샨크스 변환

수치해석에서는 샨크스 변환은 수열의 수렴 속도를 높이기 위한 비선형 직렬 가속법이다.이 방법은 1955년 이 시퀀스 변형을 재발견한 다니엘 샨크스의 이름을 딴 것이다.그것은 R에 의해 처음 파생되고 출판되었다.1941년 ^[1]슈미트

공식화

시퀀스${\displaystyle {}_{}}${${\displaystyle {m_{}}_{}}$} ${\displaystyle {m\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 경우 시리즈$$

${\displaystyle A=\sum _{m=0}^{\\\\}$

결정된다.먼저 부분 합계 ${\displaystyle {An}_{}}$ ${\$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle A_{n}=\sum _{m=0}^{n}a_{m}\,}$

${\displaystyle {그리고\mathbb{}}_{}}$ 새로운 시퀀스${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$$A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Provided the series converges, ${\displaystyle A_{n}}$ will also approach the limit ${\displaystyle A}$ as ${\displaystyle n\to \infty .}$ The Shanks transformation ${\displaystyle S(A_{n})}$ of the sequence ${\displaystyle A_{n}}$ is the new에^[2][3] 의해 정의된 순서

${\displaystyle S(A_{n}={\frac {A_{n+1}\,A_{n-1}\,-\,-,A_{n}^{2}}{A_{n+1}-2A_{n}+A_{n-1}=A_{n+1}-{n1}-{n}-{\frac {(A_{n+1}-A_{n})^{2}}:{{{n+1}-A_{n}-(A_{n}-A_{n-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:}$

where this sequence ${\displaystyle S(A_{n})}$ often converges more rapidly than the sequence ${\displaystyle A_{n}.}$ Further speed-up may be obtained by repeated use of the Shanks transformation, by computing ${\displaystyle S^{2}(A_{n})=S(S(A_{n})),}$ ${\displaystyle S^{}}$$3$( ${\displaystyle A_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle {}_{}}$( A (${\displaystyle {}_{}{A}_{}}$n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) )$$, {\$displaystyle S^{3}(A_{n})=S(S(A_{$n}), 등$$$}$

Note that the non-linear transformation as used in the Shanks transformation is essentially the same as used in Aitken's delta-squared process so that as with Aitken's method, the right-most expression in ${\displaystyle S(A_{n})}$'s definition (i.e. ${\displaystyle S(A_n)=A_{n+1}-\frac{(A_{n+1}-A_n{)}^2}{(A_n}}$${\$$=A_{n+1}-{\frac {(A_{n+1}-A_{n})^{2}}{(A_{n+1}-A_{n})-(A_{n}-A_{n-1})}}}$) is more numerically stable than the expression to its left (i.e. ${\displaystyle S(A_{n})={\frac {A_{n+1}\,$$A_$${n-1}\,-\,-,A_{n}^{2}}{A_{n+1}-2$$A_{n}+A_{n-1}}.$아이트켄의 방법과 샨크스 변환 모두 시퀀스로 작동하지만, 샨크스 변환이 작동하는 시퀀스는 대개 부분 합계 시퀀스로 볼 수 있지만, 대개 부분 합계 시퀀스로 간주된다.

예

예를 들어, 천천히 수렴되는 열을^[3] 고려하십시오.

${\displaystyle 4\sum _{k=0}^{\inflit }{1}-{2k+1}{{1}{1}{3}}}{\frac {1}{5}-{7}+\cdots \right}{\frac {1}$

정확한 합계가 3.14159265이다.부분 합계 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 한 자릿수 정확도에 불과하지만$$, 6자리의 정확도는 약 40만 개의 용어를 합해야 한다.

In the table below, the partial sums ${\displaystyle A_{n}}$, the Shanks transformation ${\displaystyle S(A_{n})}$ on them, as well as the repeated Shanks transformations ${\displaystyle S^{2}(A_{n})}$ and ${\displaystyle S^{3}(A_{n})}$ are given for ${\dis$12까지$$ 플레이 $스타일 n}$오른쪽 그림은 부분합과 샨크 변환 결과에 대한 절대 오차를 나타내며, 정확도와 수렴율의 향상을 명확히 보여준다.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle A_{n}}$	${\displaystyle S(A_{n}})}$	${\displaystyle S^{2}(A_{n})}$	${\displaystyle S^{3}(A_{n})}$
0	4.00000000	—	—	—
1	2.66666667	3.16666667	—	—
2	3.46666667	3.13333333	3.14210526	—
3	2.89523810	3.14523810	3.14145022	3.14159936
4	3.33968254	3.13968254	3.14164332	3.14159086
5	2.97604618	3.14271284	3.14157129	3.14159323
6	3.28373848	3.14088134	3.14160284	3.14159244
7	3.01707182	3.14207182	3.14158732	3.14159274
8	3.25236593	3.14125482	3.14159566	3.14159261
9	3.04183962	3.14183962	3.14159086	3.14159267
10	3.23231581	3.14140672	3.14159377	3.14159264
11	3.05840277	3.14173610	3.14159192	3.14159266
12	3.21840277	3.14147969	3.14159314	3.14159265

The Shanks transformation ${\displaystyle S(A_{1})}$ already has two-digit accuracy, while the original partial sums only establish the same accuracy at ${\displaystyle A_{24}.}$ Remarkably, ${\displaystyle S^{3}(A_{3})}$ has six digits accuracy, obtained from repeated Shank transformat처음 7개 $용어{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{},}$ …, ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 6${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle A_{0},\ldots, A_{$6}}}에 적용된 이온은 앞에서 말한 바와 같이$$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 약 40만 개의 용어를 합한 후에야$$ 6자리 정확도를 얻는다.

동기

Shanks 변환은 - 더 $큰{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$n}$$의 경우 부분 ${\displaystyle {합계}_{}}$ A n$${\$displaystyle A_{n}$은(는) 거의$$ 다음과^[2] 같이 동작한다는 관측에 의해 동기 부여된다.

${\displaystyle A_{n}=A+\알파 q^{n},\,}$

< $[\displaystyle$ $q$$<$1}을$($를$)$ 사용하여 시퀀스가 $일시적$으로 영상 시리즈 $결과{\displaystyle }$ A에$$ 수렴되도록 함.$$n →$displaystyle$ n$\\to \inft.}$ 따라서$$ $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n-1$$,},$ $n$ ${\displaystystyle$ $n$$+1}$의 경우$$각 부분$$ 합은 다음과 같다.

${\displaystyle A_{n-1}=A+\alpha q^{n-1}\quad,\qquad A_{n}=A+\alpha q^{n}\qquad {\text{and}\qquad A_{n+1}=A+\alpha q^{n+1}.$

이 세 방정식은 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ A$,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $q{\displaystyle .}$ ${\displaystyle q.}$$A$에 대한 해결$$ 방법 ${\displaystystyle A}$이^[2](가) 제공하는 세 가지 미지수를 포함한다.

${\displaystyle A={\frac {A_{n+1}\,A_{n-1}\,-\,-,A_{n}^{2}}{A_{n+1}-2A_{n}+A_{n-1}.}$

분모가 0인 (예외)의 경우: $모든{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$ n$.}$에 대해 A${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$= A {\$displaystyle A_{n}=A}$

일반화 샨크 변환

일반화된 kth-order Shanks 변환은 다음과 같은 결정요인의 비율로 주어진다.^[4]

${\displaystyle S_{km그리고 4.9초 만}(A_{n})={\frac{\begin{vmatrix}A_{n-k}&, \cdots &.A_{n-1}&.A_{n}\\\Delta A_{n-k}&, \cdots &.\Delta A_{n-1}&.\Delta A_{n}\\\Delta A_{n-k+1}&, \cdots &.\Delta A_{n}&.\Delta A_{n+1}\\\vdots,&\vdots, \vdots \\\Delta A_{n-1}& &, \cdots &, &.\Delta A_{n+k-2}&.\Delta A_{n+k-1}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&, \cdots &, 1&, 1\\\Delta A_{n-k}&, \cdots &amp을 말한다.\Delta A_{n-1}&\Delta A_{n}\\\Delta A_{n-k+1}&\cdots &\Delta A_{n}&\Delta A_{n+1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\\Delta A_{n-1}&\cdots &\Delta A_{n+k-2}&\Delta A_{n+k-1}\\\end{vmatrix}}},}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= A ${\displaystyle p_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle A_{}}$. ${\displaystyle \Delta A_{p}=A_{p+1}-A_{p}.$$}$ k ${\$$displaystyle$ k$}$별$$ $과도현상$을 갖는 부분합 $An$ ${\$displaystyle $A_$${n}$의 수렴 거동에 대한 모델의 솔루션$$:

${\displaystyle A_{n}=A+\sum _{p=1}^{k}\알파 _{p}q_{p}^{n}.}$

수렴 동작에 대한 이 모델에는 알 수 없는$$ ${\displaystyle \mathrm{2k}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2k+1$}이$($가) 포함되어 있다.$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle k_{}}${$n-k},A_{n-k+1},\ldots,A_{n-k+k}$ 요소에서 위의 방정식을 $평가$하고, A${\displaystyle }$,$${\$displaystyle$A}에 대해 해결함으로써 k번째 순서 샹크 변환에 대한 위의$$ 식을 구한다$.$1차 일반화된 Shanks 변환은 $일반{\displaystyle {}_{}}$ Shanks 변환 S ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle S_{1}(A_{n})=S(A_{n})$와 동일하다.$}$

일반화된 샨크스 변환은 파데 근사치 및 파데 표와 밀접한 관련이 있다.^[4]

참고: 결정요인의 계산은 많은 산술 연산을 요구하지만, Peter Wynn은 결정요인의 계산을 회피하는 엡실론-알고리즘이라는 재귀적 평가 절차를 발견했다.

참고 항목

• 아이트켄의 델타 제곱 공정
• 앤더슨 가속
• 수렴율
• 리처드슨 외삽
• 시퀀스 변환

메모들

참조

• Shanks, D. (1955), "Non-linear transformation of divergent and slowly convergent sequences", Journal of Mathematics and Physics, 34: 1–42, doi:10.1002/sapm19553411
• Schmidt, R. (1941), "On the numerical solution of linear simultaneous equations by an iterative method", Philosophical Magazine, 32: 369–383
• Van Dyke, M.D. (1975), Perturbation methods in fluid mechanics (annotated ed.), Parabolic Press, ISBN 0-915760-01-0
• Bender, C.M.; Orszag, S.A. (1999), Advanced mathematical methods for scientists and engineers, Springer, ISBN 0-387-98931-5
• Weniger, E.J. (1989). "Nonlinear sequence transformations for the acceleration of convergence and the summation of divergent series". Computer Physics Reports. 10 (5–6): 189–371. arXiv:math.NA/0306302. Bibcode:1989CoPhR..10..189W. doi:10.1016/0167-7977(89)90011-7.
• Brezinski, C.; Redivo-Zaglia, M.; Saad, Y. (2018), "Shanks sequence transformations and Anderson acceleration", SIAM Review, 60 (3): 646–669, doi:10.1137/17M1120725
• Senhadji, M.N. (2001), "On condition numbers of the Shanks transformation", J. Comput. Appl. Math., 135: 41–61
• Wynn, P. (1962), "Acceleration techniques for iterated vector and matrix problems", Math. Comp., 16: 301–322