커브릿

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곡선은 다중 척도 객체 표현을 위한 비적응적 기법이다.웨이블렛 개념의 연장선상에서, 그것들은 유사한 분야, 즉 이미지 처리와 과학 컴퓨팅 분야에서 인기를 얻고 있다.

Wavelet은 위치와 공간 주파수를 모두 나타내는 기준을 사용하여 푸리에 변환을 일반화한다.2D 또는 3D 신호의 경우 방향 파장 변환은 방향으로도 국부화된 기본 기능을 사용하여 더 멀리 이동한다.곡선 변환은 방향의 국소화 정도가 규모에 따라 달라진다는 점에서 다른 방향 파장 변환과 다르다.특히 미세스케일 베이스 기능은 긴 능선이며, 스케일$$ ${\displaystyle j^{}}$에서 기본함수의 형상은 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$j ${\$ 2$^{-j}$ x $2$ -${\displaystyle j^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$이므로 미세스케일 베이스는 정밀하게 결정된 방향의 스키니 능선이다.

곡선은 부드러운 곡선을 따라 특이점으로부터 매끄럽게 떨어져 있는 영상(또는 다른 기능)을 나타내기 위한 적절한 기초로서, 곡선은 경계 곡면성을 가지고 있으며, 즉 영상의 물체가 최소 길이 척도를 가지고 있는 곳이다.이 재산은 만화, 기하학적 도표, 그리고 텍스트를 위한 것이다.그러한 이미지들을 확대하면, 그들이 포함하는 가장자리는 점점 더 곧게 나타난다.곡선은 높은 분해능 곡선을 낮은 분해능 곡선보다 긴 값으로 정의함으로써 이 특성을 이용한다.그러나, 자연 이미지(사진)는 이 속성을 가지고 있지 않다; 그들은 모든 스케일에 상세함을 가지고 있다.따라서 자연 영상의 경우 모든 스케일에 동일한 가로 세로 비율을 갖는 일종의 방향 파장 변환을 사용하는 것이 바람직하다.

영상이 올바른 유형인 경우, 곡선은 다른 웨이브릿 변환보다 상당히 빠른 표현을 제공한다.$이$는 n ${\displaystyle n}$개의$$ 웨이브만 사용하여 나타낼 수 있는 기하학적 테스트 영상의 최상의 근사치를 고려하고 근사 $오차$를 n$${\$displaystyle$n}의 함수로 분석하여 정량화할 수 있다$.$ 푸리에 변환의 경우 제곱 $오차$는 O${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle n\sqrt{}}$) ${\displaystyle$ O$(1)로만$ 감소한다.$/{\sqrt{n$ 방향 및 비방향 변형을 모두 포함한 다양한 파장 변환의 경우 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$/ $){\displaystyle$ O $(1/n)}$에 따라 제곱 오차가 감소한다$.$커브릿 변환의 기초가 되는 추가적인 가정은 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$( ( ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ )${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ / ${\displaystyle n{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displaystyle O({(\log$ n$)}^{3}/{n^{$n^{$2}})}$.

이산형 데이터의 곡선 변환을 계산하기 위한 효율적인 수치 알고리즘이 존재한다.커브릿 변환의 계산 비용은 FFT의 약 10~20배이며, $크기{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\$$displaystyle O(n$^{$2}\log n)$의 영상에 대해$$ $O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ $){\$$displaystyle n\times$ n$}$의존도가 동일하다$.$

커브레 시공

기본 곡선 ${\displaystyle \phi }$을(를) 구성하고$$ 2-D 주파수 공간을 타일링하려면 다음 두 가지 주요 아이디어를 따라야 한다.

1. 주파수 영역의 극좌표 고려
2. 웨지 근방에 로컬로 지원되는 원곡선 요소 생성

웨지 ${\displaystyle {수}_{}}$는 ${\displaystyle 2^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$j$$=${\displaystyle {}_{}4}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\lceil }^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ⌉ 2 ${\displaystyle {\rceil }^{}}$ ${\$ 2$^{\lceil{\frac{j}}}}\$lceil {\frac{2}}\$right\rceil$ $\}\}\}\}\}\}.$ 즉, 각 두 번째 원형 링에서$$ 두 배가 된다.

$let{\displaystyle \mathit{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ( ${\displaystyle {\xi {}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$,${\displaystyle {{}_{}{\xi \mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{{}_{}}}$) T ${\${\$boldsymbol${\$xi }}=\왼쪽(\xi _{1},\xi _{2}\오른쪽)^$${T}}$ be the variable in frequency domain, and ${\displaystyle r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}},\omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}}$ be the polar coordinates in the frequency domain.

극좌표에서 확장된 기본 곡선에 안사츠를 사용한다.
${\displaystyle {\hat{\hat{\j,0,0}:=2^{\frac{-3j}{4}{4}W(2^{j}r){V}}}{{{N_{j}}}}}(\omega }),r\geq 0,\omega \in [0}$

″basic 쐐기풀 근처에 콤팩트하게 지지되는 기본 곡선을 구성하려면 두 $개$의 창 W ${\displaystyle W}$ 및 $V$ ~ ${\displaystyle N_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\$이(가) 콤팩트하게 지지되어야 한다$$.Here, we can simply take ${\displaystyle W(r)}$ to cover ${\displaystyle (0,\infty )}$with dilated curvelets and ${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$ such that each circular ring is covered by the translations of ${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$ .

그러면 능력이 생긴다.
${\displaystyle \sum _{j=-\inflt }^{\inflt W(2^{-j}r)\right ^{2}=1,r\in(0,\inflt)}$_{자세한 내용은 창 기능을 참조하십시오.}

For tiling a circular ring into ${\displaystyle N}$ wedges, where ${\displaystyle N}$ is an arbitrary positive integer, we need a ${\displaystyle 2\pi }$-periodic nonnegative window ${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$ with support inside ${\displaystyle \left[{$$\frac {-2\pi }{N},{\frac {2\pi }{N}\right$$]}.$
${\displaystyle \sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1}$, for all ${\displaystyle \omega \in \left[0,2\pi \right)}$
${\displaystyle {\stackrel{}{V}}_{}}$~ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$${$$N}}$은(는) 스케일링 윈도우 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle (N\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$$$$){\displaystyle V({\frac {N\omega }{2\pi$}})의 주기$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$로 간단하게 구성할$$ 수 있다$.$

그러자 그 뒤를 잇는다.
${\displaystyle \sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left 2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right ^{2}=\left W(2^{-j}r)\right ^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left W(2^{-j}r)\right ^{2}}$

0 주위의 영역을 포함한 주파수 평면을 완전히 덮으려면 로우패스 요소를 정의해야 한다.
${\displaystyle {\hat {\\phi }}_{-1}:$$=W_$${0}(\좌측 \xi \우측 )}$
${\displaystyle W_{0}^{2}^{2}^1-\sum _{j=0}^{\inflt }W(2^{-j}r)^{2}}$
유닛 서클에서 지지되며, 회전을 고려하지 않는 경우.

적용들

• 이미지 처리
• 지진 탐사
• 유체 역학
• PDE 해결
• 압축 감지

참고 항목

• 전단 변환
• 밴들렛 변환
• 등고선 변환
• 프레즐릿 변환
• 처플릿 변환
• 노이즈릿 변환
• 축척 공간

참조

• E. 칸데스와 D.도노호, "커브릿지 – 가장자리가 있는 물체에 대해 놀라울 정도로 효과적인 비적응적 표현"인: A. 코헨, C. 라부트, L.슈마커, 편집자, 커브 및 표면 피팅: 생-말로 1999, 밴더빌트 대학교 출판부, 내슈빌(2000), 페이지 105–120.
• 패턴인식연구(JPRR), Vol 2. (1) 2007 페이지 17-26의 디지털 커브릿 변환 저널을 이용한 Majumdar Angshul Bangla 기본 문자 인식
• 에마뉘엘 캔디스, 로랑 드마넷, 데이비드 도노호, 렉싱잉잉 패스트 이산 커브릿 변환
• 지안웨이 마, 게린드 플론카, 커브릿 변환: IEEE 신호 처리 매거진, 2010, 27(2), 118-133.
• 장 뤼크 스타크, 에마뉘엘 J. 칸데스, 데이비드 L.도노호, 이미지 디노잉을 위한 커브릿 변환: 이미지 처리에 관한 IEEE 거래, 제11권, 제6호, 2002년 6월

외부 링크

• Curvelet.org 홈페이지