영구 컴퓨팅

선형대수학에서 행렬의 영구적인 계산은 정의의 명백한 유사성에도 불구하고 행렬의 결정인자의 계산보다 더 어렵다고 생각되는 문제다.

상수는 구별되는 행과 열에 있는 행렬 항목 집합의 곱의 합계로서 결정 인자와 유사하게 정의된다.단, 결정요소가 세트 패리티에 기초하여 ±1 기호로 이들 제품 각각의 가중치를 매기는 경우, 영구적인 기호는 +1 기호로 모두 가중치를 매긴다.

결정 인자는 가우스 제거에 의해 다항 시간에서 계산할 수 있지만, 일반적으로 영구적인 것은 다항 시간에서 계산할 수 없다고 여겨진다.계산 복잡성 이론에서 Valiant의 정리는 계산 영속성은 #P-hard이며, 모든 항목이 0 또는 1 Valiant(1979년)인 행렬의 경우 #P-완전이라고 명시한다.이것은 영구적인 계산을 NP보다 계산하기가 훨씬 더 어렵다고 여겨지는 문제의 종류에 넣는다.로그스페이스 균일 ACC⁰ 회로에서는 영구적인 컴퓨팅이 불가능한 것으로 알려져 있다.(Allender & Gore 1994)

매트릭스의 영구적 계산을 위한 정확하고 근사적인 알고리즘의 개발은 연구의 활성 영역이다.

정의와 순진한 알고리즘

n-by-n 행렬 A = (a_i,j)의 영구성은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operm}(A)=\sum _{n}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}}}$

여기서의 합은 대칭군_n S의 모든 요소 σ에 걸쳐 확장된다. 즉, 숫자 1, 2, ..., n의 모든 순열에서 이 공식은 결정요인에 대한 해당 공식과 다르다. 이 공식에서 각 제품은 부호가 없는 반면 각 제품은 순열 σ의 부호로 곱한다.공식은 순진하게 공식을 확장하는 알고리즘으로 직접 번역될 수 있으며, 모든 순열과 각 행렬 항목을 곱한 합 안에서 합칠 수 있다.이것은 n! n 산술 연산을 필요로 한다.

라이서 공식

가장 잘 알려진^[1] 일반적인 정확한 알고리즘은 H. J. Ryser(1963년) 때문이다.라이저의 방법은 다음과 같이 주어질^[2] 수 있는 포함-배제 공식에 기초한다.Let ${\displaystyle A_{k}}$ be obtained from A by deleting k columns, let ${\displaystyle P(A_{k})}$ be the product of the row-sums of ${\displaystyle A_{k}}$, and let ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ be the sum of the values of ${\displaystyle P(A_{k})}$ over all possible ${\displaystyle A_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$그러면.

${\displaystyle \operatorname {perm}=\sum _{k=0}^{n-1(-1)^{k}\Sigma _{k}.}$

그것은^[3] 다음과 같이 매트릭스 항목으로 다시 작성될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {perm}(A)=(-1)^{n}\sum _{S\subseteq \{1,\dots,n\}(1)^{{i=1}^{i=1}^{n}\sum _{j\in S}a_{ij}.}$

Ryser의 공식은 $O{\displaystyle {(\mathrm{2n}}^{}}$ - ${\displaystyle {1n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$O($2^{n-1}$n^{2$}$산술$$ 연산을 사용하거나, $세트{\displaystyle }$ $S{\displaystyle }$ ${\\\\displaystyle O$$(2$ -$){n-1n$$}$을 회색 코드 순서로$$ 처리하여$$ O${\displaystyle }$($2n$ - 1n)를 사용하여 평가할 수 있다.^[4]

발라수브라마니아-백스-프랑클린-글린 공식

라이저만큼(혹은 두 배까지) 빠른 것으로 보이는 또 다른 공식은 두 개의 박사학위 논문에서 찾을 수 있다; 참조(Balasubramanian 1980), (Bax 1998), 또한 (Bax & Franklin 1996).공식을 찾는 방법은 상당히 다르며, 뮤어 대수의 결합론과, 유한 차이 이론에 각각 관련된다.불변 이론과 연결된 또 다른 방법은 대칭 텐서(Glyn 2010)에 대한 양극화 정체성을 통해서이다.이 공식은 비록 기초적인 것 보다 더 빠른지는 분명하지 않지만, 이 모든 저자들이 발견한 것처럼 무한히 많은 다른 사람들에게 일반화된다.(Glynn 2013)을 참조하십시오.

이 유형에서 가장 간단하게 알려진 공식은 (필드 특성이 2가 아닐 때)이다.

${\displaystyle \operatorname {perm} (A)={\frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sum _{\delta }\left(\prod _{k=1}^{n}\delta _{k}\right)\prod _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}a_{ij}\right],}$

여기서 외측 합은 ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$$displaystyle$ 2$^{n-1}$ 벡터$$ $\Delta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle {\Delta n}_{}}$)${\displaystyle }$Δ$1}n {\$\ = = $(\1$}=$1,\cHB \n}}{$1}, \$pm$ 1$\^{n$에 걸쳐 있다.

특례

플라나르와 K-프리_3,3

초당적 그래프의 완벽한 일치 횟수는 그래프의 생체 적합도 행렬의 영구값으로 계산되며, 0-1 행렬의 영구값은 그래프에 있는 완벽한 일치 횟수로 해석할 수 있다.평면 그래프의 경우(양당성과 무관하게) FKT 알고리즘은 그래프의 Tutte 행렬에 있는 항목 중 신중하게 선택한 부분 집합의 기호를 변경하여 다항 시간의 완벽한 일치 횟수를 계산하여 결과의 Skew-대칭 행렬(결정 인자의 제곱근)의 Paffian이 완전한 일치 횟수를 계산한다.성냥개비이 기법은 완전한 초당적 그래프 K에_3,3 대한 하위 그래프 동형성이 없는 그래프로 일반화할 수 있다.^[5]

George Polya는 01 매트릭스 A의 일부 입력 기호를 언제 바꿀 수 있는지에 대한 질문을^[6] 하여 새로운 매트릭스의 결정 요인이 A의 영구적인 것이 되도록 하였다.Not all 01 matrices are "convertible" in this manner; in fact it is known (Marcus & Minc (1961)) that there is no linear map ${\displaystyle T}$ such that ${\displaystyle \operatorname {per} T(A)=\det A}$ for all ${\displaystyle n\times n}$ matrices ${\displaystyle A}$."변환성" 행렬의 특성화는 그러한 행렬이 정확하게 Paffian 방향을 갖는 초당적 그래프의 생체적합성 행렬이라는 것을 보여준 Little(1975)에 의해 주어졌다. 즉, $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{균등}}$ $주기{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C}$에 대해 G${\displaystyle }$∖ C ${\displaystyle G\setminus$ C$}$에 대해 가장자리 방향을 나타낸 것이다.완벽한 일치를 가지며, C를 따라 지시된 홀수 수의 가장자리(따라서 반대 방향의 홀수 번호)가 있다.또한 이러한 그래프는 위에서와 같이 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 3_{}}$ ${\$ 스타일 $K_{3,3$에 대한 하위 그래프 동형성을 포함하지 않는 그래프임이 정확히 밝혀졌다.

계산모듈로

Modulo 2, 영수는 (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \equiv }$ 1 (${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle(-1)\equiv 1{\pmod {2}}$과(와) 결정요인과 동일하다.$}$ $k{\displaystyle 2}$ 2 ${\displaystyle k\geq 2}$에 대한 $시간{\displaystyle }$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$- ${\displaystyle 3^{}}$ $){\displaystyle O(n^{$4k-3$)$로 계산될$$ 수도$$ 있지만, 2의 전력이 아닌 어떤 숫자로도 영구적인 modulo를 계산하는 것은 UP-힘이다$.$발리안트 (1979년)

글리언(2010)이 프라임 p를 계산하기 위해 준 다양한 공식들이 있다.첫째, 부분파생상품으로 상징적 계산을 사용하는 것이 있다.

둘째, p = 3의 경우 매트릭스의 주요 미성년자(Kogan(1996)가 포함된 n×n-매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\}$에 대해 다음과 같은 공식이 있다.

${\displaystyle \operatorname {per}(A)=(-1)^{n}\Sigma _{J\1,\dots,n\}}\det(A_{J})\det(A_{J})\det(A_{\bar {J}),}}}}}$

where ${\displaystyle A_{J}}$ is the submatrix of ${\displaystyle A}$ induced by the rows and columns of ${\displaystyle A}$ indexed by ${\displaystyle J}$, and ${\displaystyle {\bar {J}}}$ is the complement of ${\displaystyle J}$ in ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$,반면 빈 하위 거주자의 결정 요인은 1로 정의된다.

위의 확장은 다음과 같은 이중 정체성의 쌍으로서 임의의 특성 p로 일반화할 수 있다.

여기서 두 공식에서 합계는 {1$,{\displaystyle \dots ,}$${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle {}_{}}$, ,}, {1 , ,${\displaystyle n\},}$ ${\displaystyle \{J_$${p-1$}, {$J_{p-1}$의 파티션인$$ 모든 (p - 1)-${\displaystyle {tule\mathrm{}}_{}}$ $J1{\displaystyle {}_{}}$,\$dots ,n\}$을(를) p - 1 하위 집합으로$$ 가져가고, 일부는 비어 있을 수 있다.

이전 공식은 대칭 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와) 홀수 p:

동일한 인덱스 집합의 총계Moreover, in characteristic zero a similar convolution sum expression involving both the permanent and the determinant yields the Hamiltonian cycle polynomial (defined as ${\textstyle \operatorname {ham} (A)=\sum _{\sigma \in H_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$ where $$${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 하나의 사이클만 있는 n-permutions 집합이다.

In characteristic 2 the latter equality turns into ${\displaystyle \operatorname {ham} (A)=\Sigma _{J\subseteq \{2,\dots ,n\}}\det(A_{J})\operatorname {det} (A_{\bar {J}})}$ what therefore provides an opportunity to polynomial-time calculate the Hamiltonian cycle polynomial of any unitary ${\displaystyle U}$ (i.e. such that ${\displaystyle U^{\textsf {T}}U=I}$ where ${\displaystyle I}$ is the identity n×n-matrix), because each minor of such a matrix coincides with its algebraic complement: ${\displaystyle \operatorname {h$$am}(U)=\operatorname {det} ^{2}(U+I_{/1}}$ $여기$서 ${\displaystyle I_{}}$/ 1 ${\$은(는) ID n×n-매트릭스로, 인덱스 1.1의 입력이 0으로 대체된다.Moreover, it may, in turn, be further generalized for a unitary n×n-matrix ${\displaystyle U}$ as ${\displaystyle \operatorname {ham_{K}} (U)=\operatorname {det} ^{2}(U+I_{/K})}$ where ${\displaystyle K}$ is a subset of {1, ..., n}, ${\displaystyle I_{/K$$}}$ is the identity n×n-matrix with the entries of indexes k,k replaced by 0 for all k belonging to ${\displaystyle K}$, and we define ${\textstyle \operatorname {ham_{K}} (A)=\sum _{\sigma \in H_{n}(K)}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$ where ${\displaystyle H_n}$${\displaystyle {}_{}(K}$) ${\displaystyle H_{n}(K)}$은(는) $각{\displaystyle }$ 주기에 K {\$displaystyle K}$의 요소가 하나 이상 포함되어 있는 n-permutions 집합이다$.$

또한 이 공식은 특성 3의 영역에 걸쳐 다음과 같은 정체성을 내포한다.

모든 변환 $불가능$한 A ${\displaystyle A}$에 대해

${\displaystyle \operatorname {per}(A^{-1})\operatorname {detail}^{2}(A)=\operatorname {per}(A);}$

모든 단일 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U$ ${\displaystyle 즉}$ $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$= I ${\displaystyle U^{\textsf{T}U=I}$와 같은 사각 행렬 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 대해, $여기$서 I ${\displaystytle I}$은 해당 크기의 ID 행렬이다.

${\displaystyle \operatorname {per} ^{2}(U)=\det(U+V)\det(-U)}$

여기서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 해당 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 항목의 큐브인 매트릭스 입니다$.$

k사용하는 동안 그것은 또한(코간(1996년)), 아니면 한{A\displaystyle}k-semi-unitary 때만큼 계급 ⁡(ATA− 1세)정사각형 행렬을 정의하는)k((A^{\textsf{T}}A-I)=k}의1-semi-unitary 행렬의 영구적인 특성 3의 밭에 다항 시간에 계산할 수 있는, 1페이지의 주 공개되었다털다렘은 #3-P-완성이 된다.(특성 2: 해밀턴 사이클 다항식 계산은 다항식 시간 계산이 가능한 반면, 문제는 k > 0에 대한 k-세항 단일 계산의 경우 #2-P-완전이다.)후자는 결과 본질적으로 2017년(Knezevic &, 코헨(2017년)에서), 그것은 특성 3에 단순한 공식 A11{\displaystyle A_{11}}을 위한 사각형 매트릭스의 permanents고 그 부분적 역( 하고 A22{\displaystyle A_{22}}는 사각형, A11{\displaystyle 것을 증명했다 확장되었다. A_{$11$$}}($수직 불가능):

그리고 그것은 (n - k)×(n - k)- 또는 (n - k + 1)-(n - k + 1)-(n - k + 1)-의 영구적 계산에 k 행의 다른 (분리) 부분 집합의 선형 결합으로 표현할 수 있는 n×n-열의 영구적 계산을 다항 시간 단축하여 압축 오페라를 도입하였다.tor(결정인자를 계산하기 위해 적용된 가우스 변경에 대한 아날로그적) 특성 3. (아날로그적으로 특성 2의 해밀턴 사이클 다항식도 임의의 n×n-m에 대해 햄(A) = 0이라는 사실을 고려하여 불변성 매트릭스 압축을 가지고 있다는 점을 유념할 필요가 있을 것이다.atrix A의 동일한 행이 3개 있거나, n > 2인 경우, i-th와 j-th 행이 동일하고 i-th 및 j-th 열도 동일하도록 한 쌍의 인덱스 i,j)전치 변환과 함께 순차적 애플리케이션의 한계로 정의되는 운영자의 폐쇄(운영자가 매트릭스를 그대로 둘 때마다 활용됨)도 매트릭스의 클래스에 적용할 때 한 클래스에서 다른 클래스로의 운영자 매핑이다.압축 연산자가 1-반 단일 행렬의 클래스를 자신과 2-반 단일 행렬의 클래스에 매핑하는 동안, 1-반 단일 및 2-반 단일 행렬의 압축-폐쇄(또한 임의의 행 벡터에 의해 한 행을 대체함으로써 단일 행렬에서 받은 행렬의 클래스 - 이러한 행렬의 영구성은 랩을 통해 이루어진다.레이스 팽창1-semi-unitary 매트릭스의 permanents며 따라서, 다차 함수 시간 computable)의 합도 긴장하여의 영구적인 계산의 복잡성의 특징 3의 일반적인 문제점과 P-NP의 주요 질문에:(Knezevic &, 코헨(2017년)에서 나왔습니다 관련된)일지라도 그러한 compression-cl는 알 수 없다.osure는 특성 3의 필드 위에 있는 모든 제곱 행렬의 집합이거나 적어도 매트릭스 클래스를 포함하는 경우 영구적인 계산은 #3-P-완전하다(2-제반 단일 행렬의 클래스처럼). 그러면 영구적인 계산은 이 특성에서 다항 시간에서 계산할 수 있다.

한편n×n 매트릭스에 대한 A{A\displaystyle}과 두 n-vectors(월에서 그들의 모든의 엔트리를 갖는 다음과 같은 정체성 주고서도 또 발견이고, 다른 주요 특성에 관한permanent-preserving 압박의 어떤 가능한 전후로 특성 3에 존재하는 문제점,(Knezevic &, 코헨(2017년) 되어 있었다.eset {0, ..., p − 1}) ${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta }$ such that ${\textstyle {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}}}$, valid in an arbitrary prime characteristic p:

where for an n×m-matrix ${\displaystyle M}$, an n-vector ${\displaystyle x}$ and an m-vector ${\displaystyle y}$, both vectors having all their entries from the set {0, ..., p − 1}, ${\displaystyle M^{(x,y)}}$ denotes the matrix received from ${\displaystyle M}$ via repeating ${\dis$$playstyle x_{i}$는 i = 1, ..., n 및 $y{\displaystyle {}_{}}$에 대해 i번째 행을 곱한 $값$으로 j = 1, ..., m에 대해 j번째 열$($일부 행 또는 열의 다중성이 0이면 행이나 열이 제거되었음을 의미하며, 따라서 이러한 개념은 $하위{\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}}_{}}$ 거주자 개념의 일반화) 및 1${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ $\$을 곱한 것이다.${\vec{1}_{n}$은(는) 엔트리가 동일한 모든 항목을 의미한다.이 정체성은 행렬의 부차적인 부분을 역의 부차적인 부분을 통해 표현하는 고전적 공식과 정확히 유사하며, 따라서 (한 번 더) 상대적 임마넌트로서 결정요인과 영구적 사이의 일종의 이중성을 나타낸다.(Actually its own analogue for the hafnian of a symmetric ${\displaystyle A}$ and an odd prime p is ${\mathrm{haf}}^2(A^{(\alpha ,\alpha )})=\stackrel{p-1}{det}(A){\mathrm{haf}}^2(A^{-1}{)}^{((p-1){\overrightarrow{1}}_n-\alpha ,(p-1){\overrightarrow{1}}_n-\alpha )}{\left(\prod _{i=1}^n{\alpha }_i!\right)}^2(-1{)}^{n(p-1)/2+n+\sum _{i=1}^n}$${\textstyle \operatorname {haf} ^{2}(A^{(\alpha ,\alpha )})=\det ^{p-1}(A)\operatorname {haf} ^{2}(A^{-1})^{((p-1){\vec {1}}_{n}-\alpha ,(p-1){\vec {1}}_{n}-\alpha )}\left(\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}!$$\right)^{2}(-1)^{n(p-1)/2+n+\sum _{i=1}^{n}\i}}}.$

그리고, 주요 특성 p의 부분 역 대소문자를 더욱 넓게 일반화하여, A ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$ A$$ ${\displaystyle {22}_{}}$ ${\$ A ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $A_{$$11$$}}}$은(는) 뒤집힐 수 없으며$$, N ${\displaystyle {크기\mathrm{}}_{}}$ n 1${$${\displaystyle {n\_}_{}}${n_{1},$${\$displaystyplaystystym$}, {$n_${n_{n_{1}, a}, a$},$ a},$$an}, a}, a}, a}, a}, a},d $\sum \underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{i}}$= $\underset{}{\overset{}{}}$ ${\alpha }_{}$ i${}_{}$=$$= $\underset{}{\overset{}{}}$ ${\beta }_{}$ j ${\$ ID도 있다.

여기서 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 공통$$ 행/기둥 다중성 벡터 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \alpha$ $}$ 및$\beta {\displaystyle }$/기둥 다중성 벡터$$ s${\$displaystyle \$alpha$ $_$${s}$ 및$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${t$ s,t = 1,2}를$$ 생성한다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의$$동등성 오른쪽 부분 역행)에 관한 사항.

근사 연산

A의 항목이 음수가 아닌 경우, 상수는 대략 확률론적 다항식 시간에서 εM의 오차까지 계산할 수 있는데, 여기서 M은 상수의 값이고 > > 0은 임의의 값이다.즉, 완전한 다항식 시간 무작위 근사 체계(FPRAS)가 존재한다(Jerrum, Vigoda & Sinclair(2001) harvtxt error: no target: CITREFJerumVigodaSinclair2001 (도움말)).

계산에서 가장 어려운 단계는 주어진 초당적 그래프에서 모든 완벽한 일치 항목 집합으로부터 거의 균일하게 샘플링하는 알고리즘의 구성이다. 즉, 완전 다항식 거의 균일한 샘플러(FPAUS)이다.이것은 Metropolitanu 규칙을 사용하여 분포가 균일하고 혼합 시간이 다항식인 Markov 체인을 정의하고 실행하는 Monte Carlo 알고리즘을 사용하여 수행할 수 있다.

Jerrum, Valiant & Vazirani (1986) harvtxt 에러: no target: CITREFJerrumValiantVazirani1986 (도움말)에 의한 샘플링에서 카운트까지 잘 알려진 감소와 함께 FPAUS를 사용하여 영구적인 자가 감소성을 통해 그래프에 있는 완벽한 일치의 수를 대략적으로 계산할 수 있다.Let ${\displaystyle M(G)}$ denote the number of perfect matchings in ${\displaystyle G}$. Roughly, for any particular edge ${\displaystyle e}$ in ${\displaystyle G}$, by sampling many matchings in ${\displaystyle G}$ and counting how many of them are matchings in ${\displaystyle G\setminus e$$}$, one can obtain an estimate of the ratio ${\textstyle \rho ={\frac {M(G)}{M(G\setminus e)}}}$. The number ${\displaystyle M(G)}$ is then ${\displaystyle \rho M(G\setminus e)}$, where ${\displaystyle M(G\setminus e)}$ can be approximated by applying the same 메소드는 반복적으로

상수를 대략적으로 계산할 수 있는 또 다른 등급의 행렬은 양의 지미드핀 행렬 집합이다(이러한 행렬의 상수를 곱오차 내에서 대략적으로 계산하는 복잡성-이론적 문제는 개방된^[7] 것으로 간주된다).해당 무작위화 알고리즘은 보손 표본 추출 모델에 기초하며 양자 광학에 적합한 도구를 사용하여 특정 랜덤 변수의 기대값으로 양-세미드 핀라이트 행렬의 영구성을 나타낸다.후자는 표본 평균으로 근사치를 구한다.^[8]이 알고리즘은, 특정 양의 세미드피니트 행렬 집합의 경우, 다항 시간에서 그 영구적인 값을 첨가 오류까지 근사하게 하며, 이는 구르빗츠에 의한 표준 다항 시간 알고리즘의 그것보다 더 신뢰할 수 있다.^[9]

메모들

참조

추가 읽기

• Barvinok, A. (2017), "Approximating permanents and hafnians", Discrete Analysis, arXiv:1601.07518, doi:10.19086/da.1244, S2CID 397350.