정규 조건부 확률

확률론에서 정규 조건부 확률은 랜덤 변수의 결과에 대한 조건화 개념을 공식화하는 개념이다.결과적인 조건부 확률 분포는 마르코프 커널이라고 불리는 확률 측정의 파라메트릭 계열이다.

정의

조건부 확률 분포

Consider two random variables ${\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} }$. The conditional probability distribution of Y given X is a two variable function ${\displaystyle \kappa _{Y X}:\mathbb {R} \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

랜덤 변수 X가 이산형인 경우

${\displaystyle \kappa _{Y X}(x,A)=P(Y\in A X=x)={\begin{cases}{\frac {P(Y\in A,X=x)}{P(X=x)}}&{\text{ if }}P(X=x)>0\\{\text{arbitrary value}}&{\text{ otherwise}}.\end{case}}}$

랜덤 변수 X, ${\displaystyle Y_{}}$가 밀도 ${\displaystyle f_{}}$, Y (${\displaystyle {}_{}x}$, ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$을(를) 사용하여 연속형인 경우$.$

${\displaystyle \kappa _{Y X}(x,A)={\begin{cases}{\frac {\int _{A}f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}}&{\text{ if }}\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y>0\\{\text{arbitrary value}}&{\text{ otherwise}}.\end{case}}}$

더 일반적인 정의는 조건부 기대의 관점에서 제시될 수 있다.함수 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle e_{$$Y\in$ A$:\mathb {R} \to$ [$0,1]}$ 충족$$

${\displaystyle e_{Y\in A}(X(\omega )=\mathb {E}[1_{Y\in A}X(\omega )}$

거의 모든 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$에 대해$.$ 그러면 다음과 같은 조건부 확률 분포가 주어진다.

${\displaystyle \kappa _{Y X}(x,A)=e_{Y\in A}(x).}$

조건부 기대와 마찬가지로, 이는 시그마 $대수{\displaystyle \mathcal{}}$ F$${\$displaystyle${\$mathcal {F$에 대한 조건부 분포가 함수 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displayStyle \MathOomega \times{B}}(\mathb {R})\to [0,$1$]\}\}$ :

${\displaystyle \kappa _{Y {\mathcal {F}(\omega,A)=\mathb {E}[1_{]Y\in A} {\mathcal {F}}$

규칙성

$\kappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$와 함께 작업하려면 정기적으로 작업하는 것이 중요하다$.$ 즉,

1. 거의 모든 x에 대해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x_{}}$ Y X${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle A\mapsto \kappa _{Y$ X$}(x,A)}$은 확률 측정값이다.
2. 모든 A에 대해 x ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle x\mapsto \kappa _{Y X}(x,A)}$은(는) 측정 가능한 함수임

즉 $\kappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ X$}$는 마르코프 커널이다.

첫 번째 조건은 사소한 것이지만, 두 번째 조건의 증거는 더 많이 관련되어 있다.라돈 공간 S에서 Y가 무작위 원소 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Oomega \to$ S$}$인 경우, ${\displaystyle {ability}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ X ${\$ X$}$가 존재하여$$ 측정가능성 조건을 만족하는 것으로 볼 수 있다.^[1]정규 조건부 확률 분포가 존재하지 않는 일반 공간을 더 많이 구성할 수 있다.^[2]

조건부 기대와의 관계

이산형 및 연속형 랜덤 변수의 경우 조건부 기대는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\mathb {E} [Y X=x]&=\sum _{y}y}y\,P(Y=y X=x)\\\mathb {E}[Y X=x]&=int y\,f_{Y X}(x,y)\mathrmartrmpoint {d}yd}yd}ynd}yd}yd}yd}$

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f_{Y X}(x,y)}$은 주어진 Y의 조건부 밀도다.

이 결과는 정규 조건부 확률 분포를 사용하여 이론적 조건부 기대치를 측정하도록 확장할 수 있다.

${\displaystyle \mathbb{E}}$[ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ (${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \int }$ y ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$X${\displaystyle {}_{}}$) (${\displaystyle {}_{}\Omega }$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle y\mathrm{}}$) ${\displaystyle \mathb {E}[Y X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y \sigma (X)}(\omega,\\mathrmatrmatmatm)$ {$d} y}.$

형식 정의

$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal {F},$${\displaystyle P}$$)}$을 확률공간으로 하고$$, $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ →${\displaystyle }$E ${\displaystytle T:$$\Omega \rightarrow E}$ be a random variable, defined as a Borel-measurable function from ${\displaystyle \Omega }$ to its state space ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. One should think of ${\displaystyle T}$ as a way to "disintegrate" the sample space ${\displaystyle \Omega }$ into ${\displaystyle \{T^{-1}(}$${\displaystyle \{T^{-1}(x)\}_{x\in E}}$. Using the disintegration theorem from the measure theory, it allows us to "disintegrate" the measure ${\displaystyle P}$ into a collection of measures, one for each ${\displaystyle x\in E}$. Formally, a regular conditional probability is defined as a function ${\displaystyle \nu :E}$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \nu :E\times {\mathcal {F}\rightarrow [0,1],}$은(는) "전환 확률"이라$$ 불리며, 여기서 다음과 같다.

• $모든{\displaystyle \mathcal{}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$에$$$대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ $x$ ,$cd$ ) ${\displaystyle \nu$ (x$,\$cdot )}는$$ F ${\$ {$F$$}$에 대한 확률 측도입니다$.$ 따라서 각 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle E}$ ${\displaysty$ x$\in$ E$}$에 대해 하나의 측도를 제공한다$.$
• 모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$$$$\nu {\displaystyle }$( ${\displaystyle \cdot }$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle$ $\$$nu (\cdot$,${\displaystyle \mathrm{A}}$$)}$에 대해($매핑$→$[0,1$는 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -meable이고$$, 그리고 측정 가능.
• 모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ 및$$ 모든 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E\mathcal{}}$ ${\$에 대해

${\displaystyle P{{\big (}A\cap T^{-1}(B){\big )=\int_{B}\nu (x,A)\,P{\big (}T^{-1})(dx){\big )}.}$

where ${\displaystyle P\circ T^{-1}}$ is the pushforward measure ${\displaystyle T_{*}P}$ of the distribution of the random element ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle x\in \mathrm {supp} \,T,}$ i.e. the support of the ${\displaystyle T_{*}P}$. Specifically, if we테이크 $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B=E$ A ${\displaystyle \mathrm{then}}$ T${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{E}}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A\cap$ T^{-$1}(E)=$$A}$등

${\displaystyle P}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle P}$(${\displaystyle {\mathrm{T}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle d}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$P ( ) ${\$(}$T^{-1$}(dx$){\$big$)\},$ ,

$여기$서 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \nu (x,A)}$은(는) $보다{\displaystyle }$ 친숙한${\displaystyle 용어}$ ${\displaystyle P}$(A$$= x ){\$displaystyle P(A\$ \ T=$x)}$를 사용하여 나타낼 수 있다$$$.$

대체 정의

이 글의 일부에 대한 사실의 정확성은 논쟁의 여지가 있다.논쟁은 이런 식으로 불규칙한 조건부 확률로 이어진다. 논쟁의 여지가 있는 진술이 안정적으로 소싱되도록 도와주십시오. 토크 페이지의 관련 토론을 참조하십시오.(2009년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

라돈 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}($Borel sigma-algebra와 함께 제공된 라돈 공간에 정의된 확률 측정치) 및 실제 값 랜덤 변수 T를 고려하십시오.위에서 논의한 바와 같이, 이 경우 T에 관한 규칙적인 조건부 확률이 존재한다.또한 다음과 같은 방법으로 랜덤 변수 T의 특정 값 t가 주어진 사건 A에 대한 정규 조건부 확률을 정의할 수 있다.

${\displaystyle P(A T=t)=\lim _{U\supset \{T=t\}}{\frac {P(A\cap U)}{P(U)},}$

개방된 지역인 t의 네트 너머로 제한되는 경우, 그들이 포함에 관하여 작아질수록.이 한계는 확률공간이 라돈일 경우에만 정의되며, 기사에 기술된 바와 같이 T의 지원에서만 정의된다.이것은 T의 지지에 대한 전환 확률의 제한이다.이 제한 프로세스를 엄격하게 설명하려면:

모든 > ${\displaystyle \epsilon >0,}$에 대해${\displaystyle }${${\displaystyle T}$= t ${\displaystyle \}}$ neighborhood ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle \{T=t\}\subset V\subset U,}$ 이벤트에 대해 열린 근린 U가 존재한다.

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {P(A\cap V)}{P(V)}-L\right <\epsilon ,}$

여기서 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle P(A}$ T${\displaystyle }$= t${\displaystyle }$) ${\displaystyle L=P(A T=t)}$은 한계다.

참고 항목

• 조건화(확률)
• 해체 정리
• 부연점
• 한계점

참조

외부 링크

• PlanetMath에서의 정규 조건부 확률