시퀀스 변환

수학에서 시퀀스 변환은 주어진 시퀀스 공간(시퀀스 공간)에 작용하는 연산자를 말한다.시퀀스 변환은 다른 시퀀스와의 콘볼루션과 같은 선형 매핑을 포함하며, 시퀀스의 재개와 보다 일반적으로 직렬 가속, 즉 서서히 수렴되는 시퀀스나 시리즈의 수렴 속도를 개선하기 위해 사용된다.시퀀스 변환은 다이버전트 계열의 반틸리밋을 숫자로 계산하는 데도 일반적으로 사용되며, 외삽 방법과 함께 사용된다.

개요

시퀀스 변환의 고전적인 예로는 이항 변환, 뫼비우스 변환, 스털링 변환 등이 있다.

정의들

주어진 순서에 따라

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathb {N}},\,}$

변형된 순서는

${\displaystyle \mathbf {T}(S)=\{s'_{n}\}_{n\in \mathb {N}},\,}$

여기서 변환된 시퀀스의 구성원은 대개 원래 시퀀스의 일부 제한된 수의 구성원으로 계산된다.

${\displaystyle s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots,s_{n+k}}}}$

종종$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}($예: 이항 변환)에 의존하는 일부 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 경우.가장 간단한 경우 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$와 $s{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$′ ${\$ s$'_{n}$는 실제$$ 또는 복잡한 숫자다.보다 일반적으로, 그것들은 어떤 벡터 공간이나 대수학의 요소일 수 있다.

수렴의 가속의 맥락에서, 변환된 수열은 다음과 같은 경우에 원래의 수열보다 더 빨리 수렴한다고 한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \flt }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-{n}-\ell }{s_{n}-\}}}=0}$

여기서 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$은(는) 수렴으로 가정된 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 제한이다$.$이 경우 수렴 가속을 얻는다.원래 시퀀스가 다른 경우 시퀀스 변환은 앤틸리밋 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$에 대한 외삽법으로 작용한다$.$

매핑 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 각 인수에 선형인 경우$$(예:

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m}}}}$

${\displaystyle {}_{}}$ 상수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle c_{}}$ ${\$n에 따라 다를 수 있음)의 경우 시퀀스 변환 T ${\$를) 선형 시퀀스 변환이라고 한다.선형이 아닌 시퀀스 변환을 비선형 시퀀스 변환이라고 한다.

예

(선형) 시퀀스 변환의 가장 간단한 예로는 $모든{\displaystyle {}_{}^{}}$ 원소의 이동을 들 수 있다. s ${\displaystyle n_{}^{}{s}_{}}$= s${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$resp).= 고정 k의 경우 0 + k < 0이면 0이고, 시퀀스의 스칼라 곱하면 0이다.

덜 사소한 예로는 고정된 순서를 가진 이산적인 경련일 것이다.특히 기본적인 형태는 차이 연산자로, 시퀀스$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle(-1,0,\ldots$ ))와$$함께 경합되며, 파생상품과 별개의 유사점이다.이항 변환은 여전히 더 일반적인 유형의 또 다른 선형 변환이다.

비선형 시퀀스 변환의 예로는 천천히 수렴되는 시퀀스의 수렴 속도를 개선하기 위해 사용되는 아이켄의 델타 제곱 공정이 있다.이것의 확장된 형태는 Shanks 변환이다.뫼비우스 변환은 또한 비선형 변환이며 정수 시퀀스에 대해서만 가능하다.

참고 항목

• 아이트켄의 델타 제곱 공정
• 최소 다항식 외삽법
• 리처드슨 외삽
• 직렬 가속
• 스테펜센의 방법

참조

• Hugh J. Hamilton, "Mertens's Organization and Sequence Transformation", AMS (1947)

외부 링크

• 온라인 정수 순서 백과사전 하위 페이지인 정수 시퀀스의 변환