구형접점분포함수

확률과 통계에서 수학적인 개체 확률 과정 종종 육체적인 현상 represen의 모델로 사용되는 두개의 종류 점 과정,로 알려진 관계에서 정의된 구면 접촉 분포 함수, 첫번째 접촉 유통 function,[1]또는 빈 공간 function[2]는 수학적 기능이다.테이블시간, 공간 또는 둘 다에서 임의로 배치된 점으로 표시한다.^[1][3]구체적으로는 구면 접촉 분포 함수를 구면 접촉이 처음 발생하거나 점 공정에서 점과 접촉했을 때 구면 반지름의 확률 분포로 정의한다.이 함수는 가장 가까운 인접 함수와 대조될 수 있으며, 점 프로세스의 특정 지점에 대해 동일한 점 프로세스의 가장 가까운 점까지의 거리의 확률 분포로 정의된다.

구면 접촉함수는 접촉분배함수라고도 하지만,^[2] 일부^[1] 저자는 구면 접촉분배함수의 경우처럼 구면만이 아닌 보다 일반적인 집합과 관련하여 접촉분배함수를 정의하기도 한다.

구면 접촉 분포 함수는 생물학, 지질학, 물리학, 통신 등 다양한 과학·공학 분야에 적용되는 확률 기하학^[1] 및 공간 통계학의 관련 분야뿐만 아니라 점 공정^[2][3][4] 연구에도 사용된다.^{[2][5][1][3][6][7]}

점 공정 표기법

점 과정은 몇몇 기초적인 수학 공간에서 정의되는 수학적인 물체들이다.이러한 과정들은 종종 공간, 시간 또는 둘 다에 랜덤하게 흩어져 있는 점들의 집합체를 나타내기 위해 사용되기 때문에, 기초 공간은 보통 ${\displaystyle R^{}}$ d ${\$d}\$displaystyle \textbf{R}^{d}}$에 의해 여기서 가리키는 d차원 유클리드 공간이지만, 그것들은 보다 추상적인 수학적 공간에서 정의될 수 있다$.$^[4]

점 공정은 다양한 점 공정 표기법에 의해 반영되는 여러 해석을 가지고 있다.^[1][7]예를 들어, 점 $x{\displaystyle }$ ${\$이(가) $N{\displaystyle }$ ${\$에 의해 표시된 점 프로세스에$$ 속하거나 해당인 경우,^[1] 다음과 같이 기록할 수 있다$.$

${N}에서 {\displaystyle \textstyle x\in {N}$

무작위 집합으로 해석되는 점 공정을 나타낸다.또는 일부 보렐 세트 $B{\displaystyle }$ ${\$ $\textstyle${$N$$}$에 있는 $N{\displaystyle }$ ${\$$\textstyle$ B$}$의 포인트 수는 다음과 같이 기록되는 경우가$$ 많다.^[1][5][6]

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

점 공정에 대한 랜덤 측정 해석을 반영한다.이 두 가지 개념은 종종 병렬 또는 상호 교환적으로 사용된다.^[1][5][6]

정의들

구형접점분포함수

구면 접촉 분포 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle H_{s}(r)=1-P({N})(b(o,r)=0)).}$

여기서 b(o,r)는 반경 r이 원점 o를 중심으로 하는 공이다.즉, 구면 접촉 분포 함수는 r반경의 하이퍼 sphere에 위치한 점 공정에서 점이 없을 확률이다.

접촉배분함수

구면 접촉 분배 기능은 $R{\displaystyle {}^{}}$ d ${\$ 스타일 $\textstyle$ {\$textbf{R}^{d}}$의 (하이퍼-) vSphere 이외의 세트에 대해 일반화할 수 있다$.$ 일부 보렐 세트 $B{\displaystyle }$ ${\$ B$}$의 경우 양적 볼륨(또는 보다 구체적으로, Lebesgue 측정)을 가진 접촉 분배 함수.${\displaystyle }$$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\$에 대한 ${\displaystyle B}$ ${\$)는$$ 다음 방정식으로 정의된다.^[1]

${\displaystyle H_{B}(r)=P({N}(rB)=0)).}$

예

포아송 점 공정

${\displaystyle {강도}^{}}$ 측정값$$ ${\$$daystyle \textstyle {\textbf {R}^{d}}$의 포아송 점 프로세스 $N{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \textstyle \Lambda}$의 경우 이 값이$$ 된다.

${\displaystyle H_{s}(r)=1-e^{-\Lambda(b(o,r)}}}$

동종 케이스의 경우

${\displaystyle H_{s}(r)=1-e^{-\lambda b(o,r) }}$

여기서 ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle o}$ , ${\displaystyle r}$) $displaystyle \textstyle b(o,r)}}$은 반경 $r{\displaystyle }$ ${\$의 공의 볼륨(또는 더 구체적으로, Lebegue 측정)을 나타낸다$$$.$ 평면 ${\displaystyle R^{\mathrm{}}}$ 2 ${\$이 표현은 단순화된다$.$

${\displaystyle H_{s}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}.}$

다른 기능과의 관계

가장 가까운 이웃 함수

일반적으로 구면 접촉 분포 함수와 그에 상응하는 가장 가까운 인접 함수는 같지 않다.그러나 이 두 함수는 포아송 점 공정에서 동일하다.^[1]실제로 이러한 특성은 포아송 공정의 고유한 특성과 그 팜 분포에 기인하며, 이는 슬리브냐크-메케^[6] 또는 슬리브냐크의 정리라고 알려진 결과의 일부를 형성한다.^[2]

J-기능

구면 분포 함수 H_s(r)와 가장 가까운 인접 함수 D_o(r)가 포아송 점 공정에서 동일하다는 사실은 점 공정 데이터가 포아송 점 공정의 것으로 보이는지 통계적으로 시험하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, 공간 통계에서 J-함수는 모든 r 0 0에 대해 다음과 같이 정의된다.^[1]

${\displaystyle J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}}}$

포아송 점 공정의 경우 J 함수는 단순히 J(r)=1이므로 데이터가 포아송 공정에서 온 것처럼 동작하는지 여부에 대한 비모수 검정으로 사용되는 이유그러나 J(r)=1이 아닌 포아송 포인트 프로세스를 구성하는 것이 가능하다고 생각되지만,^[8] 그러한 백록샘플은 일부에 의해 다소 '인공적'으로 간주되어 다른 통계적 시험에 존재한다.^[9]

보다 일반적으로 J-함수는 점 공정에서 점 사이의 교호작용을 측정하는 한 가지 방법(다른 방법에는 요인 모멘트 측정값 사용^[2] 포함) 역할을 한다.^[1]

참고 항목

• 가장 가까운 이웃 함수
• 요인 모멘트 측정값
• 모멘트 측정

참조