나폴레옹의 정리

기하학에서, 나폴레옹의 정리는 만약 정삼각형이 모든 바깥쪽 또는 안쪽으로 어떤 삼각형의 측면에 구성된다면, 그 정삼각형의 중심을 연결하는 선들 자체가 정삼각형을 형성한다고 말한다.

이렇게 형성된 삼각형을 내측 또는 외측 나폴레옹 삼각형이라고 한다. 바깥쪽과 안쪽의 나폴레옹 삼각형의 면적 차이는 원래 삼각형의 면적과 같다.

그 정리는 흔히 나폴레옹 보나파르트(1769–1821)에게 귀속된다. 일부는 프랑스 황제가 죽은 지 4년 후인 1825년 W. 러더포드의 <레이디스 다이어리>에 실린 질문으로 거슬러 올라갈 수 있다고 제안했지만,^[1][2] 결과는 1820년 10월 더블린 대학교에서 열린 금장 시험에서 정해진 3문항으로 다루어져 있는 반면, 나폴레옹은 다음 5월에 사망했다.

교정쇄

위의 그림에서 ABC는 원래의 삼각형이다. AZB, BXC, CYA는 옆면 외벽에 만들어진 정삼각형이며 L, M, N점은 이 삼각형의 중심이다. 외삼각형의 정리는 삼각형 LMN(녹색)이 등각형이라고 명시하고 있다.

삼각형 LMN이 등각형이라는 것을 쉽게 알 수 있는 방법은 MN이 A를 중심으로 30°의 시계방향 회전과 같은 중심에서 √3의 비율 동질성을 가지면 CZ가 되고, LN도 B를 중심으로 30°의 시계 반대방향 회전과 center3의 동질성을 거쳐 CZ가 되는 것을 관찰하는 것이다. 각각의 나선형 유사점은^[3] A(√3,-30°)와 B(√3,30°)이다. 즉, MN = LN을 의미하며, 이들 사이의 각도는 60°^[4]여야 한다.

사실 정리의 진술에 대한 많은 증거들이 있는데, 여기에는 합성(조율이 없는) 하나,^[5] 삼각법 하나,^[6] 대칭에 기초한 접근법,^[7] 복잡한 숫자를 사용하는 증명들이 포함된다.^[6]

배경

이 정리는 종종 나폴레옹에게 귀속되어 왔지만, 이 주장에 의문을 제기하는 이 문제에^[8][9] 관한 여러 논문이 작성되었다(Grünbaum 2012 참조).

다음 항목은 1825년 여성 일기에 47페이지(따라서 더블린 시험지를 편찬한 지 1년 정도 지난 1824년 말)에 나타났다. 이것은 나폴레옹의 정리가 인쇄된 초기 모습이며, 나폴레옹의 이름은 언급되지 않는다.

VII. 퀘스트(1439), 우드번 주 W. 러더포드 씨의 작품.

"ABC 삼각형의 세 면에 정점(정점들이 모두 바깥쪽으로 또는 안쪽으로 되어 있음)을 기술하라: 그러면 그 세 정삼각형의 무게중심을 이루는 선들이 정삼각형을 이루게 될 것이다. 시범이 필요했다."

윌리엄 러더포드는 매우 유능한 수학자였기 때문에, 자신이 확실히 증명할 수 있었던 정리의 증거를 요청한 그의 동기는 알려지지 않았다. 어쩌면 그는 그 질문을 동료들에게 도전으로 내세웠거나, 아니면 그 반응이 좀 더 품위 있는 해결책을 내놓기를 바랐을지도 모른다. 그러나, 1820년대 여성 일기의 연이은 이슈를 읽었을 때, 편집자는 매년 다양한 질문들을 포함시키는 것을 목표로 삼았고, 일부는 초보자들의 연습에 적합했다.

분명히 이 질문이나 발표된 답변 중 나폴레옹에 대한 언급은 없지만, 편집자는 분명히 일부 제출을 생략했음에도 불구하고, 1년 후인 1826년에 나타났다. 또한, 러더포드 자신은 인쇄된 해결책 다음에 지명된 해결책들 사이에 나타나지 않는다. 비록 몇 페이지 앞의 집계에서 그가 우드번 학교의 그의 제자와 동료들 중 몇 명이 발표한 해결책의 첫 번째를 포함하여, 해결책들을 보냈다는 것이 명백하지만 말이다. 실제로, 목번 문제 해결 그룹은, 오늘날에도 알 수 있듯이, 그때까지는 노섬벌랜드 카운티의 역사, 지리, 서술적 견해에 기록될 만큼 충분히 잘 알려져 있었다. 2페이지 123-124). 파이포퍼가 실제로 다소 초기 판에서 나폴레옹을 언급하기는 하지만,^[10] 나폴레옹의 정리로서 처음 알려진 이 결과의 언급은 1911년에 출판된 파이포퍼의 17판 원소 디 지오메트리아에 나타난다고 생각했었다. 그러나 1867년까지 백과사전에서 나폴레옹이 이 문맥에서 언급된 것을 발견하기 때문에 이것은 헛수고다. 파이포퍼와 관련하여 역사적으로 더 관심이 있는 것은 그가 이전 판에서 사용했던 문제인데, 토마스 모스가 1754년 레이디스 다이어리에서 제시했던 삼각형에 대한 가장 큰 삼각형을 곡선으로 그리는 고전적인 문제인데, 그 해 우리는 윌리엄 베빌에 의해 쉽게 알아볼 수 있을 것이다. 나폴레옹의 정리의 세균 - 그 다음 두 결과는 함께, 적어도 대중 연감들의 문제 페이지에서 다음 100년 동안 왔다 갔다 한다: 1973년 혼스버거가 수학 보석에서 그가 스스로 신기하다고 생각했던 것을 제안했을 때, 그는 실제로 이 방대한 문학의 일부를 다시 요약하고 있었다.

삼각형의 가장자리에 정사각형이 배치되어 있는 피타고라스 명제의 인기 있는 변종이 삼각형의 가장자리에 정삼각형을 배치하는 것이었다는 것을 상기하는 것이 좋을 것이다: 정삼각형으로 할 수 있는 일을 할 수 있는가? 예를 들어, 정삼각형의 경우 정삼각형의 경우, 저삼각형의 것을 해부하라. 다리 위에 있는 것들로요? 작가들이 유클리드 풍차나 신부 의자의 다른 특성들을 고려하기 위해 반복적으로 돌아왔듯이, 정삼각형의 등가 형상이 초대되어 주목을 받았다. 아마도 이런 점에서 가장 장엄한 노력은 1864년 윌리엄 메이슨의 '부인과 신사 일기'에 실린 상 문제일 것이다. 그 해의 해답과 논평은 약 15페이지에 이른다. 그 무렵, 1704년에 여성일기를 위해 그리고 1741년에 신사일기를 위해 시작한 이 특별한 존경스러운 장소는 마지막이 되었지만, 이러한 종류의 문제는 1900년대 초까지 교육 타임즈에서 계속되었다.

1820년 10월 더블린 문제

1820년 10월 더블린대 종합시험에서 금상 후보지 2일 아침에 책정된 지오메트리 논문에는 다음과 같은 세 가지 문제가 등장한다.

질문 10. 따라서 주어진 삼각형인 A, B, D의 면에 세 개의 정삼각형이 구성되며, 중심과 결합하는 선인 C, C', C'는 정삼각형을 이룬다. [부속도는 바깥쪽으로 배치된 등변 삼각형을 나타낸다.]

질문 11. 마지막 그림과 같이 세 개의 정삼각형이 구성되면, 중심과 결합하는 선도 정삼각형을 형성하게 된다. [부록 도표는 안쪽에 있는 등각 삼각형 위치를 나타낸다.]

질문 12. 주어진 삼각형의 면적과 이 두 정삼각형의 면적 사이의 관계를 조사한다.

이 문제들은 에 기록되어 있다.

• 더블린 문제: 1816년부터 1822년까지의 일반 시험에서 금메달 후보들에게 제안된 문제의 모음입니다. 1823년(G.와 W. B) 펠로우쉽 시험의 계정으로 성공하였다. 1823년 런던 휘태커)^[11]

신사의 일기에 나오는 질문 1249 또는 1829년(그래서 1828년 후반에 등장)의 수학 저장소가 주제를 차지하며, 그 다음 해에는 이 문제에 해결책이 등장한다. 그 후 해결사 중 한 명인 T. S. 데이비스는 그 해 질문 1265에 그 결과를 일반화하여, 그 이듬해에 이미 1826년에 <철학잡지>에 기고했던 논문에 자신의 해답을 제시하였다. 이 자료에는 위에서 설명한 것과 상호 참조가 없다. 그러나 인기 연감들의 문제 페이지에는 위에서 언급한 바와 같이 적어도 1750년대 중반(Moss)으로 거슬러 올라가 1860년대 중반(Mason)으로 이어지는 몇 가지 공통 관심사가 있다.

공교롭게도 나폴레옹의 이름은 1867년(볼)부터 체임버스의 백과사전 못지 않게 참고 문헌으로 이 결과와 관련하여 언급되고 있다. IX, 삼각형 상의 엔트리의 끝을 향해).

나폴레옹의 문제로 알려진 또 다른 주목할 만한 삼각형 속성은 다음과 같다: 어떤 삼각형에서든 3개의 등변 삼각형이 묘사되고, 이 세 개의 중력 중심이 결합된다면, 이렇게 형성된 삼각형은 등변형이며, 원래의 삼각형과 일치하는 무게중심을 가진다.

그러나 그 후 적어도 1834년까지의 교과서에 그 결과가 증거와 함께 나타났다(James Thomson의 유클리드, 페이지 255–256). 엔드노트(p. 372)에서 Thomason은 다음과 같이 덧붙인다.

내가 만나보지 못한 이 신기한 명제는 1823년에 출판된 더블린 문제에서 빼고는 데모 없이 삽입되어 있다.

제2판(1837년)에서 톰슨은 벨파스트의 전학생으로부터 다음과 같은 증거를 제공함으로써 엔드노트를 확장했다.

다음은 아담 D씨의 아주 쉽고 깔끔한 증거의 개요다. 벨파스트의 글래스고우(Glasgow)는 나의 뛰어난 취향과 수학적 연구에 재능이 있는 학생이었다.

따라서 톰슨은 1825년의 레이디스 다이어리나 1829년의 젠틀맨 다이어리에 문제의 출현을 알지 못하는 것 같다(J. S. 맥케이가 전자에 주목하면서 더블린 문제를 인용한 것과 마찬가지로, 후자의 출현을 계속 알지 못하는 것처럼). 미국 수학 월간지의 독자들은 1249번 문제에 대한 포인터를 가지고 있다. R. C.에서 온 신사의 일기. 1920년 1월, 41페이지, 7페이지, 1826년 레이디스 다이어리에 발표된 첫 번째 해결책은 아치볼드조차도 우선순위에 관한 문제에 있어서 전지전능하지 않았다는 것을 보여주지만,

공통중심

내삼각형과 외삼각형의 중심은 모두 원래의 삼각형의 중심과 일치한다. 이 우연은 위에서 인용한 바와 같이 1867년 체임버스의 백과사전에도 기록되었다. 그곳의 입구는 서명되지 않았다. 당시 에든버러 대학의 자연철학 교수였던 P. G. Tait가 기고자 명단에 올랐지만 에든버러 대학의 수학 과외인 J. U. Hillhouse는 백과사전 정규 직원들과 더 오래 혹은 더 짧은 시간 동안 연결된 다른 문학 신사들 사이에 등장한다. 그러나, 1867년 쿼터니온에 관한 초등논문 189(e)절에서,^[13] 또한 Tait는 문제를 다룬다(실제로, 질문 1265에 관한 1831년 신사일기에 데이비스의 발언을 반추하지만, 지금은 쿼터니온의 설정에 있다).

삼각형의 각 면이 해당 면에 비례하는 삼각형의 변의 중간 지점에 수직이 바깥쪽으로 세워질 경우, 각 변의 평균점은 원래 삼각형의 평균점과 일치한다. 새로운 삼각형이 정삼각형일 수 있는 구 삼각형의 해당 면의 반에 수직인 각 삼각형의 비율을 구한다.

Tait은 삼각형의 측면에 바깥으로 세워져 있는 정삼각형의 평균점들이 정삼각형을 형성한다고 결론짓는다. 이 논의는 1873년과 1890년의 후속 판과 1873년의 필립 켈랜드와 공동으로 콰터니온에 대한 그의 추가 소개에서 유지된다.

나폴레옹 내부 및 외부 삼각형의 영역 및 측면

면적 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$이(가) 있는 삼각형의 내부 나폴레옹 삼각형의 영역은$$

${\displaystyle {\text{Area(내부)}}=-{{\frac {\delta }{2}}+{\frac {\sqrt{3}}}}{24}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$

여기서 a, b, c는 원삼각형의 옆 길이로서, 원삼각형이 등각형인 경우에만, 위첸뵈크의 불평등에 의해 동일하다. 그러나 대수학적 관점에서^[15] 보면 내적 삼각형은 "역행"이며 대수적 영역은 이 표현식의 음이다.^[16]

바깥쪽 나폴레옹 삼각형의 면적은^[17]

${\displaystyle {\text{Area(외부)}}}={\frac {\delta }{2}}+{\frac {\sqrt{3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})).}$

분석적으로 볼 때, 바깥쪽 나폴레옹 삼각형의 세 면은 각각 길이가 길다는 것을^[6] 알 수 있다.

${\displaystyle {\text{Side(외부)}}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} 이상 \{{\sqrt {(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(-a+b+c){}}{{\sqr}{}}{\sqr+{}}}}}{{}}}}}}}}}}}}{{{{{{(a+b+b+b+b+c+c}}}{{\sqrt{3}}}}}{{\sqrt}}}}}}.}$

후자의 두 방정식 사이의 관계는 등변 삼각형의 면적이 옆면 곱하기 $3{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}/4}$의 제곱과 같다는 것이다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle {\sqrt{3}}/4.$$}$

일반화

페트르-더글라스-뉴만 정리

apex 각도 2kπ/n 만약 2등변의 triangles 임의의 n-gon A0의 옆에 있고 이런 과정은 n-gon은 삼각형의 자유로운 APEX의 복수로 구성되지만 k의 다른 값과 불고기까지 모든 값은 1≤ k≤ n−고 사용되어(임의의 순서로),는 일반적인 n-gon An−2의 중심이 생겨난다를 켠 채로 반복된다. 동전A의₀ 중심인 ^[18]사이다

나폴레옹-발로티 정리

N-곤 P의 측면에 구성된 일반 n-곤의 중심은 P가 일반 n-곤의 부착 이미지인 경우에만 일반 n-곤을 형성한다.^[19][20]

참고 항목

• 나폴레옹은 지적한다.
• 레모인 문제
• 나폴레옹의 문제

메모들

참조

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967). Geometry Revisited. New Mathematical Library. 19. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. pp. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402.
• Grünbaum, Branko (2012), "Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?", American Mathematical Monthly, 119 (6): 495–501, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495, Zbl 1264.01010
• Wetzel, John E. (April 1992). "Converses of Napoleon's Theorem" (PDF). The American Mathematical Monthly. 99 (4): 339–351. doi:10.2307/2324901. Zbl 1264.01010. Archived from the original (PDF) on 2014-04-29.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 나폴레옹의 정리 관련 미디어가 있다.

• 나폴레옹의 정리 및 일반화, 컷 더 크노트에서
• 공사를 보기 위해, 인스럼넨포체에서.
• 제이와렌도르프의 나폴레옹 정리, 울프램 데모 프로젝트.
• Weisstein, Eric W. "Napoleon's Theorem". MathWorld.
• 나폴레옹의 정리 및 일부 일반화, 변주곡 및 동적 기하학적 스케치에서의 대화
• 나폴레옹의 정리, 두 가지 간단한 증명
• 알비 레이 스미스의 삼각형 위의 무한정 정규 육각 시퀀스(나폴로스의 정리 일반화

이 글에는 창조적 공유자 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 허가된 PlanetMath에 대한 나폴레옹의 정리 자료가 통합되어 있다.