의 자유 집단이 되게 하라. A의 기본 원소에 해당하는 k 원의 쐐기인 장미 R의_k 기본 집단으로 F의_k 자유 기준 A와 식별을_k 고정시킨다.

φ ∈ out Out_k(F)을_k F의 외적인 오토모프성으로 하자.

top의 위상학적 대표자는 다음과 같은 3중(τ, γ, f)이다.

• γ은 첫 번째 베티 번호 k를 가진 유한 연결 그래프다(그래서 fundamental의 기본 그룹이 k 등급에서 자유롭다).
• τ : R_k → γ은 호모토피 동등성 (이 경우 τ은 기초 집단 수준에서 이형성을 유도하는 연속적인 지도라는 것을 의미한다.)
• f : γ → γ은 호모토피 등가성인 콤비네이터럴 맵이다.
• σ : γ → R이_k τ의 호모토피 역인 경우, 구성

σfτ : R_k → R_k

외부_k 자동화 등급이 class인 F = π₁(R_k)의 자동화를 유도한다.

위의 정의에서 지도 τ은 표시라고 하며 위상학적 대표자가 논의될 때 일반적으로 억제된다. 따라서 표기법을 남용하여 위 상황의 f : → → γ은 φ의 위상학적 대표라고 말하는 경우가 많다.

열차 선로 대표

φ ∈ out Out_k(F)을_k F의 외적인 오토모프성으로 하자. φ의 위상학적 대표인 열차 트랙 지도를 φ의 열차 트랙 대표라고 한다.

법률 및 불법 턴

렛 f : → → γ은 콤비네이터리 맵이다. 턴은 정렬되지 않은 쌍 e이며, 공통의 초기 꼭지점을 갖는 γ(꼭 구별되는 것은 아님)의 방향 에지 h이다. 턴 e, h는 e = h이면 퇴보되고 그렇지 않으면 퇴화되지 않는다.

턴 e, h는 일부 n ≥ 1의 경우 fⁿ(e) 및 fⁿ(h) 경로에 서로 다른 공통 초기 세그먼트(즉, 동일한 에지에서 시작)가 있는 경우 불법이다. 회전이 불법이 아니라면 합법이다.

엣지 경로₁ e, ..., e는_m 턴_i⁻¹ e_i+1, i = 1, ..., m-1을 포함하는 것으로 알려져 있다.

조합 지도 f : γ → γ은 γ의 모든 에지 e에 대해 f(e) 경로에 불법 회전이 없는 경우에만 열차 트랙 지도다.

파생상품지도

f : γ → γ을 조합 지도로 하고 E를 γ의 방향 에지 집합으로 한다. 그런 다음 f는 파생 맵 Df : E → E를 결정한다. 여기서 모든 에지에 대해 eDf(e)는 경로 f(e)의 초기 에지가 된다. 지도 Df는 자연스럽게 지도 Df : T → T까지 확장되며, 여기서 T는 γ에서 모든 턴의 집합이다. 가장자리-페어 e, h가 제공하는 턴 t의 경우, 이미지 Df(t)는 턴 Df(e), Df(h)이다. 턴 t는 n ≥ 1마다 턴(Df)(ⁿt)이 비감속인 경우에만 합법적이다. 턴의 설정 T는 유한하므로, 이 사실은 주어진 턴이 합법적인지 아닌지를 알고리즘적으로 판단하여 f가 열차 트랙 지도인지 아닌지를 알고리즘적으로 결정할 수 있게 한다.

예

φ(a) = b, φ(b) = ab에 의해 주어지는 F(a,b)의 자동형이 되게 한다. γ은 정점 v에서 쐐기로 고정된 자유 기준 원소 a와 b에 해당하는 두 개의 루프 에지 E와_a E의_b 쐐기가 되게 한다. f : γ → γ은 v를 고정하고 에지 E를_a E에 보내고_b 에지 경로_b EE에_ab 에지 E를 보내는 맵이 되도록 한다. 그렇다면 f는 φ의 열차 트랙을 대표한다.

되돌릴 수 없는 자동화에 대한 주요 결과

불가해성 자동화

F의_k 외부 자동형성 φ은 자유로운 제품 분해가 존재할 경우 환원 가능하다고 한다.

${\displaystyle F_{k}=H_{1}\ast \dots H_{m}\ast U}$

여기서 모든 H는_i 비경쟁적이고, 여기서 m 1 1은 F에서_1k H,..., H의_m 결합 등급이 허용된다. F의_k 외부 자동형성 φ은 환원할 수 없는 경우에는 환원할 수 없다고 한다.

φ ∈ Out(F_k)은 모든 위상학적 대표 f : φ의 φ → φ의 γ 에 대해서만 수정할 수 있는 것으로 알려져^[1] 있는데, 여기서 γ은 유한하고, 연결되며, 1도 정점 없이 γ의 적절한 f-invariant 서브그래프가 숲이다.

불가해한 자동화를 위한 Bestvina-Handel 정리

베스트비나와 헨델은 열차 궤도 지도가 처음 소개된 1992년 논문에서^[1] 다음과 같은 결과를 얻었다.

φ ∈ Out(F_k)은 돌이킬 수 없게 한다. 그리고 φ을 대표하는 열차 트랙이 존재한다.

증거의 스케치

F의_k 자동형성 φ의 위상학적 대표 f:THR→THR의 경우 전환 매트릭스 M(f)은 rxr 행렬(여기서 r은 top의 위상학적 가장자리 수)이며, 진입 m은_ij f(e_j)가 에지_i e(양방향)를 통과하는 횟수다. 만일 φ이 ir을 red할 수 없는 경우, 전환 매트릭스 M(f)은 페론-프로베니우스 정리의 의미에서 ir(reducable)이며, M(f)의 스펙트럼 반경과 동일한 독특한 페론-프로베니우스 고유값 λ(f) ≥ 1을 가진다.

그런 다음 하나는 of의 위상학적 대표자에 대한 여러 가지 다른 움직임을 정의하는데, 이러한 움직임은 모두 전환 매트릭스의 Perron-Frobenius 고유값을 감소시키거나 보존하는 것으로 보인다. 이러한 움직임에는 가장자리 세분화, 발란스 원 호모토피(도 1 꼭지점 제거), 발란스 2 호모토피(도 2 꼭지점 제거), 불변 숲 붕괴, 접기 등이 포함된다. 이러한 움직임 중 발란스 원 호모토피는 항상 Perron-Frobenius 고유값을 감소시켰다.

불가해한 자동형성의 일부 위상학적 대표 f에서 시작하여 1은 알고리즘으로 위상학적 대표자의 순서를 구성한다.

f = f₁, f₂, f₃, f, ...

f에서 f를_n f로부터_n−1 몇 번의 움직임으로 얻는 경우, 특히 선택된 경우. 이 순서에서 f가_n 열차 선로 지도가 아닌 경우 f에서_n f를_n+1 생성하는 이동은 반드시 접힌 순서에 이어 발란스 원 호모토피피까지 포함하므로 f의_n+1 Perron-Frobenius 고유값이 f의_n 고유값보다 절대적으로 작다. 이 과정은 지도의 Perron-Frobenius 고유값이 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 이산형 하위 집합에서 f 값을_n 취하도록 배열되어 있다$.$ 이는 프로세스가 한정된 수의 스텝으로 종료되고 시퀀스의 마지막 기간 f가_N φ의 열차 트랙을 대표한다.

성장을 위한 애플리케이션

상기 정리의 결과(추가적인 논거 필요)는 다음과 같다.^[1]

• φ ∈ Out(F_k)을 수정할 수 없는 경우, Perron-Frobenius eigenvalue λ(f)는 φ의 열차 선로 대표 f의 선택에 의존하지 않고 φ 자체로 고유하게 결정되며 λ(φ)로 표시된다. 숫자 λ(φ)을 φ의 증가율이라고 한다.
• 만약 φ ∈ Out(F_k)이 수정할 수 없고 무한정 순서가 있는 경우 λ(φ) > 1. 더욱이, 이 경우 F의_k 모든 자유기준 X와 w f F의_k 대부분의 비독점 값에 대해 모든 n≥ 1에 대해 C 1 1이 존재한다.

${\displaystyle {\frac {1}{C}\lambda ^{n}(\phi )\leq ^{n(w) _{X}\leq C\lambda ^{n}(\phi ),}$

여기서 u는 X에 관해서 F의_k 요소 u의 주기적인 감소된 길이입니다. 유일한 예외는 F가_k 경계 S가 있는 콤팩트 표면의 기본 그룹에 해당하고, φ은 S의 사이비 아노소프 동형성에 해당하며, w는 S의 경계 구성요소를 도는 경로에 해당할 때 발생한다.

클래스 그룹 매핑의 요소와 달리, ir ∈ Out(F_k)의 경우 다음과 같은 경우가 많다.

λ(φ) ≠ λ(φ⁻¹).

상대열차선로

애플리케이션 및 일반화

• 열차 트랙의 첫 번째 주요 적용은 열차 트랙이 소개된 1992년 베스트비나와 헨델의^[1] 원문에 제시되었다. 이 논문은 스콧의 추측에 대한 증거를 제시했는데, 이는 미세하게 생성되는 자유 그룹_n F의 모든 자동화 α에 대해 고정된 부분군 α는 최대 n등급에서 자유롭다는 것이다.
• 후속 논문에서^[2] Bestvina와 Handel은 열차 트랙 기법을 적용하여 Thurston의 소형 표면(경계가 있거나 없는) 동위원소까지 모든 동위원소 형태는 유한한 순서 또는 사이비 아노소프라는 분류의 효과적인 증거를 얻었다.
• 열차 트랙은 Out(F_n)의 두 가지 되돌릴 수 없는 요소가 Out(F_n)에서 결합되는지 여부를 결정하기 위한 Los' 알고리즘의 주요 도구다.^[13]
• Blinkmann의^[6] 정리는 F의_n 자동형 α에 대해 α의 매핑 토러스 그룹이 주기적인 결합 등급이 없는 경우에만 단어-하이퍼볼릭이라는 것을 증명한다.
• 완전히 분해할 수 없는 F의_n 자동형태가 컬러-보그만 아우터 공간의 Thurston형 압축에 작용했을 때 "북남" 역학을 가지고 있음을 보여주는 레빗과 루스티그의 정리.^[4]
• F의_n 모든 자동형성 α에 대해 지도화 토러스 그룹은 2차 등차측 불평등을 만족시키는 브리슨과 그로브스의^[7] 정리.
• 그룹 Out(F_n)이 Tits 대안에 만족한다는 Bestvina, Feighn, Handel의 증명.^[9][10]
• F의_n 자동화 α가 주어진 알고리즘은 α의 고정 부분군이 사소한 것인지 아닌지를 결정하고 그 고정 부분군에 대한 유한 생성 세트를 찾아낸다.^[14]
• 보고폴스키, 마르티노, 마슬라코바, 벤투라에 의한 자유 주기 그룹에 대한 결합 문제의 알고리즘적 해결 가능성 증명.^[8]
• 자유집단의 주입적 내형성을 위한 열차 선로 기계는 자동화 사례를 일반화하여 1996년 딕스와 벤투라 책에서 개발되었다.^[11]

참고 항목

• 기하군 이론
• 리얼 트리
• 클래스 그룹 매핑 중
• 자유군
• 아웃(F_n)

기본 참조

• Bestvina, Mladen; Handel, Michael (1992). "Train tracks and automorphisms of free groups". Annals of Mathematics. Second Series. 135 (1): 1–51. doi:10.2307/2946562. JSTOR 2946562. MR 1147956.
• 워렌 딕스, 그리고 엔리크 벤투라. 자유 집단의 주입적 내형성 가족에 의해 고정된 집단. 현대 수학, 195. 미국 수학 협회, 프로비던스, 1996년. ISBN 0-8218-0564-9
• 올레그 보고폴스키. 집단 이론 소개. EMS 수학 교과서. 2008년 주리히 유럽수학협회 ISBN 978-3-03719-041-8

각주

외부 링크

• [1][2][3][4] 열차 선로에 대한 피터 브링크만의 미니코스 노트