강체 방정식

수학에서, 강체 방정식은 스텝 크기가 극단적으로 작지 않은 한 방정식을 풀기 위한 특정한 수치적 방법이 수치적으로 불안정한 미분 방정식이다.강성의 정확한 정의를 도출하는 것은 어렵지만, 이 방정식에 용액의 급격한 변화를 가져올 수 있는 몇 가지 항이 포함되어 있다는 것이 주요 생각입니다.

미분방정식을 수치로 통합할 경우, 솔루션 곡선이 많은 변동을 보이는 영역에서는 필요한 단계 크기가 상대적으로 작고 솔루션 곡선이 거의 0에 가까운 직선으로 직선화하는 영역에서는 상대적으로 클 것으로 예상할 수 있습니다.일부 문제에서는 그렇지 않습니다.차분계에 신뢰성 있는 해답을 주기 위한 수치적 방법으로는 해곡선이 매우 매끄러운 영역에서는 스텝 사이즈가 허용할 수 없을 정도로 작은 레벨이어야 하는 경우가 있다.이 현상은 강직이라고 알려져 있다.경우에 따라서는 같은 솔루션에 두 가지 다른 문제가 있을 수 있지만 하나는 딱딱하지 않고 다른 하나는 딱딱하지 않습니다.따라서 이 현상은 두 문제 모두 동일하고 미분계 자체의 특성이어야 하기 때문에 정확한 해법의 특성이 될 수 없습니다.이러한 시스템을 강체 시스템이라고 합니다.

동기 부여 예시

초기값 문제를 고려하다

$\displaystyle \,y'(t)=-15y(t),\display t\geq 0,\display y(0)=1.}$

(1)

정확한 솔루션(시안으로 표시)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle y(t)=e^{-15t},\display y(t)\to 0(t)}to\infty.}$

(2)

우리는 같은 행동을 보이는 수치적 해법을 찾는다.

그림(오른쪽)은 방정식에 적용된 다양한 수치 적분자의 수치 문제를 보여준다.

강직상미분방정식(ODE)의 가장 두드러진 예 중 하나는 로버트슨의 ^[1]화학 반응을 설명하는 시스템이다.

${\displaystyle {\dot {x}&= 0.04x+10^{4}y\cdot z\{\dot {y}&= 0.04x-10^{4}y\cdot z-3\cdot 10^{2}y^{2}\\{\dot {z}=3\cdot 10^{7}y}{\ndot 10^{ndot}y}y}y}{4}ndot {4}ndot {4}nd}$

(4)

예를 들어 t ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle 0}$, $]{$ $displaystyle$t \ $in [ 0$ , $40$]처럼 짧은 간격으로 이 시스템을 취급하는 경우에는 수치 통합에 문제가 없습니다.그러나 간격이 매우 클 경우(10이라고¹¹ 함) 많은 표준 코드가 올바르게 통합되지 않습니다.

추가 예로는 대형 화학 반응 메커니즘의 시간적 통합에서 발생하는 ODE 세트가 있다.여기서 강성은 매우 느린 반응과 매우 빠른 ^{[citation needed]}반응의 공존에서 발생합니다.이를 해결하기 위해 소프트웨어 패키지 KPP와 Autochem을 사용할 수 있습니다.

강성비

선형 상수 계수 비균질 시스템 고려

$\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {f}(x),}$

(5)

$여기$서 y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f\mathbf{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n \$style \mathbf {y},$ \$mathbb {f}$ \in \mathbb$$ {R} ^{$n$$}$ 및 $A{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle$\$mathbf$$${$A$$}}}$는 고유값${\displaystyle }$${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle =\mathrm{1인}}$ ${\displaystyle \mathrm{상수}}$입니다${\displaystyle .}$고유 $벡터{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ c ${\displaystyle {}_{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle =1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle \dots ,}$ n${\displaystyle \mathbf {c} _{t}\in$ \$mathbb$ {$C} ^{n$},$t=1,2,\ldots,$n$\}).$ (5)의 일반 해는 형식을 취합니다.

${\displaystyle \mathbf {y}(x)=\sum _{t=1}^{n}\kappa _{t}e^{\displayda _{t}x}\mathbf {c}_{t}+\mathbf {g}(x},$

(6)

${\displaystyle {여기}_{}}$서 t$${\$displaystyle \kappa$ _${t}}$는 임의의 $상수$이고${\displaystyle }$g ($)$ {\$displaystyle \mathbf {g}(x)}$는 특정 정수입니다.자, 이제 이렇게 가정해 봅시다.

$\displaystyle \operatorname {Re}(\displayda _{t}) <0,\qquad t=1,2,\ldots,n,}$

(7)

즉, e display ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}_{}}$ c ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \to }$$$ { $displaystyle$ $e^$ { \ $t }$ \ $mathbf${ $c$$}$$_${ $t$} \ $rightarrow$\ $infty$$$$\}$ $display$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay y${\displaystyle }$($x$$)\$ $displaystyle$\$mathbf { y$${\displaystyle \}}$에 $접근$합니다${\displaystyle .}$${\displaystyle x}$ $displaystyle$ x$\rightarrow \infty$ $용어{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle {{\lambda }_{}}^{}}$ t ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$ e^{\$displaystyle e^{t}x}\mathbf {c}$ _${t$$}$${\displaystyle {\_t}_{}}$}는 t$\displaystyle$$_dayle$ _${t$$}$이($가{\displaystyle {}_{}}$)_displaystyle $_da}$인 경우 단조로 붕괴합니다.

x$${\$displaystyle$ x$}$를 $시간$이라고 해석하면(물리적 문제인 경우가 많으며),${\displaystyle \theta }$ t$= 1$ n$$ t ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {{\lambda }_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$\ $display$style \ $sum$_ { t$$} { $t$} $e^{\ kappa$ _ { t } $e^{$ \ t$}$ \ $mathbf$${ c } _$ { $t$} _ { $tylashterylease$ { t$$$}$ ) 。${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle t_{}}$t${\displaystyle }$) \ $displaystyle$\$bigl$} \ $operatorname${ $Re }$ ( \ $lambda$_ { $t$} ) { \ bigr$$} { \ $bigr$ }} 이$$ 크면 $대응$하는 용어 ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ t e ${\displaystyle {t_{}}^{}}$ t ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ \ $displaystyle$\$kappa$_ { $t$} $e$$$^ { \ $lambda$_ { $tx$ } { $c$ } { $c$} { \ lambda _ t$$} { t } { t } { c } } {\ $lambdge$} {${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle t_{}}$t )${\displaystyle }${ style \$display$ \ $bigl$} \ $operatorname${ $Re }$ ( \ $lambda$_ { $t$} { \ $bigr }$ )는$$ 작습니다.${\displaystyle {대응어}_{}}$ term t e 、 ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}_{}}$ 、 $tyle$ \ $kappa$_ { $t }e$^ { \ $lambda$_ { $t }$ \ lambda } \ $mathbda$} { c $}$는 $천천히$ ${\displaystyle {}_{}}$됩니다$.$「${\displaystyle }$」, 「 」, 「${\displaystyle 」,}$ 「 ${\displaystyle {}_{}}$ 「 ${\displaystyle t_{}}$」, ${\displaystyle \mathrm{t}}$ $=$1,${\displaystyle }$2, ${\displaystyle \dots ,}$ $}$ { style { $overline$}, {\$underline$ {{$t}, t =$ 1,$2,$ $\ldots$ , $n$}} {\$in$ \ } 에는 $다음$과 같이 $정의$합니다.

${\displaystyle {bigl}\operatorname {Re}(\overline {\bigl}){\operatorname {Re}(\bigr}{t}){\bigr}{\bigr}{\line}{\bigr}{r}{\bigr}})$

(8)

$따라서$ ${\displaystyle e^{}}$ t ${\displaystyle {e\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{¯}}^{}}$ x$$ \ $displaystyle$\$kappa$_ { $t$} $e$^ { \ $overline$$$\ kappa $} x$ } \ $mathbf {$${\displaystyle {}_{}}$ }$$${\displaystyle {\_}^{}}$$${ t } ${\displaystyle t_{}}$ ${$ ${\displaystyle {\underset{}{t}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}_{}}$ ^ { \$displaystyle$\$kappa$_ { $t }$\ $mathbf { c$ } } } slow$$ slow slow slow slow $slow slow$ slow slow slow slow 。이제 강성비를^[2] 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle {\frac {\bigl}\operatorname {Re}({\overline {\lambda}}{\bigr}}){\operatorname {Re}({\underline {\lambda}}}){\bigr}}}}}.}$

(9)

강성의 특성

이 섹션에서는 강성 현상의 다양한 측면을 고려한다."현상"은 아마도 "특성"보다 더 적절한 단어일 것이다. 왜냐하면 "현상"은 오히려 강성을 정확한 수학적 용어로 정의할 수 있다는 것을 의미하기 때문이다. 선형 상수 계수 시스템의 제한된 클래스에도 불구하고 만족스러운 방법으로 이것을 할 수 없는 것으로 판명되었다.우리는 또한 강성의 개념을 캡슐화하려는 시도로 이루어질 수 있는(대부분의 경우) 몇 가지 정성적 진술과 이들 중 가장 만족할 만한 것을 강성의 "정의"로 명시할 것이다.

J. D. Lambert는 다음과 같이 강성을 정의합니다.

초기조건이 있는 시스템에 적용되는 절대안정영역이 유한한 수치방법이 특정 적분구간에서 그 구간에서 정확한 용액의 평활도에 비해 지나치게 작은 스텝길이를 사용하도록 강요되면 시스템은 그 구간에서 강하다고 한다.

그 밖에도 많은 강성 문제의 예에서 볼 수 있는 특징이 있지만, 각각의 예에 반례가 있기 때문에 강성의 정의는 그다지 좋지 않다.그럼에도 불구하고 이러한 특성에 기초한 정의는 일부 저자에 의해 일반적으로 사용되며 강성의 존재에 대한 좋은 단서가 된다.램버트는 앞서 언급한 이유로 이것들을 정의가 아닌 "문장"이라고 부른다.그 중 몇 가지는 다음과 같습니다.

1. 선형상수계수계는 모든 고유값이 음의 실부분을 가지며 강성비가 크면 강성이 있다.
2. 강성은 정확성 요건이 아닌 안정성 요건이 단계 길이를 제약할 때 발생합니다.
3. 강성은 용액의 일부 성분이 다른 ^[3]성분보다 훨씬 더 빨리 부패할 때 발생합니다.

어원학

'강직함'이라는 용어의 기원은 명확하게 밝혀지지 않았다.Joseph Oakland Hirschfelder에 따르면, "스티프"라는 용어가 사용되는 이유는 이러한 시스템이 운전자 간의 긴밀한 결합과 서보 기계식으로 ^[4]구동되기 때문입니다.리처드에 따르면.L. 부담과 J. 더글라스 페이어스

정확한 용액이 ${\displaystyle e^{}}$when t {\$displaystyle$ e$^{\lambda$ t$\}$ $형식$의 항을 포함하는 경우 표준 수치 기법을 적용하여 미분방정식의 해법을 근사할 경우 상당한 어려움이 발생할 수 있다. 여기서 {\$${\$displaystyle \lambda }$는 음의 실수를 갖는 복소수이다.

...

급속하게 붕괴하는 과도 용액을 포함하는 문제는 스프링 및 댐핑 시스템의 연구, 제어 시스템의 분석 및 화학 동역학 문제를 포함한 다양한 애플리케이션에서 자연적으로 발생한다.이들은 모두 스프링 상수(물리적 ^[5]강성)가 큰 스프링 및 질량 시스템의 운동을 분석하는 데 적용되기 때문에 미분 방정식의 강성(수학적인 강성) 시스템이라고 불리는 문제의 예입니다.

예를 들어 초기값 문제

${{displaystyle mbcdot {x}}+cbcdot {x}}+kx=0,\qquad x(0)=x_{0},\qquad {x}=0,}$

(10)

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $({displaystyle m=$$1\},$ c ${\displaystyle =}$$1001$({$displaystyle$ c$=$$1001{\displaystyle }$}, k$$= $1000$({$displaystyle$ k$=1000$ n ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ n=$2})$의 $형식$으로 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {A} =pmatrix{pmatrix} 0&1\1000&-1001\end{pmatrix},\qquad \mathbf {f}(t)=pmatrix{x}\x}$

(11)

고유값 $\lambda {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¯}}$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 1000}$, ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\displaystyle =}$ -$$ { $displaystyle${ $overline$ {$overline$ { } = - $1000$, { \$underline$ { } }$$$=$ - 1 이며, 두 고유값 모두 실수는 음수이며 강성비는

${\displaystyle {-1}}=1000,}$

(12)

꽤 크죠.시스템(10)은 스테이트먼트1과 3을 확실히 만족시킵니다.여기서 스프링 $상수{\displaystyle }$ k$(디스플레이 스타일$ k$)$는 크고 감쇠 $상수{\displaystyle }$ c$(디스플레이 스타일$ c$)$는 더 ^[6]큽니다.('대형'은 명확하게 정의된 용어는 아니지만 위의 수량이 클수록 강성의 영향이 두드러집니다.)(10)에 대한 정확한 해결책은

${\displaystyle x(t)=x_{0}\left {\frac {1}{999}}e^{-1000t}+{\frac {1000}{999}e^{-t}\right}\approx_{0}e^{-t}.}$

(13)

방정식 13은 $단순$한 ${\displaystyle {지수\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ e -$$ {\$displaystyle x_{0} e^{-t$와 매우 유사하게 동작하지만${\displaystyle {,}^{}}$ e - ${\displaystyle {\mathrm{1000}}^{}}$t {\$displaystyle$ e$^{-1000t}}$ $용어$의 존재는 계수가 작더라도 수치 계산을 단계 크기에 매우 민감하게 만들기에 충분하다.(10)을 안정적으로 통합하려면 솔루션 곡선의 매끄러운 부분까지 매우 작은 스텝 사이즈가 필요하며, 그 결과 오차는 정확도에 필요한 것보다 훨씬 작습니다.따라서 시스템은 문 2와 램버트의 정의도 충족한다.

A-안정성

$어려운$ 문제에 대한 수치적 방법의 거동은 k${\displaystyle c\mathbb{}}$C {$displaystyle$ k$\in \mathbb {C}$$}$의 초기$$ $조건{\displaystyle }$y${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$) $=$ ${\displaystyle 1}$ {$displaystyle$y$($$0$)=1$}$의 시험 $방정식$에 이러한 방법을 적용하여 분석할 수 있다. 이 방정식의 해는${\displaystyle }y{\displaystyle }$ () ${\displaystyle t{}^{}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle t^{}}$이다.$\displaystyle$ y$(t$)=$e^{kt$ 이 솔루션은 Re () <. \ $displaystyle \operatorname {Re}$ ( $k$)< $0$. } 수치법에서도 (고정 크기의 경우) 이 동작을 나타내는 경우 t ${\displaystyle \to }$ ${\$ \ $displaystyle$ ^[7]t$\to$ \$infty$$$} $로서{\displaystyle }$ 0 에 접근합니다.L-안정적인 수치법(아래 참조)은 단계 크기가 무한대로 증가함에 따라 한 단계에서 솔루션이 0에 근접하는 특성이 더 강합니다.안정적인 방법은 동기 부여 예에서 설명한 불안정성 문제를 나타내지 않습니다.

Runge-Kutta 방식

검정 $방정식{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle ky}$y \ $displaystyle$ y ' $= k$ \ $cdot$y ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="y\text{'}=k\backslash cdot\; y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cd84b091c0990f564a9f58b35e0ec18e7a84ec72"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.989ex;\; height:2.843ex;">}}$ ${\displaystyle y}$ \ $displaystyle y$_ {$n$ + 1$=$ \$phi$ ($h$${\displaystyle k}$)${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ \ displaystyle y$_$ { n + 1 ${\displaystyle {}_{}}$ \ $cdot$ y _ {$n$ }$$（ ${\displaystyle n}$） ⋅,,,, $form{\displaystyle {}_{}}$ form y ） ${\displaystyle {form}^{}}$ form form form form form form form form form form form form form form y n${\displaystyle {}^{}}$、 n （ n ${\displaystyle ）}$ ） + ${\displaystyle n}$ + n + n +⋅ y y y y y$함수 {\(\$displaystyle \$phi)$를 안정성 함수라고 합니다.따라서 그 ynn→ ∞{\displaystyle n\to\infty}로 0{\displaystyle y_{n}\to 0}일 경우 →(hkm그리고 4.9초 만)<>ϕ에, 1{\displaystyle \phi(hk)<1}해당합니다.이 절대 안정도(때때로 안정성 지역으로 간단히 언급한)의 집합 그 지역의 정의에게 동기를 부여하{z∈ C. ( ) < 1$}$ { $style$ \ bigl \ { \ \$mathbb$ { $C }$ , \$phi$ ($z$ ) < 1 { \ $bigr$\ } } $。$절대 안정성 영역에 세트{ Re () < $}$ { $displaystyle$\ $digl$\ { { \ $big$ } z \ $in$\ $mathbbb${$C$} , { \ big } , \$operatorname${$Re$} ($z$ ) < $0${ \ $bigr$} 이 포함되어 있는 경우, 즉 왼쪽 평면은 A 안정적입니다.

예:오일러 방법

위의 오일러 방법을 생각해 보십시오.검정 $방정식{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ $=$ ${\displaystyle ky}$y {$displaystyle$ y'=$k\cdot y}$에 적용된 명시적 오일러 방법은 다음과 같다.

$\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(t_{n},y_{n})=y_{n}+h\cdot k\cdot y_{n}=(1+h\cdot k)y_{n}.}$

${\displaystyle \mathrm{따라서<img\; alt="y\_\{n\}=(1+hk)^\{n\}\backslash cdot\; y\_\{0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e35505a39469a7a3af93f19f835a24e65557c72a"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:18.91ex;\; height:2.843ex;">}}$ y ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle h{}^{}}$k )${\displaystyle n^{}}$y ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0$y$ 0 { \ $displaystyle$ y$_${ $n$} ${\displaystyle =}$ ($1$ + $displaystyle$\ $phi$( $z$) $= 1$+ $z$ 입니다$.$따라서이 방법의 절대 안정 영역은 {$depicted$ C 1+ < $}$ { $displaystyle$\$bigl$\ { \ $mathbb${$C }$、 { \ $bigr$\$}$、 1 + z < 1 { \ bigr \} 。$이것$은 오른쪽 디스크입니다.오일러 방법은 A-안정적이지 않습니다.

동기 부여 예로는${\displaystyle }$k $=$ - ${\displaystyle 15}(\{$$displaystyle$ k=-$15)$가 $있습니다{\displaystyle }$.스텝 $사이즈{\displaystyle }$ h ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 4$$({ $displaystyle$ h =$$1$$} { $4$} )의$$ z 값은 z ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 15}$× ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle =}$ -${\displaystyle 3.75}$({ $displaystyle z =$ - $15 \ times$ \ $tfrac${$$1$$} { 4} =$$3$.75$로 안정 영역 밖에 있습니다.실제로, 수치 결과는 0으로 수렴되지 않습니다.그러나 스텝 $사이즈{\displaystyle }$ h ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$8 {{$displaystyle h$$=$ $({displaystyle$ z$=-1.$$875$$$$\})$가 안정 영역 내에 $있고{\displaystyle }$ 수치 결과는 다소 느리지만 0으로 수렴됩니다.

예:사다리꼴법

사다리꼴 방법을 고려합니다.

${displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{tfrac {1}{2}h\cdot {bigl (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\bigr}},$

테스트 $방정식{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ = ${\displaystyle k}$ y \ $displaystyle$ y'$=$k$\cdot$y$$에 적용되었을 때,

$\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h\cdot \left(ky_{n}+ky_{n+1}\right).}$

${\displaystyle y_{}}$n +$$ ({$displaystyle y_{n+1})$ 수율에$$ $대한{\displaystyle {}_{}}$ 해결

${\displaystyle y_{n+1}=syslogfrac {1+{\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}{n}}\cdot y_{n}.}$

따라서 안정성 함수는

${\displaystyle \phi (z)=black {1+{\frac {1}{2}}z}{1-{\frac {1}{2}}z}}$

절대 안정 영역은

$\displaystyle \left \{z\in \mathbb {C} \ left \ \ left \ \ frac { 1 + { \ frac {1} {2} z} {1 - { \ frac { } z} \ right < 1 }\right\}.}$

이 영역에는 왼쪽 반평면이 포함되므로 사다리꼴 방법은 A 안정적입니다.실제로 안정영역은 왼쪽 하프플레인과 동일하기 때문에 y ${\displaystyle {=}^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\$ y \ $displaystyle$ y' =$k$ \ $cdot$y }의 수치해는 정확한 해일 경우에만 0으로 수렴한다$$.그러나 사다리꼴 방식은 완전한 거동은 아니다. 즉, 붕괴하는 모든 성분은 감쇠하지만 급속하게 감쇠하는 성분은 매우 약하게 감쇠한다. 왜냐하면${\displaystyle }\theta$ (${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle 1}$ { $displaystyle$\$phi ( z$ )\$to$ 1$$}은 z$→$ - {\ \ {\ \ $displaystyle z\to$ - infty$$$}$이므로 L-ability의 개념은 다음과 같다.table 및${\displaystyle \theta }$( z ) $→$ ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle \phi (z)$ \ $to$ $0$$$（ z ） ${\displaystyle \to }$ ${\$ { $displaystyle$ z$\to$ \$infty$ 。 사다리꼴 방식은 A 안정적이지만 L 안정되지는 않습니다.암묵적 오일러 방법은 L-안정적 ^[8]방법의 한 예이다.

일반론

$계수$가$$A$(\displaystyle \mathbf${A$$$})$$및{\displaystyle \mathbf{}}$ b$(\displaystyle$ \$mathbf${b$})$인 룽게-쿠타 방법의 안정성 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \phi(z)=blac {\det \left(\mathbf {I} -z\mathbf {e} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}} \right} } {\det(\mathbf {I} -z\mathbf {A} } ) ,$

$여기$서 e$\$는 모든$$1이 있는 벡터를 나타냅니다.이것은 유리 함수입니다(다항식을 다른 다항식으로 나눕니다).

명시적 룽게-쿠타 방법은 엄격하게 더 낮은 삼각 $계수{\displaystyle \mathbf{}}$ 행렬$$A$(\displaystyle \mathbf${A}$$})를$$ 가지므로 안정성 함수는 다항식이다.따라서 명시적인 Runge-Kutta 메서드는 A-stable일 수 없습니다.

암묵적인 룽게-쿠타 방법의 안정성 함수는 종종 순서별을 사용하여 분석된다.안정성 기능이 있는 메서드에 대한 위해 스타 ϕ{\displaystyle \phi}{C}\,{\big}\ \mathbb에 설정한{z∈ Cϕ(z)>e z}{\displaystyle{\bigl){}z\in,\phi(z)>e^{z}{\bigr)}}}. 정의되어 있는 방법은A-stable 만일 그것의 안정성 기능 없는 극의 l.eft-h평면과 그 순서별에는 순수하게 상상의 ^[9]숫자가 포함되어 있지 않습니다.

다단계 방법

선형 다단계 방법에는 다음과 같은 형식이 있습니다.

$({displaystyle y_{n+1}=\sum _{i}a_{n-i}+h\sum _{j=-1}^{s}b_{j}f\left(t_{n-j},y_{n-j}\오른쪽).}$

테스트 방정식에 적용하면 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle y_{n+1}=\sum _{i=0}^{s}a_{i}y_{n-i}+sum_{j=-1}^{s}b_{j}y_{n-j}$

간단히 말하면

$\displaystyle \left(1-b_{-1}z\right)y_{n+1}-\sum _{j=0}^{s}\left(a_{j}+b_{j}z\right)y_{n-j}=0}$

$여기$서 z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle h}$ k$(\displaystyle$ z$=displaystyle$입니다.이것은 선형 반복 관계입니다.Reis () < \ $displaystyle$ \$operatorname {Re}$ ($z$ < 0$}$일 때 관계의 모든 솔루션${\displaystyle }${${\displaystyle y_{}}$ n$}${$displaystyle$ $\$$y_{n}\}$이 0으로 수렴하는 경우 이 방법은 A 안정적입니다. 특성 다항식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Phi(z,w)=w^{s+1}-\sum _{i=0}^{s-i}-z\sum _{j=-1}^{s}b_{j}w^{s-j}.}$

$\delta {\displaystyle \mathrm{}(z,}$ ${\displaystyle w)}$ $=$(\$displaystyle \Phi(z,w$)=$0)$의 모든 $솔루션$이 단위 원 안에 있으면 모든 솔루션이 z$(\$$displaystyle$z$)$의 주어진 값에 대해 0으로 수렴됩니다.

모든 z의 절대 안정도 위의 형태의 다단계 메서드에 대한 지역은 다음 세트 ∈ C{\displaystylez\in \mathbb{C}}에 대한 모든 목탑지{w\displaystyle}가 Φ(z, w))0{\displaystyle \Phi(z,w)=0}을 충족하는 w<1{\displaystyle w<1}. 다시 말씀 드리면, 이 집합을 포함하는 왼쪽 하.lf-plane, 다단계 방법은 A-stable이라고 한다.

예:2차 애덤스-배시포스법

2단계 애덤스-배쉬포스 방법의 절대 안정성 영역을 결정하자.

$\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\leftfrac {3}{2}f(t_{n},y_{n})-{\tfrac {1}{2}f(t_{n-1},y_{n-1}\right}.}$

특징적인 다항식은

$\Displaystyle \Phi (w,z)=w^{2}-\left (1+{\tfrac {3}{2}z\right)w+{\tfrac {1}{2}}z=0}$

뿌리가 있다

${{displaystyle w=tfrac {1}{2}}\left(1+{\tfrac {3}{2}}z\pm {tfrt {1+z+{\tfrac {9}{4}}z^{2}}\right})$

따라서 절대 안정 영역은

$\displaystyle \left \{z\in \mathbb {C} \ left \ \ tfrac {1} {2} \ left ( 1 + {\ tfrac {3} {2} } z \ pm {sqrt {1 + z + {9} {4} \ tfrac {2} \ right } \ \ {\1 。\right\}.}$

이 지역은 오른쪽에 표시되어 있습니다.왼쪽 하프플레인(실제로는 ${\$ $displaystyle$ - 1$\leq$ z$\leq$ 0$)$ 사이의 실제 축만 포함)을 모두 포함하는 것은 아니기 때문에 Adams-Bashforth 방식은 A 안정적이지 않습니다.

일반론

명시적 다단계 방법은 명시적 Runge-Kutta 방식과 마찬가지로 절대 A 안정적일 수 없습니다.암묵적 다단계 방법은 순서가 최대 2인 경우에만 A-안정적일 수 있습니다.후자의 결과는 두 번째 달퀴스트 장벽으로 알려져 있으며, 강체 방정식에 대한 선형 다단계 방법의 유용성을 제한합니다.2차 A안정법의 예로는 앞서 말한 사다리꼴 규칙을 들 수 있으며, 이는 선형 ^[10]다단계법으로도 볼 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 조건번호
• 일부 강성 문제를 회피하는 방법으로 불연속성을 허용하는 미분 방정식 개념의 확장인 미분 포함
• 명시적 및 암묵적 방법

메모들

레퍼런스

• 를 클릭합니다Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
• 를 클릭합니다Dahlquist, Germund (1963), "A special stability problem for linear multistep methods", BIT, 3 (1): 27–43, doi:10.1007/BF01963532, hdl:10338.dmlcz/103497, S2CID 120241743.
• 를 클릭합니다Eberly, David (2008), Stability analysis for systems of differential equations (PDF).
• 를 클릭합니다Ehle, B. L. (1969), On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems (PDF), University of Waterloo.
• 를 클릭합니다Gear, C. W. (1971), Numerical Initial-Value Problems in Ordinary Differential Equations, Englewood Cliffs: Prentice Hall.
• 를 클릭합니다Gear, C. W. (1981), "Numerical solution of ordinary differential equations: Is there anything left to do?", SIAM Review, 23 (1): 10–24, doi:10.1137/1023002.
• 를 클릭합니다Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems (second ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5.
• 를 클릭합니다Hirshfelder, J. O. (1963), "Applied Mathematics as used in Theoretical Chemistry", American Mathematical Society Symposium: 367–376.
• 를 클릭합니다Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert (1991), Order Stars, Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-35260-7.
• 를 클릭합니다Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
• 를 클릭합니다Lambert, J. D. (1977), D. Jacobs (ed.), "The initial value problem for ordinary differential equations", The State of the Art in Numerical Analysis, New York: Academic Press: 451–501.
• 를 클릭합니다Lambert, J. D. (1992), Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, New York: Wiley, ISBN 978-0-471-92990-1.
• 를 클릭합니다Mathews, John; Fink, Kurtis (1992), Numerical methods using MATLAB.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 17.5. Stiff Sets of Equations". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• 를 클릭합니다Shampine, L. F.; Gear, C. W. (1979), "A user's view of solving stiff ordinary differential equations", SIAM Review, 21 (1): 1–17, doi:10.1137/1021001.
• 를 클릭합니다Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert (1978), "Order stars and stability theory", BIT, 18 (4): 475–489, doi:10.1007/BF01932026, S2CID 8824105.
• 룽게-쿠타 방법의 안정성 [1]

외부 링크

• 물리적 기반 모델링 소개: 에너지 기능과 강성
• 엄격한 시스템 로렌스 F. Shampine and Skip Thompson Scholarpedia, 2(3):2855.doi:10.4249/scholarpedia.2855