스타크 추측

수 이론에서 스타크(1971년, 1975년, 1976년, 1980년)가 도입하고 이후 테이트(1984년)가 확장한 스타크 추측은 대수적 수 분야의 갈루아 확장 K/k와 연관된 아르틴 L 기능의 테일러 팽창에서 선도어 용어의 계수에 대한 추측 정보를 준다.이 추측들은 현장의 S-유닛과 합리적인 숫자에 관련된 조절기의 산물로 숫자 필드의 디데킨드 제타 함수에 대한 테일러 시리즈의 선행 계수를 표현하는 분석 등급 번호 공식으로 일반화된다.K/k가 아벨의 연장선이고 s = 0에서 L 기능의 소멸 순서가 하나일 때 스타크는 자신의 추측을 정교하게 다듬어 스타크 유닛이라고 불리는 특정 S 유니트의 존재를 예측했다.루빈(1996년)과 크리스티안 뒤미트루 포페스쿠는 이러한 정제된 추측을 더 높은 순서의 소멸로 연장시켰다.

공식화

스타크는 가장 일반적인 형태에서 아르틴 L-함수의 선행 계수가 대수적 숫자를 가진 조절기의 일종인 스타크 조절기의 산물이라고 예측한다.확장이 아벨리안이고 s = 0에서 L기능이 소멸되는 순서가 하나일 때 스타크의 정제된 추측이 스타크 단위의 존재를 예측하는데, 그 뿌리는 베이스필드 k(쿠메르 이론이 암시하는 것처럼 K에 대한 아벨리안만이 아니라 K에 대한 K의 K의 Kummer 연장을 생성한다.이와 같이 그의 추측의 이러한 정교함은 힐버트의 열두 번째 문제를 해결하는 데 이론적 함의를 가지고 있다.또한, 그의 정제된 추측의 진실성을 검증할 수 있을 뿐만 아니라 숫자 분야의 아벨리아적 확장을 생성하기 위한 중요한 계산 도구를 제공할 수 있도록 구체적인 예에서 스타크의 유닛을 계산하는 것이 가능하다.실제로 숫자 필드의 아벨 확장 계산에 대한 일부 표준 알고리즘에는 확장자를 생성하는 스타크 단위의 생산(아래 참조)이 포함된다.

연산

첫 번째 순서 제로 추측은 PARI/GP 컴퓨터 대수 시스템의 최근 버전에서 완전히 실제 수 필드의 힐버트 클래스 필드를 계산하기 위해 사용되며, 그 추측들은 수학자들에게 다음과 같은 방법으로 어떤 수 필드에 대해 클래스 필드가 어떻게 구성될 수 있는지를 보여주도록 도전한 힐버트의 12번째 문제에 대한 하나의 해결책을 제공한다.복잡한 분석

진행

스타크의 주된 추측은 L-기능을 정의하는 캐릭터가 합리적 가치만을 취하는 경우를 포함하여 다양한 특수한 사례에서 입증되었다.기지장이 합리적 숫자의 분야나 가상의 2차적 분야일 때를 제외하면 아벨리안 스타크의 추측들은 여전히 숫자 분야에서는 검증되지 않고 있으며, 대수적 다양성의 기능 분야에서는 더 많은 진전이 이루어졌다.

마닌(2004)은 스타크의 추측을 알랭 콘의 비확정 기하학과 연관시켰다.^[1]현재로서는 마닌의 기술이 실제 증거를 산출할지는 불분명하지만, 이것은 추측을 연구하기 위한 개념적인 틀을 제공한다.

최근의 진전은 다스굽타와 카크데에 의해 이루어졌다.[1]

메모들

참조

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• Manin, Yuri Ivanovich (2004), "Real multiplication and noncommutative geometry (ein Alterstraum)", in Piene, Ragni; Laudal, Olav Arnfinn (eds.), The legacy of Niels Henrik Abel, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 685–727, arXiv:math/0202109, Bibcode:2002math......2109M, ISBN 978-3-540-43826-7, MR 2077591
• Popescu, Cristian D. (1999), "On a refined Stark conjecture for function fields", Compositio Mathematica, 116 (3): 321–367, doi:10.1023/A:1000833610462, ISSN 0010-437X, MR 1691163
• Rubin, Karl (1996), "A Stark conjecture over Z for abelian L-functions with multiple zeros", Annales de l'Institut Fourier, 46 (1): 33–62, doi:10.5802/aif.1505, ISSN 0373-0956, MR 1385509
• Stark, Harold M. (1971), "Values of L-functions at s = 1. I. L-functions for quadratic forms.", Advances in Mathematics, 7 (3): 301–343, doi:10.1016/S0001-8708(71)80009-9, ISSN 0001-8708, MR 0289429
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• Stark, Harold M. (1976), "L-functions at s = 1. III. Totally real fields and Hilbert's twelfth problem", Advances in Mathematics, 22 (1): 64–84, doi:10.1016/0001-8708(76)90138-9, ISSN 0001-8708, MR 0437501
• Stark, Harold M. (1980), "L-functions at s = 1. IV. First derivatives at s = 0", Advances in Mathematics, 35 (3): 197–235, doi:10.1016/0001-8708(80)90049-3, ISSN 0001-8708, MR 0563924
• Tate, John (1984), "Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s=0", Mathematical Programming, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, 47 (1–3): 143–153, doi:10.1007/BF01580857, ISBN 978-0-8176-3188-8, MR 0782485

외부 링크

• Hayes, David R. (1999), Lectures on Stark's Conjectures, archived from the original on February 4, 2012{{citation}}: CS1 maint : 부적합한 URL(링크)