칸-힐리어드 방정식

Cahn-Hilliard 방정식(John W. Can-Hilliard 방정식. Hilliard)^[1]는 위상 분리의 과정을 설명하는 수학 물리학의 방정식으로, 2진 유체의 두 성분이 자연적으로 분리되어 각 요소에서 순수한 영역을 형성한다. $c=\pm 1$ $c$ 이(가) 유체의 농도이고 $c$ c = $c=\pm 1$ ± $c=\pm 1$ ${\displaystyle c=\pm$ 1}이 $($ 가) 도메인을 나타내는 $c=\pm 1$ 경우 방정식은 다음과 같이 기록된다.

{\frac {\partial c}{\partial t}=D\nabla ^{2}\왼쪽(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right),

여기서 $D$ $D$ 은 $D$ (는) ${\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}$ ${\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}$ / ${\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}$ ${\$ Length $}^{2}/{\text}$ 의 단위를 갖는 확산 계수다. $Time}}$ 과 ${\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}$ ( ${\sqrt {\gamma }}$ ) ${\$ 은(는) 도메인 간의 전환 영역 길이를 제공한다 ${\sqrt {\gamma }}$ . 여기서 $\partial /{\partial t}$ / $\partial /{\partial t}$ $\partial /{\partial t}$ ${\$ t $}}$ 은 부분 시간 파생상품이고 $\partial /{\partial t}$ $\nabla ^{2}$ $\nabla ^{2}$ ${\$ }}은 $\nabla ^{2}$ $\nabla ^{2}$ n ${\displaysty n}$ 차원의 $n$ 라플라시안이다. 또한 수량 $\mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c$ = $\mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c$ $\mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c$ - c - $\mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c$ $\mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c$ c $[\displaystyle \mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c}$ 는 화학 전위로 확인된다 $\mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c$ .

그것과 관련된 것은 알렌-칸 방정식과 더불어 확률론적인 칸-힐리아드 방정식, 확률론적인 알렌-칸 방정식이다.

기능 및 애플리케이션

수학자들이 관심을 갖는 것은 원활한 초기 데이터에 의해 주어지는 칸-힐리어드 방정식의 고유한 해결책의 존재다. 그 증거는 본질적으로 랴푸노프 기능의 존재에 의존한다. 구체적으로, 만약 우리가 그 사실을 알아낸다면

F[c]=\int d^{n}x\왼쪽[{\frac {1}{1}{4}\왼쪽(c^{2}-1\오른쪽)^{2}+{{\fracma{}}}{{2}}\왼쪽 \nabla c\right ^{2}\right},},}}}

그럼 자유 에너지 기능으로서

{\frac {dF}{dt}=-\int d^{n}x\왼쪽 \nabla \mu \오른쪽 ^{2},

자유에너지가 제때 자라지 않도록 이것은 또한 영역으로의 분리가 이 방정식의 진화의 점증적 결과라는 것을 나타낸다.

실제 실험에서는 초기에 혼합된 이항 액을 영역으로 분리하는 것이 관찰된다. 분리는 다음과 같은 사실들로 특징지어진다.

\gamma =0.5

= 0.5 [\

displaystyle \gamma =0.5}

및

C=0

= 0

[\displaystyle C=0}

을(를) 사용한 Cahn-Hilliard 방정식에 따른 무작위 초기 데이터의 진화

C=0

위상 분리를 입증한다.

There is a transition layer between the segregated domains, with a profile given by the function $c(x)=\tanh \left({\frac {x}{\sqrt {2\gamma }}}\right),$ and hence a typical width ${\sqrt {\gamma }}$ because this function is an equilibrium solution of the Cahn–Hi라리아드 방정식
관심사는 또한 분리영역이 전력법으로서 제때에 성장한다는 사실이다. $L(t)$ , $L(t)$ ( t $L(t)$ ) $L(t)$ 이(가) 일반적인 도메인 크기라면 $L(t)$ $L(t)\propto t^{1/3}$ ( t $L(t)\propto t^{1/3}$ $L(t)\propto t^{1/3}$ / ${\$ L $(t)\propto t^{1/3$ 이것이 Liffshitz–이다.슬리요조프 법칙, 그리고 칸-힐리어드 방정식에 대해 엄격하게 입증되었고 이진 유체에 대한 수치 시뮬레이션과 실제 실험에서 관찰되었다.
칸-힐리어드 방정식은 $\mathbf {j} (x)=D\nabla \mu$ 법칙의 형태인 ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} (x),$ ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} (x),$ = t = ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} (x),$ $\mathbf {j} (x)=D\nabla \mu$ ( x ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} (x),$ ) ${\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} (x),$ , ${\displaystyle {\frac$ {\ $partial$ c}{\ $partial t}}}=\nabla$ \ $cdot$ \mathbf { $j},$ $\mathbf {j} (x)=D\nabla \mu$ = $\mathbf {j} (x)=D\nabla \mu$ = $\mathbf {j} (x)=D\nabla \mu$ $D\nabla \mu$ $\mathbf {j} (x)=D\nabla \mu$ 그러므로 위상분리 과정은 총농도 $C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)$ = $C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)$ $dn$ x $C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)$ ( $C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)$ , $C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)$ ) ${\$ d $^{n}xc\좌측(x,t\right$ 그래서 ${\frac {dC}{dt}}=0$ ${\frac {dC}{dt}}=0$ ${\frac {dC}{dt}}=0$ = ${\frac {dC}{dt}}=0$ ${\displaystyleyle {\\\\dc}{dt}}}=0$
한 상이 현저히 더 풍부할 때, 칸-힐리어드 방정식은 소수 상이 구형의 물방울을 형성하고 작은 물방울들이 더 큰 것으로 확산되어 흡수되는, 오스트왈드 숙성이라고 알려진 현상을 보여줄 수 있다.

칸-힐리어드 방정식은 복잡한 유체와 부드러운 물질(간유체 흐름, 폴리머 과학 및 산업 응용)의 다양한 분야에서 응용 분야를 찾는다. 이항 혼합물에 대한 칸-힐리어드 방정식의 해법은 스테판 문제 해결과 토마스와 윈들 모델과 잘 일치하는 것으로 나타났다.^[2] 현재 연구자들은 칸-힐리어드 방정식의 위상 분리를 나비에르에 결합하는 것이 흥미롭다.–유체 흐름 방정식을 강조한다.

참고 항목

추가 읽기

Cahn, John W.; Hilliard, John E. (1958). "Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy". The Journal of Chemical Physics. AIP Publishing. 28 (2): 258–267. Bibcode:1958JChPh..28..258C. doi:10.1063/1.1744102. ISSN 0021-9606.
Bray, A.J. (1994). "Theory of phase-ordering kinetics". Advances in Physics. 43 (3): 357–459. arXiv:cond-mat/9501089. Bibcode:1994AdPhy..43..357B. doi:10.1080/00018739400101505. ISSN 0001-8732. S2CID 83182.
Zhu, Jingzhi; Chen, Long-Qing; Shen, Jie; Tikare, Veena (1999-10-01). "Coarsening kinetics from a variable-mobility Cahn-Hilliard equation: Application of a semi-implicit Fourier spectral method". Physical Review E. American Physical Society (APS). 60 (4): 3564–3572. Bibcode:1999PhRvE..60.3564Z. doi:10.1103/physreve.60.3564. ISSN 1063-651X. PMID 11970189.
Elliott, Charles M.; Songmu, Zheng (1986). "On the Cahn-Hilliard equation". Archive for Rational Mechanics and Analysis. Springer Nature. 96 (4): 339–357. Bibcode:1986ArRMA..96..339E. doi:10.1007/bf00251803. ISSN 0003-9527. S2CID 56206640.
Areias, P.; Samaniego, E.; Rabczuk, T. (2015-12-17). "A staggered approach for the coupling of Cahn–Hilliard type diffusion and finite strain elasticity". Computational Mechanics. Springer Science and Business Media LLC. 57 (2): 339–351. doi:10.1007/s00466-015-1235-1. ISSN 0178-7675. S2CID 123982946.
Hashimoto, Takeji; Matsuzaka, Katsuo; Moses, Elisha; Onuki, Akira (1995-01-02). "String Phase in Phase-Separating Fluids under Shear Flow". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 74 (1): 126–129. Bibcode:1995PhRvL..74..126H. doi:10.1103/physrevlett.74.126. ISSN 0031-9007. PMID 10057715.
T. Ursell, "Cahn-Hilliard Kinetics and Spinodal Decisation in a Diffuse System," 캘리포니아 공과대학 (2007)

참조

^ Cahn, John W.; Hilliard, John E. (February 1958). "Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy". The Journal of Chemical Physics. 28 (2): 258–267. doi:10.1063/1.1744102. ISSN 0021-9606.
^ Vermolen, F. J.; Gharasoo, M. G.; Zitha, P. L. J.; Bruining, J. (2009). "Numerical Solutions of Some Diffuse Interface Problems: The Cahn–Hilliard Equation and the Model of Thomas and Windle". International Journal for Multiscale Computational Engineering. 7 (6): 523–543. doi:10.1615/IntJMultCompEng.v7.i6.40.

[1] Cahn, John W.; Hilliard, John E. (February 1958). "Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy". The Journal of Chemical Physics. 28 (2): 258–267. doi:10.1063/1.1744102. ISSN 0021-9606.

[2] Vermolen, F. J.; Gharasoo, M. G.; Zitha, P. L. J.; Bruining, J. (2009). "Numerical Solutions of Some Diffuse Interface Problems: The Cahn–Hilliard Equation and the Model of Thomas and Windle". International Journal for Multiscale Computational Engineering. 7 (6): 523–543. doi:10.1615/IntJMultCompEng.v7.i6.40.

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