전단

응용수학적 분석에서 전단지는 다변량 문제 등급의 비등방성 특징을 효율적으로 인코딩할 수 있는 다중표 체계다.원래 전단지는 2006년에^[1] f${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$ L ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $){\displaystyle f\in$ L$^{2}(\mathb {R} ^{2})$ 함수 분석 및 희박한 근사치를 위해 도입되었다$.$그것들은 파형의 자연적인 확장인데, 파장은 등방성 물체로서 그러한 현상을 포착할 수 없기 때문에 다변량 함수가 일반적으로 영상의 가장자리 같은 비등방성 기능에 의해 지배된다는 사실을 수용하기 위해서입니다.

전단지는 포물선 스케일링, 셰어링 및 변환을 몇 가지 생성 기능에 적용하여 구성된다.미세한 눈금에서는 길이² ㎥의 폭을 읽는 포물선 스케일링 법칙에 따라 깡마른 방향의 능선 내에서 기본적으로 지지된다.파도와 유사하게, 전단지는 아핀 그룹에서 발생하며 충실한 구현으로 이어지는 연속체와 디지털 상황에 대한 통일된 처리를 허용한다.비록 $그것들$이 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$2 ( R${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ )$${\$displaystyle L$^{2$}(\mathb {$${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$$}$^{2$})$에 대한 정형 기준을 구성하지 않지만$,$ 그들은 ${\displaystyle {여전히\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ L 2 (${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ) ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathb {R} ^{2})$의 임의 함수의 안정적인 확장을 허용하는 프레임을 형성한다$.$

어느 shearlets의 가장 중요한 속성은 능력 특징 기능에 최적으로 희박한 근사치(최적성의[2]의 의미에서)을 제공하기 위해 f{\displaystyle f}. 영상 과학에서, 만화 같은 기능을 이방성 기능에서 모델로도 활동하며 간결하게[0,1]2{\display에서 지원되는을 대접한다.다래끼$le [0,1]^{2}}:$ C$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2}}:$ 닫힌$$ 조각 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ C$^{2}}:$ 경계가 있는 곡률의 특이성$$ 곡선.전단 팽창으로부터 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 가장 큰 계수를 취함으로써 얻은 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ - term$$ shearlet 근사치의 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ N$}$의 붕괴율은 사실 로그 인자까지 최적이다.^[3][4]

${\displaystyle \ f-f_{N}\{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \inflt ,}$

여기서 $상수{\displaystyle }$ C ${\displaystyle$ $C$$}$은(는) $특이점{\displaystyle }$ 곡선의 최대 곡률과 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ f$\},$ f ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$의 최대 크기에만 의존한다$.$ 이 근사율은 최상의 $N{\displaystyle }$ ${\displaystylement$ rate를 유의하게 개선한다$.$이러한 종류의 기능에 $대해$ O${\displaystyle ({}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle O(N^{-1})$만 제공하는 f 웨이블렛.

전단(shearlet)은 비등방성의 근사치를 희박하게 제공하는 동시에 충실한 구현이 가능한 연속체와 디지털 영역에 대한 통일된 처리를 제공하는 유일한 방향 표현 시스템이다.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathb {R}^{d}), d\geq 2}$까지의 전단 시스템 확장도 이용할 수 있다$$.전단지의 이론과 응용에 대한 포괄적인 제시를 다음에서 찾을 수 있다.^[5]

정의

연속 전단계통

연속전단 시스템의 건설은 포물선 스케일링 매트릭스를 기반으로 한다.

${\displaystyle A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{1/2}\end{bmatrix},\quad a>0}$

전단 매트릭스에 대한 분해능 변경의 평균으로

${\displaystyle S_{s}={\begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix},\quad s\in \mathb {R}}}}$

방향을 변경하기 위한 수단으로서, 그리고 마지막으로 위치 변경을 위한 번역에 대해서.In comparison to curvelets, shearlets use shearings instead of rotations, the advantage being that the shear operator ${\displaystyle S_{s}}$ leaves the integer lattice invariant in case ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$, i.e., ${\displaystyle S_{s}\mathbb {Z} ^{2}\subseteq \mathb$$b {Z} ^{2}}$$$ 이것은 실제로 연속체와 디지털 영역에 대한 통일된 처리를 가능하게 하여 충실한 디지털 구현을 보장한다.

$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \psi \in L^2}(\mathb {R} ^{2})$의 경우, { ${\displaystyle \psi$}에 의해 생성된 연속 전단 시스템을 다음으로 정의한다$$.

${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )=\{\psi _{a,s,t}=a^{3/4}\psi (S_{s}A_{a}(\cdot -t))\mid a>0,s\in \mathbb {R} ,t\in \mathbb {R} ^{2}\},}$

그리고 해당 연속 전단 변환은 지도에 의해 주어진다.

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(a,s,t)=\langle f,\psi _{a,s,t}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (a,s,t)\in \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

이산전단 시스템

A discrete version of shearlet systems can be directly obtained from ${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )}$ by discretizing the parameter set ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$ 이를 위한 수많은 접근법이 있지만 가장 인기 있는 접근법은 다음과 같다.

${\displaystyle \{(2^{j},k,A_{2^{j}}^{-1}S_{k}^{-1}m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\}\subseteq \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

이로부터 전단 발생기 ${\displaystyle \psi }$과(와) 관련된 이산 전단계통은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},}$

그리고 관련 이산 전단 변환은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(j,k,m)=\langle f,\psi _{j,k,m}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (j,k,m)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{2}.}$

예

$\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathb {R})}$을(를) 이산 칼데론 조건을 만족하는 함수가 되도록$$ 한다.

${\displaystyle \sum _{j\in \mathb {Z}} {\hatsi } {\psi }{1}(2^{-j}\xi ) ^{2}=1,\quad \xi \in \mathb {R},}$

with ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ and ${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq [-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{16}}]\cup [{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{2}}],}$$$ 여기서 $\psi {\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\${\$hat {\psi }{1}}$는 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ 1.${\displaystyle \psi _{1}}$의 푸리에 변환을 의미한다$$. 예를$$ 들어, ${\displaystyle {one\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$1}를 마이어 웨이브렛으로 선택할$$ 수 있다.Furthermore, let ${\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ be such that ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq [-1,1]}$ and

${\displaystyle \sum _{k\in Z} {\hat {\psi }}{2}(\xi +k) ^{2}=1,\quad \xi \in \mathb {R} .}$

일반적으로 부드러운 범프 기능으로${\displaystyle {\stackrel{}{}chooses}_{\mathrm{}}}$$$^ 2 {\displaystyle {\$hat {\$psi $}}_{2$}}개를 선택한다.그런 다음 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \psi \in L^2}(\mathb {R} ^{2})$에서 다음을 제공함

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}$

고전적인 전단이라고 불린다.해당 이산형 전단계통 ${\displaystyle \mathrm{SH}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$ ) ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$이(가) 대역제한 함수로 구성된$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaysty L^{2}(\mathb {R} ^{2})$에 대한 파르세발 프레임을 구성한다는$$ 것을 알 수 있다.^[5]

또 다른 예는 간결하게는 SH(ψ){\displaystyle \operatorname{SH}(\psi)⁡ 그래서}나는 2(미국의 2){\displaystyle L^{2}(\mathbb{R}^{2})에 대한 골격을 형성하는 간결하게 지원되는 기능 ψ ∈ L2(미국의 2){\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb{R}^{2})}선택할 수 있shearlet 시스템,}을 받고 있다.[4][6][7][8]이 경우 ${\displaystyle \mathrm{SH}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$ ) ${\displaystyle \operatorname {SH}(\psi )}$의 모든 전단 요소들은 대역제한적인 고전 전단지에 비해 우수한 공간적 위치추적 기능을 제공하는 압축적으로 지원된다$$.압축적으로 지원되는 전단계통이 일반적으로 파르세발 프레임을 형성하지는 않지만, 프레임 속성으로 인해 어떤 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathb {R} ^{2})$도 전단팽창으로 나타낼 수 있다$$.

원뿔 부착 전단

위에서 정의한 전단지의 한 가지 단점은 큰 전단 매개변수와 관련된 전단 요소들의 방향 편향이다.$이{\displaystyle {}_{}}$ 효과는 ${\displaystyle {shear\mathrm{}}_{}}$ 2{\$displaystyle \xi$ $_$${2$} 축을$$ 따라$$ 점점 정렬되는 고전적 전단지의 주파수 타일링(섹션 #$예시$ 참조)에서 이미 알아볼 수 있다$.$이는 $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$-축$$ 주위에 푸리에 변환이 집중된 함수를 분석할 때 심각한 문제를 야기한다.

이 문제를 해결하기 위해 주파수 영역은 저주파 부분과 원뿔 영역 두 개로 나뉜다(그림 참조):

${\displaystyle{\begin{정렬}{{R\mathcal}}&=\left\{(\xi_{1},\xi_{2})\in \mathbb{R}^{2}\mid \xi _{1},\xi _{2}\leq 1\right\},\\{{C\mathcal}}_{\mathrm{h}}&=\left\{(\xi_{1},\xi_{2})\in \mathbb{R}^{2}\mid \xi _{2}/\xi _{1}\leq 1,\xi _{1}>1\right\},\\{{C\mathcal}}_{\mathrm{v}}&=\left\{(\xi_{1},\xi_{2})\in \mathbb.{R}^{2}\mid\xi _{1}/\xi _{2} \leq 1, \xi _{2} >1\right\}.\end{정렬}}}$

관련 원뿔 부착 이산 전단계통은 이들 주파수 영역 중 하나에 해당하는 세 부분으로 구성된다.It is generated by three functions ${\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ and a lattice sampling factor ${\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}$

${\displaystyle \operatorname {SH}(\phi ,\psi ,{\tilde {\psi };c)=\Phi;c_{1}\컵 \PSI(\psi ;c)\컵 {\tilde{\psi }}}$

어디에

${\displaystyle{\begin{정렬}\Phi(\phi,{1}c_)&, =\{\phi_{m}=\phi(\cdot{}-c_{1}m)\midm\in\mathbb{Z}^{2}\},\\\Psi(\psi, 요리)&, =\{\psi_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi(S_{k}A_{2^{j}}\cdot{}-M_{c}m)\mid j\geq 0, km그리고 4.9초 만 \leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb{Z}^{2}\},\\{\tilde{\Psi}}({\tilde{\psi}};요리)&, =\{{\tilde{\psi}}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi.({\tilde{S}}}}{{k}{\tilde{A}}{2^{j}}}\cdot {}-{{\tilde{M}_{c}m)\mid j\geq 0, k \leq \lceil 2^{j/2}\rceil,m\in \mathb {Z}^{2}\}}}}},\ned{{{{{{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\tilde{A}}_{를}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&, 0\\0&, a\end{bmatrix}},\, a>, 0,\quad{\tilde{S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&, 0\\s&, 1\end{bmatrix}},\, s\in\mathbb{R},\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&, 0\\0&, c_{2}\end{bmatrix}},\quad{\text{과}}\quad{\tilde{M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&, 0\\0&, c_.{1}\end{bmatrix}}.\end{정렬}}}$

The systems ${\displaystyle \Psi (\psi )}$ and ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}$ basically differ in the reversed roles of ${\displaystyle x_{1}}$ and ${\displaystyle x_{2}}$. Thus, they correspond to the conic regions ${\displaystyle {\ma$$thcal {{C}_{\mathrm{h}}}}$과(와) $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{\mathrm{}}}$ ${\$ 각각$.$마지막으로 스케일링 함수 ${\displaystyle \pi }$은(는) 저주파 부분 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) 연관된다$.$

적용들

• 이미지 처리 및 컴퓨터 과학^[5]
  • 데노이즈
  • 역문제
  • 이미지 향상
  • 에지 검출
  • 인페인팅
  • 이미지 분리
• PDEs^[5]
  • 파동전면 세트 분해능
  • 운송 방정식
• Coorbit 이론, 평활도^[5] 공간의 특성화
• 디퍼렌셜 형상: 매니폴드 학습

일반화 및 확장

• 3D-쉘트
• ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ -Sharlets$$
• 포물선 분자
• 원통형 전단

참고 항목

• 웨이브릿 변환
• 커브릿
• 등고선 변환
• 밴들렛 변환
• 처플릿 변환
• 노이즈릿 변환

참조

외부 링크

• 기타 쿠티니옥 홈페이지
• 데메트리오 라바테의 홈페이지