토마의 공식

수학에서 토마이의 공식은 칼 요하네스 토마에(1870)가 세타 상수를 과대망상곡선(Mumford 1984, 섹션 8)의 가지점에 관련시켜 소개한 공식이다.

역사

1824년 아벨-루피니 정리에서는 5도 이상의 다항식 방정식이 급진주의에서는 어떤 해법도 가질 수 없다는 것을 확립했다.그 이후 수학자들에게는 5도 이상의 방정식에 대한 해답을 표현하기 위해서는 급진적인 것을 넘어서야 한다는 것이 분명해졌다.1858년 찰스 에르미테, 레오폴드 크로네커, 프란체스코 브리오스치는 5중 방정식을 타원적 초월체로 해결할 수 있다는 것을 독자적으로 발견했다.이것은 다음과 같이 쓰여질 수 있는 급진파의 일반화임이 증명되었다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \frac{1}{n}\ln x}\right)=\ex \ex \{1}^{n}{\frac{dt}}\right).}$

갈루아 이론에서 알 수 있듯이 이 기하급수적인 것만 제한하면 아벨리아 확장체의 구성만이 구성될 수 있는데, 이는 4도 이하의 방정식에만 충분하다.더 높은 수준의 방정식에는 좀 더 일반적인 것이 필요하기 때문에 5진법, Hermite 등을 풀기 위해서는 지수 를 타원 모듈 함수로, 적분(logarithm)을 타원 적분으로 대체했다.크로네커는 이것이 아직 더 일반적인 방법의 특별한 경우라고 믿었다.^[1]카밀 조던은 어떤 대수 방정식이든 모듈 함수를 사용하여 해결할 수 있다는 것을 보여주었다^[2].이것은 1870년에 토마에 의해 달성되었다.^[3]이 과정에는 N번째 루트의 지수화 및 Hermite 등의 접근법에서 타원 모듈화 함수를 보다 일반적인 시겔 모듈형 및 과페렐립트 적분으로 대체하는 것이 포함되었다.우메무라^[4] 히로시는 이러한 모듈형 함수를 상위 속 세타 함수의 관점에서 표현했다.

공식

다항식 함수가 있는 경우:

${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

${\displaystyle 0{}_{}}$numbers 0 ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ $복잡한{\displaystyle {}_{}}$ 숫자의 특정 하위 필드에 대해 설명할 수 없는 경우, 그 루트 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$은(타 상수)의 ta 함수를 포함하는 다음 방정식으로 표현될 수 있다$$.

${\displaystyle{\begin{정렬}x_{k}={}&, \left[\theta \left({\begin{매트릭스}1&, 0&, \cdots &, 0\\0&, \cdots &, 0&, 0\end{매트릭스}}\right)(\Omega)\right]^ᆮ\left[\theta \left({\begin{매트릭스}1&, 1&, 0&, \cdots &, 0\\0&, \cdots &, 0&, 0&, 0\end{매트릭스}}\right)(\Omega)\right]^ᆯ\\[6pt]&,{}+\left는 경우에는 \theta \left({\begin{.매트릭스}0&, \cdots, 0\\0&, \cdots & &, 0\end{매트릭스}}\right)(\Omega)\rig전원시]^ᆫ\left[\theta \left({\begin{매트릭스}0&, 1&, 0&, \cdots &, 0\\0&, 0&, 0&, \cdots &, 0\end{매트릭스}}\right)(\Omega)\right]^ᆬ\\[6pt]&,{}-{\frac{\left[\theta \left({\begin{매트릭스}0&, 0&, \cdots &, 0\\1&, 0&, \cdots &, 0\end{매트릭스}}\right)(\Omega)\right]^{4}\left는 경우에는 \theta \left({\begin{행렬}0&, 1&, 0&, \cdo.이익&0\\1&, 0&, \cdots &, 0&, 0\end{매트릭스}}\right)(\Omega)\right]^{4}}{2\left -LSB-)theta \left({\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}1&1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}}}\end{aligned}}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 다음 과대선량 통합 중 하나에서 파생된 주기 행렬이다.

${\displaystyle u(a)=\int _{1}^{a}{\frac {dx}{\sqrt{x(x-1)f(x)}}}}}}}}}}}$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 홀수 정도인$$ 경우

${\displaystyle u(a)=\int _{1}^{a}{\frac {dx}{\sqrt {x-1(x-1)(x-2)f(x)}}}}}}}}}}}}$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 짝수인 경우.

이 공식은 5중주를 위한 Bring-Jerrard 형식과 같은 특정한 정상 형태로 방정식을 가져오기 위해 Tschirnhaus 변환이나 다른 조작이 필요하지 않은 모든 수준의 대수 방정식에 적용된다.그러나 이 공식의 실제 적용은 관련 과대망상 통합과 상위 속 세타 함수가 매우 복잡하기 때문에 어렵다.

메모들