2차원의 회전 및 반사

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기하학에서 2차원 회전과 반사는 서로 관련이 있는 유클리드 평면 등각의 두 종류다.

평면에서의 회전은 한 쌍의 반사를 구성함으로써 형성될 수 있다.먼저 점 P를 선 L의₁ 반대편에 있는 이미지 P에 반사한다.그런 다음 L선의₂ 반대편에 있는 이미지 P′에 P′을 반사한다. L선과₁ L선이₂ 서로 각도 θ을 만들면 P와 P′′ 지점들은₁ L과 L의 교차점인₂ O점을 중심으로 2θ 각도를 만든다. 즉, 각도 POP′은 2 measure을 측정할 것이다.

동일한 점 O에 대한 한 쌍의 회전은 점 O에 대한 다른 회전과 동일할 것이다.반면에 반사와 회전의 구성, 또는 회전과 반사(구성이 역행적이지 않음)의 구성은 반사와 동등할 것이다.

위의 문장은 더 수학적으로 표현할 수 있다.origin 각도에 의한 원점 O에 대한 회전을 로트(Rot)로 표시한다.선 L에 대한 반사를 x축으로 각도 θ을 만드는 원점을 참조(Ref)로 표시한다.이러한 회전과 반사가 평면의 모든 점에서 작동하도록 하고, 이러한 점이 위치 벡터로 표현되도록 한다.그러면 회전을 행렬로 나타낼 수 있고,

${\displaystyle \operatorname {Rot}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta \\sin \theta \\cos \theta \end{bmatrix},},}$

그리고 마찬가지로 반성을 위해,

${\displaystyle \operatorname {Ref}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\cos 2\theta &-\cos 2\end{bmatrix}}.}$

좌표 회전과 반사에 대한 이러한 정의로 다음 네 가지 정체성은 다음을 지탱한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{로트}(\theta)\,\operatorname{로트}(\phi)&,=\operatorname{로트}(\theta +\phi),\\\operatorname{휴식}(\theta)\,\operatorname{휴식}(\phi)&,=\operatorname{로트}(2\theta -2\phi),\\\operatorname{로트}(\theta)\,\operatorname{휴식}(\phi)&,=\operatorname{휴식}\left(\phi +{\frac{1}{2}}\th.\right)에타,\\\operatorname {Ref}(\phi )\,\operatorname {Rot}(\theta )&=\operatorname {Ref} \ref} \좌(\phi -{\frac {1}{2}}\tea \오른쪽).\end{정렬}}}$

이러한 방정식은 삼각형 정체성, 특히 합과 차이 정체성의 단순한 행렬 곱셈과 적용을 통해 증명될 수 있다.

모든 반사의 집합은 반사와 회전의 구성 운영과 함께 그 기원에 대한 원점과 회전을 통해 일렬로 배열되어 집단을 형성한다.그 집단의 정체성은 로트(0)이다.모든 회전 Rot(회전)은 역 Rot(-회전)을 갖는다.모든 반사 기준(Ref)은 그 자체의 역이다.매트릭스 곱셈은 연관성이 있기 때문에 구성에는 폐쇄성이 있고 연관성이 있다.

기준(Ref)과 회전(Rot)이 모두 직교 행렬로 표현되었다는 점에 유의하십시오.이들 행렬은 모두 절대적 가치가 통일인 결정요인을 가지고 있다.회전 행렬은 +1의 결정 인자를 가지며, 반사 행렬은 -1의 결정 인자를 가진다.

모든 직교 2차원 행렬과 행렬 곱하기의 집합은 직교 그룹 O(2)를 형성한다.

다음 표에는 회전 및 반사 행렬의 예가 나와 있다.

유형	앵글 θ	매트릭스
회전	0°	${\displaystyle {\pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
회전	$± 45$°	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt{2}}:{\\\pm1\1\pm1\1\end{pmatrix}}}$
회전	90°	${\displaystyle {\pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
회전	180°	${\displaystyle {\pmatrix}-1&0\\0&#1\end{pmatrix}}$
반사	0°	${\displaystyle {\pmatrix}1&0\\0&#1\end{pmatrix}}$
반사	45°	${\displaystyle {\pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
반사	90°	${\displaystyle {\pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
반사	-45°	${\displaystyle {\pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

참고 항목

• 직교군
• 유클리드 대칭
• 유클리드 평면 등측도법
• 디헤드랄군
• 카르탄-디우도네 정리
• 회전 그룹 SO(3) – 3차원