크기 펑터

(M, f)차원 n{\displaystyle n\}와 f{\displaystyle f\}의 M{M\\displaystyle}은 다양체{\displaystyle(M,f)\}사이즈를 한쌍을 감안할 때는 임의의 진정한 연속 함수에 정의되는 ii=0,…, n{\displaystyle i=0,과-th 크기 functor,[1]{\displaystyle 나는}.\ld $ots ,n\ }$ , denoted by $F_{i}\$ , is the functor in $Fun(\mathrm {Rord} ,\mathrm {Ab} )\$ , where $\mathrm {Rord} \$ is the category of ordered real numbers, and $\mathrm {Ab} \$ is the category of아벨 그룹들은 다음과 같은 방법으로 정의된다.For $x\leq y\$ , setting $M_{x}=\{p\in M:f(p)\leq x\}\$ , $M_{y}=\{p\in M:f(p)\leq y\}\$ , $j_{xy}\$ equal to the inclusion from ${\displaystyle M_{x}\$ $}$ in $M_{x}\$ $M_{y}\$ $M_{y}\$ $displaystyle$ M_ ${y$ }\ $}$ $k_{xy}\$ $k_{xy}\$ x $k_{xy}\$ {\ $displaystyle k_{xy}\ }$ 에 대한 $\mathrm {Rord} \$ 형태론( $x\$ o $\mathrm {Rord} \$ $\mathrm {Rord} \$ d $\mathrm {Rord} \$ $displaystyle$ $\$ $mathrm$ ${Rord} \$ $x\$ \}에서 $y\$ y {\ $displaysty$ y\ $y\$ 까지 $x\$ 동일함 $k_{xy}\$ ).

각 $x\in \mathbb {R} \$ $x\in \mathbb {R} \$ $x\in \mathbb {R} \$ $displaystyle x\in \mathb {R} \},$ $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$ $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$ $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$ ) = $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$ $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$ $F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\$ ${\$ 에 대해 $H_{i}(M_{x});\ }$
$F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}).\$

즉, 사이즈 펑터는 하급 집합이 변화함에 따라 호몰로지 계급의 탄생과 사망 과정을 연구한다. $M\$ ${\$ 이 $M\$ $($ 가) 매끄럽고 컴팩트하고 $f\$ f {\ $displaystyle$ f $\}$ 이(가) 모스 함수일 $f\$ 때 펑터 $F_{0}\$ $H_{0}\$ $displaystyle F_{0}\}\}}}$ 은(는) H 0 $displaystystyle H_{0}\}\}$ - $H_{0}\$ tree라고 불리는 방향 트리로 설명할 수 있다 $F_{0}\$ .

크기 펑터의 개념은 크기함수의 개념에 대한 호몰로지 이론과 범주 이론의 확장으로서 도입되었다.The main motivation for introducing the size functor originated by the observation that the size function $\ell _{(M,f)}(x,y)\$ can be seen as the rank of the image of ${\displaystyle H_{0}(j_{xy}):$ $H_{0}(M_{x})\오른쪽$ 화살표 $H_{0}(M_{y$

사이즈 펑터의 개념은 영구적인 호몰로학에서 연구된 지속적인 호몰로학 그룹의 개념과 엄격히 연관되어 있다.^[2] $i\$ ${\$ -th의 $i\$ 집요한 호몰로지 그룹은 동형상 $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ i $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ ( $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ x $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ = $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ ( $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ y $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ ) $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ : $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ ( $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ ) $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ → $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ y $F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})$ ) ${\displaystyle F_{i}(k_{xy}=)$ 의 이미지와 일치한다는 점을 지적할 필요가 있다. $H_{i}(j_{xy}):$ $H_{i}(M_{x})\오른쪽$ 화살표 $H_{i}(M_{y$

참고 항목

참조

^ 프란체스카 칼리아리, 마시모 페리, 파올라 포치, 크기 함수는 범주적 관점에서, 액타 응용단대 수학자, 67:225-235, 2001.
^ Herbert Edelsbrunner, David Letscher, Afra Zomorodian, Topological Persistence and Simplified, 이산 및 계산 기하학, 28(4):511-533, 2002).

[CaFePo01-1] 프란체스카 칼리아리, 마시모 페리, 파올라 포치, 크기 함수는 범주적 관점에서, 액타 응용단대 수학자, 67:225-235, 2001.

[EdLeZo02-2] Herbert Edelsbrunner, David Letscher, Afra Zomorodian, Topological Persistence and Simplified, 이산 및 계산 기하학, 28(4):511-533, 2002).

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