타르스키의 원 스쿼링 문제

타르스키의 서클 스쿼링 문제는 1925년 알프레드 타르스키가 비행기에서 디스크를 가져다가 미세하게 여러 조각으로 잘라서 조각들을 재조립해 평방사각형을 이루도록 하는 도전이다. 이것은 1990년 미클로스 라츠코비치(Mikloss Laczkovich)에 의해 가능하다는 것이 증명되었다; 부패는 선택의 공리를 많이 이용하기 때문에 비건설적이다. 라츠코비치는 자신의 부패에 있는 조각의 수를 대략 10개⁵⁰ 정도로 추정했다. 좀 더 최근에는 앤드류 마크스와 스펜서 웅거(2017)가 약 10 $(\$ 스타일 $10^{200})$의 보렐$$ 작품을 사용하여 완전히 건설적인 해결책을 제시했다.^[1]

특히 이상화된 가위로 자를 수 있는 조각(즉, 요르단 곡선 경계선)을 이용해 원을 해부하고 정사각형을 만드는 것은 불가능하다. 라츠코비치의 증거에 사용된 조각들은 측정이 불가능한 하위 집합이다.

라츠코비치는 실제로 재조립이 번역만으로 이루어질 수 있다는 것을 증명했다; 회전이 필요하지는 않다. 그 과정에서 그는 또한 비행기의 어떤 단순한 폴리곤도 미세하게 많은 조각으로 분해될 수 있다는 것을 증명하고 번역만으로 재조립하여 동일한 면적의 사각형을 형성할 수 있다는 것을 증명했다. 볼랴이-게르비엔 정리는 관련성이 있지만 훨씬 단순한 결과로서, 재조립을 위해 번역과 회전이 모두 허용된다면 다곤 조각이 미세하게 많은 단순한 다각형의 분해를 이룰 수 있다고 명시하고 있다.

광장을 양보하기 위해 해체된 채로 계속 이동할 수 있는 방식으로 작품을 고를 수 있는 것이 윌슨(2005)의 결과에 따른 것이다. 게다가, 이 더 강한 진술은 번역만으로 이루어진다는 것을 증명할 수 있다.

이러한 결과는 바나흐-타르스키 역설이 제공하는 3차원의 훨씬 더 역설적인 분해와 비교되어야 한다. 그러한 분해는 심지어 한 세트의 부피까지도 바꿀 수 있다. 그러나 비행기에서 미세하게 많은 조각으로 분해하는 것은 조각들의 바나흐 측정의 합을 보존해야 하므로 집합의 전체 면적을 변경할 수 없다(Wagon 1993).

참고 항목

• 원을 제곱하면, 다른 문제: 주어진 원을 위해 (불가능하다는 것이 입증된) 작업, 즉 직선자와 나침반만으로 평방형의 면적을 만드는 것이다.

참조

• Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), "Squaring the circle by dissection" (PDF), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (1): 47–55, MR 1990983.
• Laczkovich, Miklos (1990), "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1990 (404): 77–117, doi:10.1515/crll.1990.404.77, MR 1037431, S2CID 117762563.
• Laczkovich, Miklos (1994), "Paradoxical decompositions: a survey of recent results", Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progress in Mathematics, vol. 120, Basel: Birkhäuser, pp. 159–184, MR 1341843.
• Marks, Andrew; Unger, Spencer (2017), "Borel circle squaring", Annals of Mathematics, 186 (2): 581–605, arXiv:1612.05833, doi:10.4007/annals.2017.186.2.4, S2CID 738154.
• Tarski, Alfred (1925), "Probléme 38", Fundamenta Mathematicae, 7: 381.
• Wilson, Trevor M. (2005), "A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem" (PDF), Journal of Symbolic Logic, 70 (3): 946–952, doi:10.2178/jsl/1122038921, MR 2155273, S2CID 15825008.
• Wagon, Stan (1993), The Banach–Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 24, Cambridge University Press, p. 169, ISBN 9780521457040.