시노달 분해

이 글의 어조나 문체는 위키백과에서 사용되는 백과사전적 어조를 반영하지 못할 수도 있다. 제안사항은 위키피디아의 더 나은 기사 작성 안내서(2021년 8월)를 참조하십시오. (이 템플리트 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

스핀오달 분해는 하나의 열역학적 위상이 자연적으로 (즉 핵이 없는) 두 위상으로 분리될 때 발생한다.^[1] 분해는 핵이 없을 때 일어난다. 왜냐하면 시스템의 어떤 변동은 자유 에너지를 감소시키기 때문이다. 결과적으로, 위상 변화는 즉시 일어난다. 일반적으로 핵 장벽이 있을 때 그러하듯이 기다리는 것은 없다.

예를 들어 금속이나 중합체의 혼합물이 두 개의 공존 단계로 분리될 때 시노달 분해는 관찰된다. 각 혼합물은 한 종에 풍부하고 다른 종에는 빈약하다.^[2]

두 단계가 대략 같은 비율로 나타날 때(각각 동일한 볼륨 또는 면적을 점유) 두 단계는 점차적으로 고조되는 특징적인 서로 얽힌 구조를 형성한다 - 이 페이지의 애니메이션을 참조하십시오. 시편분해의 역학은 일반적으로 칸-힐리어드 방정식을 사용하여 모델링된다.

시노달 분해는 핵이나 성장과는 근본적으로 다르다. 2단계의 형성에 핵장벽이 있을 때, 시스템은 그 장벽을 극복하는 데 시간이 걸린다. (정의상으로는) 시노다 분해에 장벽이 없기 때문에, 일부 변동(위상을 특징짓는 순서 매개변수)은 즉각적으로 증가하기 시작한다. 더욱이, 시편 분해 변동은 체적 전체에 걸쳐 균일하게 증가하기 시작하는 반면, 핵 위상 변화는 개별적인 수의 지점에서 시작된다.

시노달 분해는 균질한 국면이 열역학적으로 불안정해질 때 발생한다. 불안정한 국면은 자유 에너지에서 최대치에 있다. 이와는 대조적으로, 핵과 성장은 동질적 국면이 전이될 때 발생한다. 즉, 자유 에너지에서는 또 다른 새로운 국면이 낮아지지만 자유 에너지에서는 동질적 국소적 최소치에 머물러 있기 때문에 작은 변동에도 내성이 있다. J. 윌러드 깁스는 측정 가능한 단계의 두 가지 기준을 설명했는데, 그것은 넓은 영역에 대한 작은 변화에 대해 안정적이어야 하며, 작은 영역에 대한 큰 변화에 대해서는 안정적이어야 한다는 것이다.^[3]

시편분해를 위한 칸 힐리어드 모델

예를 들어, 농도 등에서 작은 진폭 변동이 존재하는 자유 에너지는 초전도체에서 자기장 구배를 설명하기 위해 긴츠부르크와 랜도가 도입한 근사치를 사용하여 평가할 수 있다. 이 접근방식은 벡터인$$농도 구배 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \nabla c}$ 측면에서 자유 에너지를 팽창으로 추정할 수 있게 한다. 자유 에너지는 스칼라이기 때문에 자유 에너지는 그 안에 ${\displaystyle \mathrm{proportional}}$${\displaystyle \mathrm{}}$c ${\displaystyle \nabla c}$에 비례하는 용어를 가질 수 없다. 가장 낮은 순서의 항은 2차 식 $\kappa {\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle c{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ c$)^{2}},$ 스칼라이다$.$ 여기서 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은 농도 c {\$displaystyle$ c$\}$의 $변화$에 따른 자유 에너지 비용을 제어하는 매개 변수다.

그때 칸힐리어드 자유 에너지는

${\displaystyle F=\int _{v}[f_{b}+\kappa(\nabla c)^{2}]~dV}$

여기서 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 균질 용액의 단위 부피 당 부피가 큰 자유 에너지이며$$, 적분은 시스템의 부피보다 크다.

이제 $농도{\displaystyle }$ $c{\displaystyle }${\$displaystyle$ $c}$의 작은$$ 변동과 관련하여 시스템의 안정성을 연구하고자 한다$.$ 예를 들어 concentration ${\$$displaystyle a}$과 wavevector $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2\pi }}$ /${\displaystyle \lambda }$ ${\displaysty q=2\pi /\$$lambda }.$ 열역학적으로 안정적이 되려면 작은 진폭 농도변동 ${\displaystyle \mathrm{\Delta c}}$ =${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle q\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$. r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle \$$delta F}$에 의한$$ 자유 에너지 변화 ${\displaystyle \mathrm{\Delta F}}$ ${\$$delta c=a\sin({\vec {q}).$${\vec{r}}}$은$($는) 양수여야 한다.

${\displaystyle {평균}_{}}$ 구성 c에_o 대해$$ 다음과 같이 $f{\displaystyle {}_{}}$ b ${\$을(를) 확장할 수 있다.

${\displaystyle f_{b}(c)=f_{b}(c_{0})+\left(c-c_{0}\right)\left({\frac {\partial f}{\partial c}}\right)_{c\,=\,c_{0}}+{\frac {1}{2}}\,\left(c-c_{0}\right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}\right)_{c\,=\,c_{0}}+\cdots }$

그리고 섭동 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle 죄}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle q\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$. ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle \c=a\sin({\vec {q}.$${\vec{r}}$자유$$ 에너지 변화는

${\displaystyle f_{b}+\kappa (\bla c)^{2}=f_{b}(c_{0})+a\sin({\vec {q}.{\vec{r}}\left \frac {\reft f}{\require c}\frac {1}{0}\,=\,c_{0}}+{1}{1}:{1}:{1}}\a^{2}\sin ^{\vec {q}}.{\vec{r}}\left\frac{2}f}{\nf}{\\nf}{\n1}{c\,=\,c_{0}+a^{2}}}\kappa q^{2}\cos ^{2}({\vec {q}}).{\vec{r}}}$

이것이 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 볼륨에 통합되었을 때$,$ ${\displaystyle \sin }$sin${\displaystyle }$(${\displaystyle q\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$. ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sin({\vec {q}}).$${\vec{r}}}$은(는) 0을 주는 ${\displaystyle {\mathrm{반면}}^{}}$, ${\displaystyle {sin\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle }$((${\displaystyle q\stackrel{}{}\stackrel{}{\to }}$ .${\displaystyle \stackrel{}{}r\stackrel{}{}}$→ )은$($는) {\$displaystyle \sin$^{2}({\vec {$q}).$${\vec{r}}$ 및$$ ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle (q\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$. r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cos ^{2}({\vec {q}}).$${\vec{r}}$ $통합$하여 V${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle V/2$}을$($를) 제공$.$ 그러면^[4]

${\displaystyle {{\frac {\delta F}{V}}=\왼쪽({\frac {a^{4}\오른쪽)\\왼쪽({\frac {a}{2}}{\partial c^{2}}}{\partial c^{2}}}{c_{0}}+2\c_{0}\appa}오른쪽}$

> ${\displaystyle a^{2}>0}$로서열역학적 안정성은 괄호 안의 항이 양수여야 한다. $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 항상 양성이지만$$ 작은 파장, 큰 파장에서는 0이 되는 경향이 있다. 우리는 거시적 변동인 $q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q\to 0}$에 관심이 있으므로$,$ 안정성은 자유 에너지의 두 번째 파생상품이 양성이어야 한다. 그럴 때는 시노다 분해는 없지만 음성이면 시노다 분해는 일어난다. 그런 다음 파동 벡터 <$q>{c}$를 사용한 변동은 자연적으로 불안정해지고 여기서 임계 파동 번호 ${\$는 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle q_{c}={\sqrt{-1}{2\kappa}}}\좌측값\frac {\nf}{\nf}{\nump ^{2}f}{\c=c_{0}}}}}}}}}}$

임계 파장 이상의 변동에 해당하는 것

${\displaystyle \c_{c}={\sqrt {-8\pi ^{2}\kappa /\left\frac {\refac ^{2}f}{\nf}{\f^{2}}}}{c=c_{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

분자가 확산을 통해 이동할 때 분자 분해의 역학

시노달 분해는 일반화된 확산 방정식을 사용하여 모델링할 수 있다.

^[5][6][7]

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}=M\nabla ^{2}\mu }$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$의 경우 화학적$$ 전위와 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 이동성$$. 칸이 지적한 바와 같이, 이 방정식은 이동성 M의 현상학적 정의로 간주할 수 있는데, 정의상 양수여야 한다.^[8] 그것은 화학적 전위에서의 국소 경사로에 대한 플럭스의 비율로 구성된다. 화학적 전위는 자유 에너지의 변화이며, 이것이 Cann-Hilliard 자유 에너지일 때 이것은^[5]

${\displaystyle \mu ={\frac {\delta F}{\delta c}}}=\왼쪽({\frac {\partial f}{\partial c}\오른쪽)_{c=c_{0}-2}\cappa \nabla ^{2}c}}$

등등

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=M\nabla ^{2}\mu =M\left[\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}\right)_{c=c_{0}}\nabla ^{2}c+2\kappa \nabla ^{4}c\right]}$

그리고 $이제{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 작은 농도변동 ${\displaystyle \Delta }$ c =${\displaystyle }$exp ${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t\stackrel{}{}}$)${\displaystyle }$sin$)$ (${\displaystyle q\stackrel{}{}}$ →${\displaystyle }$. r → ) {\$displaystyle \c=a\exp(\$omega t$)\sin {\$vec {$q}$에 어떤 일이 일어나는지 알아보려고 한다.${\vec{r}}$ $$- 지금은 파동자 의존으로서 시간 의존성을 갖게 된다는 점에 유의하십시오. 여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 증가율이다. Ω < ${\displaystyle \omega$ <$0})$이 되면 섭동은 무(無)로 줄어들고, 시스템은 작은 섭동이나 변동과 관련하여 안정적이며, 분신 분해는 없다. 그러나 > ${\displaystyle \omega >0}$이면 섭동이 커지고 작은 섭동이나 변동과 관련하여 시스템이 불안정해진다. 분신 분해 작용이 있다.

이 집중력 변동으로 대체하면, 우리는 그 결과를 얻게 된다.

${\displaystyle \delta c=왼쪽[-\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}:}\오른쪽)_{c=c_{0}q^{2}+2\appa q^{4}\delta c}$

이는 위와 같은 안정성에 대한 표현을 주지만 집중력 동요의 증가율에도 대한 표현을 주기도 한다.

${\displaystyle \omega =Mq^{2}\왼쪽[{\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}\right)_{c=c_{0}+2\cappa q^{2}\2}\right]}$

파동 벡터에 최대치를 가진

${\displaystyle q_{\rm {max}={\sqrt {-\좌측값\frac {\\nf}{\nf}{\nf}{\c=c_{0}/(8\cappa )}}}}}}}}$

최소한 시편분해가 시작될 때 우리는 증가하는 농도가 대부분 이 파동자를 가질 것으로 예상한다.

위상도

이러한 형태의 위상 변환은 시노달 분해라고 알려져 있으며, 오타성 차이를 나타내는 위상 다이어그램에 설명할 수 있다. 따라서 위상 분리는 물질이 위상 다이어그램의 불안정한 영역으로 전환될 때마다 발생한다. 불안정 영역의 경계는 이항 또는 공존 곡선이라고도 하며, 자유 에너지 다이어그램의 공통 접선 구조를 수행함으로써 찾을 수 있다. 이노달 내부에는 스핀오달이라고 불리는 영역이 있는데, 자유 에너지 곡선의 곡률이 음수인 위치를 결정하여 발견된다. 이노달과 스핀오달은 결정적인 지점에서 만난다. 어떤 물질이 위상 도표의 시노다 영역으로 이동될 때 시노다 분해가 발생할 수 있다.^[9]

자유 에너지 곡선은 절대 온도 이하의 온도에 대한 구성 함수로 표시된다. T 평형 위상 구성은 자유 에너지 미니마에 해당하는 것이다. 음의 곡률 영역(²ff/cc² < 0 )은 곡선의 변곡점(∂²f/∂c² = 0 ) 안에 위치하며, 이를 스핀오드라고 한다. 온도의 함수로서의 그들의 중심은 스핀오달 곡선을 정의한다. 스핀오달 내 구성의 경우, 동질 용액은 밀도나 구성의 극소수 변동에 대해 불안정하며, 새로운 단계의 성장에 열역학적 장벽이 없다. 따라서, 스핀오달은 물리적, 화학적 안정성의 한계를 나타낸다.

위상 다이어그램의 회전 영역에 도달하기 위해 전환은 이항 영역 또는 임계 지점을 통해 자재를 가져가야 한다. 이러한 전환 중에 종종 위상 분리가 핵분열을 통해 발생하며, 시편 분해가 관찰되지 않을 것이다. 스핀오달 분해를 관찰하기 위해서는 위상도의 안정부에서 스핀오달 불안정한 영역으로 이동하기 위해서는 종종 퀘벡이라고 불리는 매우 빠른 전환이 필요하다.

일부 시스템에서는 재료의 순서가 구성상의 불안정성을 초래하고 이를 조건부 스핀오달(예: 장력)이라고 한다.^{[10][11][12][13][14]}

일관성 변종

대부분의 결정성 고체 용액의 경우 성분의 격자 매개변수의 변화가 있다. 그러한 용액의 격자가 구성 변조가 있는 상태에서 일관성을 유지하려면, 단단한 격자 구조를 변형시키기 위해 기계적 작업을 수행해야 한다. 따라서 일관성 유지는 확산의 원동력에 영향을 미친다.^{[8][15][16][17]}

x 방향을 따라 1차원 조성 변조가 들어 있는 결정 고체를 고려하십시오. 우리는 기존 단면적의 슬래브에 일관성 있게 추가될 수 있도록 재료 한 조각을 변형시키는 데 필요한 작업을 추정하여 입방 결정의 탄성 변형 에너지를 계산한다. 구성 변조가 x의 방향을 따라 있다고 가정하고, 표시된 대로 프라임을 사용하여 기준 축과 입방계 표준 축(즉, <100>^[6]을 따라)을 구별할 것이다.

슬래브 평면의 격자 간격은 a와_o 비정형 슬라이스 a가 되도록 한다. 슬래브를 추가한 후 슬라이스가 일관성을 유지하려면 다음과 같은 방법으로 z'와 y'방향에 변형률 ε을 적용해야 한다.

${\displaystyle \epsilon ={\frac {a-a_{0}}{a_{0}}}}$

첫 번째 단계에서 필요한 균주를 z'와 y' 방향으로 생성하기 위해 슬라이스가 정수적으로 변형된다. 우리는 c가 탄성 상수인 입방계 1 / ( c + 2₁₁₁₂ c )의 선형 압축성을 사용한다. 따라서 Δ의 정수 변형을 생성하는 데 필요한 응력은 다음과 같다.

${\displaystyle \prox'}=\proxma _{x'}=\proxma _{z'}}}}$

단위 부피당 탄성 작업은 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle W_{E}={\frac {1}{2}}\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}\엡실론 _{i}}}}}}$

ε이 변종인 곳이지 따라서 첫 번째 단계에서 슬라이스의 단위 볼륨당 수행되는 작업은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle W_{E}(1)={\frac {3}{2}}(c_{11}+2c_{12})\엡실론 ^{2}}$

두 번째 단계에서는 x의 방향에 평행한 슬라이스 옆면이 클램프 되고 이 방향의 응력이 역방향으로 완화된다. 따라서 ε_z' = ε_y' = 0. 그 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle W_{E}(2)={\frac {\epsilon ^{2}(c_{11}+2c_{22}}}}{2c_{11}}}}}}:{11}}}}}}$

일관성을 달성하기 위해 슬라이스에서 수행되는 순 작업은 다음과 같다.

${\displaystyle W_{E}=W_{E}(1)-W_{E}(2)}$

또는

${\displaystyle W_{E}=\왼쪽({\frac {\epsilon ^{2}}:\오른쪽)(c_{11}+2c_{12})\왼쪽({\frac {c_{11}-2c_{12}}{c_{1'1}}}\오른쪽)}$

마지막 단계는 c를_1'1' 표준 축에 언급된 상수로 표현하는 것이다. 축의 회전으로부터 다음과 같은 것을 얻는다.

${\displaystyle c_{1'1}=c_{11}+2(2c_{44}-c_{11}+c_{12})(l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}+l^{2}}n^{2}}}}}}}}}}$

여기서 l, m, n은 x' 축의 방향 코사인, 따라서 구성 변조의 방향 코사인이다. 이 둘을 결합하여 다음 사항을 얻는다.

${\displaystyle W_{E}=Y\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle Y={\frac {1}{2}}(c_{11}+2c_{12})\left[3-{\frac {c_{11}+2c_{12}}{c_{11}+2(2c_{44}-c_{11}+c_{12})(l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})}}\right]}$

전단 변형의 존재는 설명되지 않았다. Cahn은 이 문제를 고려했고, <100>, <110>, <111>에 따른 변조에 대해서는 전단이 없을 것이며, 그 밖의 방향의 경우 전단 균주의 영향이 작을 것이라고 결론지었다. 단면 면적 A 슬래브의 총탄성 변형률 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle W_{E}=4\int Y\epsilon ^{2}~dx}$

우리는 다음으로 변형률 Δ를 구성 변동과 연관시켜야 한다. a는_o 평균 구성 c의_o 구속되지 않은 고체의 격자 매개변수가 되도록 한다. c에_o 대한 Taylor의 시리즈 확장을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle a=a_{0}[1+\eta [c-c_{0}]+\cdots ]}$

어떤 점에서

${\displaystyle \eta =\lefted\frac {1}{a_{0}}\right)\left\frac {da}}\dc}\ln a}{dc}}}$

여기서 파생상품은 c에서_o 평가한다. 따라서 상위 주문 조건을 무시한 채 다음을 수행해야 한다.

${\displaystyle \epsilon ={\frac {a-a_{0}}{a_{0}}=\eta(c-c_{0})$

대체하여 다음 사항을 얻는다.

${\displaystyle W_{E}=A\int \eta ^{2}Y(c-c_{0})^{2}~dx}$

이 간단한 결과는 구성 변조의 변형 에너지가 진폭에만 의존하고 파장과는 독립적이라는 것을 나타낸다. 주어진 진폭의 경우 변형 에너지 W는_E Y에 비례한다. 몇 가지 특별한 경우를 생각해 보십시오.

등방성 물질의 경우:

${\displaystyle 2c_{44}-c_{11}+c_{12}=0}$

따라서:

${\displaystyle Y[\mathrm {iso} ]=c_{11}+c_{12}-2({\frac {c_{12}^{2}}{c_{11}}}}}}}}}}}$

Ths 방정식은 또한 표준 관계를 사용하여 영의 계량 E와 포이손의 비율 υ의 관점에서 쓰일 수 있다.

${\displaystyle c_{11}={\frac {E(1-\nu )}{{(1-2\nu)}{(1+\nu )}}}}$

${\displaystyle c_{12}={\frac {E\nu }{{(1-2\nu )(1+\nu )}}}}$

대체하여 다음 사항을 얻는다.

${\displaystyle Y[\mathrm {iso} ]={\frac {E}{1-\nu }}}$

대부분의 금속의 경우, 이 방정식의 왼손은

${\displaystyle 2c_{44}-c_{11}+c_{12}}$

양성이므로 탄성 에너지는 해당 항을 최소화하는 방향(lm²² + mn²² + ln²² + ln)에 대해 최소가 된다. 검사 결과, 그것들은 <100>으로 보인다. 이 경우:

${\displaystyle Y[\mathrm {100} ]=c_{11}+c_{12}-2\왼쪽({\frac {c_{12}^{2}}{c_{11}}}\오른쪽)}$

등방성 물질과 동일하다. 적어도 하나의 금속(몰리브덴)은 반대편 기호의 음이소트로피를 가지고 있다. 이 경우 최소 W의_E 방향은 방향 코사인 함수를 최대화하는 방향이 된다. 이 방향은 <111>이며,

${\displaystyle Y[\mathrm {111} ]={\frac {6c_{44}(c_{11}+2c_{12}}}}{c_{11}+2c_{12}+4c_{44}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

우리가 보게 되겠지만, Y를 최소화하는 방향에서 변조 증가율은 최대가 될 것이다. 따라서 이러한 방향은 입방체 고체 용액에서 분해의 형태학 및 구조적 특성을 결정한다.

확산 방정식을 다시 작성하고 탄성 에너지에 대해 도출된 용어를 포함하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle F_{t}=A\int f(c)+\eta Y(c-c_{0})^{2}+K\왼쪽({\frac {dc}{dx}\오른쪽)^{2}~dx}$

또는

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\left({\frac {M}{N_{\nu }}}\right)\left([f''+2\eta Y]\left({\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}\right)-2K\left({\frac {d^{4}c}{dx^{4}}}\right)\right)}$

확산 계수 D의 관점에서 대안으로 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\left(\left[1+{\frac {2\eta Y}{f''}}\right]{\frac {d^{2}c}{dx^{2}}}-{\frac {2KF}{f''}}{\frac {d^{4}c}{dx^{4}}}\right)}$

이 방정식을 푸는 가장 간단한 방법은 푸리에 변환의 방법을 이용하는 것이다.

푸리에 변환

푸리에 변환의 동기는 푸리에 시리즈 연구로부터 온다. 푸리에 시리즈에 대한 연구에서 복잡한 주기 함수는 sine과 cosines로 수학적으로 표현되는 단순한 파장의 합으로 기록된다. 사인(Sine)과 코사인(Cosine)의 특성 때문에 합계의 각 파동 양을 적분으로 회수할 수 있다. 많은^2πiθ 경우 e = cos 2πθ + i sin 2πθ을 명기하는 오일러의 공식을 사용해, 많은 다루지 않는 공식을 단순화한다는 뚜렷한 이점과 함께, 기본파 e의^2πiθ 관점에서 푸리에 시리즈를 쓰는 것이 바람직하다.

사인 및 코사인으로부터 복잡한 지수까지의 구절은 푸리에 계수를 복합적으로 평가할 필요가 있다. 이 복잡한 숫자의 일반적인 해석은 기능에 존재하는 파형의 진폭(또는 크기)과 파형의 위상(또는 초기 각도)을 모두 제공한다는 것이다. 이 구절은 또한 음의 "주파수"에 대한 필요성을 소개한다. (예: θ를 초 단위로 측정하면^2πiθ e와^−2πiθ e 모두 초당 한 사이클을 완료하지만, 푸리에 변환에서는 서로 다른 주파수를 나타낸다. 따라서 주파수는 더 이상 단위 시간당 사이클 수를 측정하지 않고 밀접하게 관련되어 있다.

A(β)가 파장 λ과 와벤넘버 β = 2π/λ의 푸리에 성분의 진폭인 경우, 구성의 공간적 변화는 푸리에 적분으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle c-c_{0}=\int A(\beta )\exp(i\beta x)~d\beta }$

계수가 역 관계에 의해 정의되는 경우:

${\displaystyle A(\beta )={\frac {1}{2\pi }}\int(c-c_{0})\exp(-i\beta x)~dx}$

대신 계수를 등분할 때 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {dA(\beta )}-{dt}=-{\frac {M}{N_{\nu }}[f"+2\eta ^{2}Y+2Y\beta ^{2}A(\beta )}$

이것은 다음과 같은 해답을 가진 일반적인 미분 방정식이다.

$[\displaystyle A(\beta ,t)=A(\beta ,0)\exp[R(\beta )t]}$

여기서 A(β)는 다음에 의해 정의된 파장 와바넘버 β 및 R(β)의 푸리에 성분의 초기 진폭이다.

${\displaystyle R(\beta )=-{\frac {M}{N_{\nu }}}(f'+2\eta Y+2k\beta ^{2})\beta ^{2}}$

또는 확산 계수 D:

${\displaystyle R(\beta )=-{\tilde{D}\좌측(1+{\frac{2\eta ^{2}Y}{f"}}+{\frac {2K}{f"}}}}\베타 ^{2}\오른쪽)\베타 ^{2}}$

유사한 방법으로, 새로운 확산 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial t}=M{\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}\nabla ^{2}c-2MK\nabla ^{4}c)}$

다음과 같은 간단한 사인파 솔루션 제공:

${\displaystyle c-c_{0}=exp[R{\bar {\beta }}cos\beta \cdot r}$

여기서 $R{\displaystyle }$ (${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle R(\beta )}$은(는) 이 용액을 다음과 같이 확산 방정식으로 다시 대체하여 얻는다$$.

${\displaystyle R({\bar {\beta })-M\beta ^{2}\왼쪽({\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}}+2K\beta ^{2}\right)}$

고형물의 경우, 일관성에 기인하는 탄성 균주는 다음과 같이$$ 증폭 $인자{\displaystyle }$ R (${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle$ R$(\beta )}$에 용어를 추가한다.

${\displaystyle R({\bar {\beta }}=-M\beta ^{2}\왼쪽({\frac {\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}+2}\eta ^{2}Y+2K\beta ^{2}\rig)}$

여기서, 등방성 고형분의 경우:

${\displaystyle Y}$= ${\displaystyle E\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{\nu }{}}$ ${\$ $\}\},$

여기서 E는 영의 탄성계수이고, υ은 포아송의 비율이며, unit은 단위 구성 차이에 따른 선형 변형률이다. 비등방성 고형분의 경우 탄성 항은 탄성 상수로 예측할 수 있는 방식으로 방향에 따라 달라지며 격자 매개변수는 구성에 따라 어떻게 달라진다. 입방체 케이스의 경우 Y는 탄성 음이소트로피의 부호에 따라서만 (100) 또는 (111) 방향 중 하나에 대한 최소값이다.

따라서, Cahn은 그것의 Fourier 성분들의 측면에서 어떠한 구성 변동도 설명함으로써, 임계 파장의 정현상 변동에 관해서 해결책이 불안정할 것이라는 것을 보여주었다. 탄성 변형 에너지를 그러한 변동의 진폭과 연관시킴으로써, 그는 그러한 변동의 성장의 파장이나 주파수 의존성을 공식화하였고, 따라서 특정 파장의 푸리에 성분의 선택적 증폭 원리를 도입하였다. 이 치료는 가장 빠르게 증가하는 변동에서 예상되는 평균 입자 크기나 파장을 산출한다.

따라서 구성 변동 진폭은 특정 파장의 구성요소를 우선 증폭하여 측정 가능한 평형에 도달할 때까지 지속적으로 증가해야 한다. 운동 증폭 인자 R은 용액이 변동까지 안정되어 있을 때 음수이고 임계 파장에서 0이며 긴 파장에 대해서는 양수이므로 임계 파장의$$ $정확히{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 2${\$배에서 최대치를 나타낸다.

스핀오달 내의 균일한 용액을 고려한다. 처음에는 푸리에 적분으로 쓰여질 수 있는 평균 구성에서 일정량의 변동이 있을 것이다. 그 변동의 각 푸리에 요소는 파장에 따라 증가하거나 감소할 것이다.

파장의 함수로써 R의 최대치 $때문$에$,$ 2 {\$displaystyle {\sqrt{2}}$배의$$ 그러한 변동 요소들이 임계 파장의 가장 빠르게 증가하여 지배하게 될 것이다. 이 "선택적 증폭의 원리"는 이러한 파장의 초기 존재에 따라 달라지지만 다른 파장에 비해 정확한 진폭에 결정적으로 의존하지는 않는다(시간이 (1/R과 비교하여 큰 경우). 서로 다른 파장은 공존할 수 있고 서로 간섭하지 않기 때문에 추가 가정에 의존하지 않는다.

이 이론의 제한은 내부 마찰과 엔트로피 생산과 관련될 수 있는 위상 분리 동안에 되돌릴 수 없는 과정을 설명하기 위해 공식화된 표현과 이러한 가정으로부터 발생하는 것으로 보일 것이다. 실제로 마찰 댐핑은 일반적으로 존재하며 에너지의 일부는 열 에너지로 변환된다. 따라서 1차원 파형의 진폭과 강도는 소스로부터의 거리에 따라 감소하며, 3차원 파형의 경우 감소폭이 더 클 것이다.

k-공간 내 역학

위상 다이어그램의 스핀오달 영역에서는 구성요소가 분리될 수 있도록 하여 자유 에너지를 낮출 수 있으므로 재료의 특정 영역에서 구성요소 재료의 상대적 농도를 높일 수 있다. 물질이 위상도의 안정적인 부분에 도달할 때까지 농도는 계속 증가할 것이다. 물질의 매우 큰 영역은 이동해야 하는 물질의 양 때문에 천천히 농도가 변할 것이다. 매우 작은 지역은 서로 다른 두 구성품 사이의 인터페이스를 유지하는 에너지 비용 때문에 줄어들 것이다.^[18][19][20]

온도와 같은 제어 매개변수를 동질적으로 취출하기 시작하면 갑자기 전역적으로 변경된다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $-type$과 B ${\displaystyle B}$ -type$$ 재료의 이항 혼합인 경우 Landau free-energy

${\displaystyle F=\int \!\좌({\frac {A}{2}}\phi ^{2}+{4}}{\frac {B}}\phi ^{4}+{\frappa {}}}{2}}\좌(\nabla \pi \오른쪽)~dx\;}$

임계점에 가까운 자유 에너지의 좋은 근사치로서, 균질한 쿼치를 연구하는데 종종 사용된다. 혼합물 농도 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$는 혼합물$$ 성분의 밀도 차이며, 혼합물의 안정성을 결정하는 제어 파라미터는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$와 $B{\displaystyle }$ ${\displa}$이며$,$ 계면 에너지 비용은 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displa$에 의해 결정된다.$ystyle \kappa$ $\}.$

확산운동은 종종 분절 분해의 길이 척도에서 지배한다. 확산 시스템에 대한 운동 방정식은

$\displaystyle \phi _{t}\phi =\phla (m\bla \mu +\xi (x)\,},}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 확산 이동성, $\xi {\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x ${\displaystyle )}$${\displaystyle \xi($$x)}$은(는)$\($ )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \langle$ =$0{\displaystyle }$$},$ 화학적 전위$$μ ${\displaystyle \mu$}과$$ 같은 일부 무작위 소음이다$$.

${\displaystyle \mu ={\frac {\delta F}{\delta \phi }}}=A\phi +B\phi ^{3}-\kappa \nabla ^{2}\phi \;.}$

만일 < ${\displaystyle A<0}$이(가)${\displaystyle \mathrm{\varphi }}$= 0 ${\displaystyle \phi =0}$ 주변의 작은 변동은 음의 유효 확산 이동성을 가지며$$ 수축하기보다는 성장한다는 것을 알 수 있다. 성장 역학을 이해하기 위해 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$로 인한 변동 전류를 무시하고$$$\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ i ${\$ 주위에 운동 방정식을 선형화하고 푸리에 변환을 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$ -space로$$ 수행한다. 이 되다

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {\phi }}(k,t)=-m((A+3B\phi _{in}^{2})k^{2}+\kappa k^{4}){\tilde {\phi }}(k,t)=R(k){\tilde {\phi }}(k,t)\;,}$

기하급수적인 성장 솔루션이 있는 경우:

${\displaystyle {\tilde {\\phi }}=\exp(R(k)t)\;.}$

증가율 $R{\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle R(k)}$이 지수적이기$$ 때문에 가장 빠르게 성장하는 각도 Wavenumber

${\displaystyle k_{sp}={\sqrt {-(A+3B\phi _{in}^{2}}{2\kappa }}\,}$

형태학을 지배하게 될 거야 이제 우리는 시노달 분해의 결과가 시노달 길이라고 불리는 특성 길이 척도의 영역으로 나타난다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \lambda _{sp}={\frac {2\pi }{k_{sp}}=2\pi {\sqrt{2\kappa }}{-(A+3B\phi _{in}^{2}}}}}}}}}\;.}}}$

가장 빠르게 증가하는 각파수의 증가율은

${\displaystyle R(k_{sp})=-m((A+3B\phi _{in}^{2})k_{sp}^{2}+\kappa k_{sp}^{4})={\frac {m(A+3B\phi _{in}^{2})^{2}}{4\kappa }}={\frac {1}{t_{sp}}}}$

여기서 t ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 스핀오달 시간이라고 알려져$$ 있다.

회전 길이와 회전 시간은 운동 방정식을 비차원화하기 위해 사용될 수 있으며, 이로 인해 회전 분해에 대한 범용 스케일링이 발생한다.

역사

1940년대 초 브래들리는 Cu-Ni-Fe 합금에서 X선 회절 패턴의 브래그 봉우리 주변에서 사이드밴드를 관찰했다고 보고했다. 같은 합금에 대한 추가 관찰은 다니엘과 립슨에 의해 이루어졌는데, 그들은 <100> 방향에서 주기적인 구성의 변조에 의해 사이드밴드가 설명될 수 있음을 증명했다. 사이드밴드의 간격에서 100앙스트롬의 순서인 변조의 파장을 파악할 수 있었다.

초기 동종 합금에서 조성 변조의 성장은 오르막 확산 또는 음의 확산 계수를 의미한다. 베커와 데흘링거는 이미 2진법의 스핀도 영역 내에서 음의 확산성을 예측한 바 있었다. 그러나 이들의 치료법은 Cu-Ni-Fe 합금에서 관측된 것과 같은 특정 파장의 변조의 성장을 설명할 수 없었다. 사실, Fick의 법칙에 근거한 어떤 모델도 확산 계수가 음수일 때 물리적으로 받아들일 수 없는 해결책을 산출한다.

주기성에 대한 첫 설명은 마츠 힐러트가 1955년 MIT 박사학위 논문에서 제시하였다. 그는 정규 솔루션 모델을 시작으로 이산 격자 위의 1차원 확산에 대한 플럭스 방정식을 도출했다. 이 방정식은 구성이 다른 인접한 원자간 평면들 사이의 계면 에너지의 추진력에 영향을 미치는 용어를 포함시킴으로써 일반적인 방정식과 달랐다. 힐러트는 플럭스 방정식을 숫자로 풀었고, 스핀오달 내부에서 거리와 함께 주기적인 구성 변화를 보인다는 것을 발견했다. 더욱이 변조의 파장은 Cu-Ni-Fe 합금에서 관측된 것과 같은 순서였다.^[21][22]

Hillert의 연구를 바탕으로, 더 유연한 연속체 모델은 이후 John W. Cahn과 John Hilliard에 의해 개발되었는데, 이 모델은 구배 에너지 용어뿐만 아니라 일관성 변종의 효과를 포함했다. 균주는 비등방성 물질에서 분해의 궁극적인 형태학을 지시한다는 점에서 중요하다.^[23][24][25]

참조

추가 읽기

• Langer, J.S.; Baron, M.; Miller, H.D. (1975). "New computational method in the theory of spinodal decomposition". Physical Review A. 11 (4): 1417. Bibcode:1975PhRvA..11.1417L. doi:10.1103/PhysRevA.11.1417.
• Vidyasagar, A.; Krödel, S.; Kochmann, D. M. (2018). "Microstructural patterns with tunable mechanical anisotropy obtained by simulating anisotropic spinodal decomposition". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. The Royal Society. 474 (2218): 20180535. Bibcode:2018RSPSA.47480535V. doi:10.1098/rspa.2018.0535. ISSN 1364-5021.

외부 링크

• Mats Hillert의 간략한 진술
• 존 칸의 홈페이지
• 이항 합금
• 구성 프로필
• 구리/니켈/주석 합금
• 미세구조 진화의 그래픽 표현