산란 길이

양자역학의 산란 길이는 저에너지 산란을 설명한다. $1/r^{3}$ $r\to \infty$ / r $1/r^{3}$ ${\$ 1 $/r^{3}$ 보다 $1/r^{3}$ 빠르게 부패하는 전위( $r\to \infty$ → r → r $r\to \infty$ → $r\to \infty$ \ $displaystyle$ r\ $to \inflt$ })의 경우 다음과 같은 저에너지 한계로 정의된다 $1/r^{3}$

\lim _{k\to 0}k\properties \cHB(k)=-{\frac {1}{a}\;,

$a$ 서 $a$ 은 $a$ 산란 길이, k $k$ 은 $k$ 파형 번호, $\delta (k)$ ) ${\displaystyle$ \ $\(k)}$ 은 $\delta (k)$ 나가는 구형파의 위상 변화다.낮은 에너지에서 탄성 단면인 $\sigma _{e}$ e ${\$ 는 산란 길이에 의해서만 결정된다.

\lim _{k\to 0}\pima _{e}=4\pi a^{2}\;.

일반개념

느린 입자가 짧은 원거리 산란자(예: 고체 또는 무거운 입자의 불순물)를 흩어낼 때, 디 브로글리 파장은 매우 길기 때문에 물체의 구조를 해결할 수 없다.그 아이디어는 그렇다면 어떤 정밀한 $V(r)$ V ( $){\displaystyle V(r)}$ 가 $V(r)$ 분산되는지가 중요한 것이 아니라, 잠재력이 긴 길이에서 어떻게 보이는지가 중요하다.이 문제를 해결하는 공식적인 방법은 부분파 확장(고전파 전기역학에서 멀티폴 팽창과 유사한 것)을 하는 것이다. 여기서 나가는 파동의 각운동성분에서 팽창한다.매우 낮은 에너지에서 들어오는 입자는 어떤 구조도 보지 못하므로 가장 낮은 순서로 각운동량 양자수 l=0에서 원자 궤도와 유사하게 s파라고 불리는 구형파만 가지고 있다.높은 에너지에서는 p와 d파(l=1,2) 산란 등을 고려할 필요가 있다.

몇 가지 매개 변수와 대칭의 관점에서 낮은 에너지 성질을 기술한다는 발상은 매우 강력하며, 또한 재호르몬화 개념의 배후에 있다.

산란 길이의 개념은 $r\to \infty$ → $1/r^{3}$ $r\to \infty$ $r\to \infit }$ 에 $1/r^{3}$ 따라 $1/r^{3}$ / $1/r^{3}$ 3 ${\$ r\to \infit }보다 느린 붕괴 전위로도 확장될 수 있다 $r\to \infty$ 프로토온-프로톤 산란과 관련된 유명한 예는 쿨롱-수정 산란 길이이다.

예

주어진 전위에 대한 s파(즉, 각운동량 $l=0$ = $l=0$ ${\displaystyle l=0$ ) 산란 길이를 계산하는 방법에 대한 예로서, r $r_{0}$ $r_{0}$ 0 ${\$ 의 무한히 반발하는 구형 전위를 3차원으로 $r_{0}$ 살펴본다.우물 외부의 방사형 슈뢰딩거 방정식( $l=0$ = $l=0$ ${\displaystyle l=0$ )은 자유 입자의 경우와 동일하다.

-{\frac {\hbar ^{2}}:{2m}u"(r)=Eu(r),

하드 코어 전위는 파형 함수 $u(r)$ ) $u(r)$ 이(가) $r=r_{0}$ = r $r=r_{0}$ ${\$ $u(r_{0})=0$ r 0 $u(r_{0})=0$ = $u(r_{0})=0$ ${\displaystystyle u(r_{0}=0$ }=0 $})$ 에서 사라져야 $u(r)$ 함수를 쉽게 찾을 수 있다 $u(r_{0})=0$

{\displaystyle u(r)=

A\sin(kr+\delta _{s

Here $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ and $\delta _{s}=-k\cdot r_{0}$ is the s-wave phase shift (the phase difference between incoming and outgoing wave), which is fixed by the boundary condition $u(r_{0})=0$ ; ${\displaysty$ $le$ A $}$ 은 $A$ (는) 임의의 정규화 상수다.

작은 k ${\displaystyle k}($ 즉, 낮은 에너지 산란)에 $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ 대해 일반적으로 $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ ( $k$ ) - $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ a $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ + $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ 2 $\delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})$ ) $\delta _{s}\cdot a_{s}+O(k^{2})}$ 을(으)로 나타낼 수 있다.치수 길이의 매개 $a_{s}$ $a_{s}$ a {\ $displaystyle a_{$ s}는 산란 길이로 정의된다.따라서 우리의 잠재력을 위해 $a=r_{0}$ 는 a $a=r_{0}$ = $a=r_{0}$ $a=r_{0}$ ${\$ 즉 하드 구체의 산란 길이는 단지 반지름일 뿐이다.(대체로 s파 산란 길이를 가진 임의의 $a_{s}$ 는 $a_{s}$ ${\$ 라의 하드 구체와 동일한 낮은 에너지 산란 특성을 가지고 있다고 $a_{s}$ 말할 수 있다. $a_{s}$ $a_{s}$ ${\$ 산란 길이를 산란 실험에서 측정할 수 있는 물리적 관측 가능성과 관련시키려면 단면 ${\displaystyle \sigma$ $\sigma$ 을 계산해야 한다. 산란 이론에서 점증파 함수는 다음과 같이 기록한다(원점에 유한한 범위 산란자가 있다고 가정하고 th).ere는 $z$ $z$ - 축을 $z$ 따라 들어오는 평면 파형이다.

\cHB(r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}{r}}}}

$f$ 서 f $f$ 은 $f$ 산란 진폭이다.양자역학의 확률 해석에 따라 $d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}$ $d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}$ / d $d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}$ = f ( $d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}$ ) $d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}$ {\ $displaystyle$ d\ $sigma /d\Oomega$ = $f(\theta ) ^{$ 2}}( $d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}$ $\mathbf {k}$ 시간 당 k $\mathbf {k}$ {\ $displaystyle \mathbf {k}}$ 방향으로 산란할 확률). $\mathbf {k}$ s파 산란만 고려한다면, 차동 단면은 각도 ${\displaystyle \theta$ } $\theta$ 에 의존하지 않으며, 총 산란 단면은 $\sigma =4\pi |f|^{2}$ = $\sigma =4\pi |f|^{2}$ $\sigma =4\pi |f|^{2}$ f $\sigma =4\pi |f|^{2}$ ${\$ f $2}}.$ 파동함수 $\psi (r,\theta )$ ( $\psi (r,\theta )$ , $){\displaystyle \psi (r,\theta )}$ 의 $\psi (r,\theta )$ s파 부분은 구형파 및 범례 다항식 $P_{l}(\cos \theta )$ l $P_{l}(\cos \theta )$ ( $P_{l}(\cos \theta )$ $P_{l}(\cos \theta )$ $){\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$ : :

e^{ikz}\cHB {1}{2ikr}\sum _{l=0}^{\fl+1)P_{l}(\cos \theta )\왼쪽[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}

$l=0$ = $l=0$ $l=0$ $\psi (r,\theta )$ $\psi (r,\theta )$ , $\psi (r,\theta )$ $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ $\psi (r,\theta )$ ) $\psi (r,\theta )$ 의 성분을 $l=0$ s파 솔루션 $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ ( $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ ) $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ = $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ ( $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ + $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ ) $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ / $\psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r$ ${\displaysty \psi$ ( $r)=$ 에 일치시킴으로써 $\psi (r,\theta )$ $A\sin(kr+\delta _{s}/r}($ 수신파 $e^{ikz}$ $e^{ikz}$ $e^{ikz}$ ${\$ e $^{ikz}})$ 은(수신파 e k $z$ {\ $displaystyle$ e^{ikz})가 통합의 사전 요소를 갖도록 $A$ $e^{ikz}$ A {\displaystystysty A $}$ 을 정규화한다.

f={\frac{1}{2}}:(e^{2i\limit _{s}-1)\관련 \{s}/k\대략 -a_{s}}}

이를 통해 얻을 수 있는 이점:

${\displaystyle \chma ={\frac {4\pi }{k^{2}}\\sin ^{2}\pin _{s}=4\pi a_{s}^{2}}:$

참고 항목

참조

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (2003). Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. Amsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8.

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