예측 변수-코렉터 방법

수치 분석에서 예측 변수-코렉터 방법은 일반적인 미분방정식을 통합하도록 설계된 알고리즘 종류에 속한다 – 주어진 미분방정식을 만족시키는 미지의 함수를 찾기 위해서.그러한 모든 알고리즘은 다음 두 단계로 진행된다.

1. 초기 "사전화" 단계는 선행 지점의 기능 값과 파생 모델 값에 적합한 함수에서 시작하여 후속 새로운 지점에서 이 함수의 값을 추정("예상")한다.
2. 다음 "코렉터" 단계는 함수의 예측 값과 다른 방법을 사용하여 동일한 후속 지점에서 알 수 없는 함수의 값을 보간함으로써 초기 근사를 재조정한다.

OSDE를 해결하기 위한 예측 변수-코렉터 방법

통상적인 미분방정식(ODE)의 수치적 해답을 고려할 때, 예측 변수-코렉터 방법은 일반적으로 예측 변수 단계의 명시적 방법과 수정자 단계의 암묵적 방법을 사용한다.

예:사다리꼴 규칙이 있는 오일러 방법

단순한 예측 변수-코렉터 방법(Heun의 방법이라고 알려져 있음)은 오일러 방법(명시적 방법)과 사다리꼴 규칙(암묵적 방법)으로 구성할 수 있다.

미분 방정식 고려

${\displaystyle y'=f(t,y),\display y(t_{0})=y_{0},}$

$단계{\displaystyle }$ 크기는 h ${\displaystyle h}$로 표시한다$.$

먼저 예측 단계: 현재 값 ${\displaystyle y_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$부터 오일러 방법을 통해$$ $초기{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 추측 값 y${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$를 계산한다$.$

${\displaystyle {\tilde{y}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).}$

다음으로 교정기 단계: 사다리꼴 규칙을 사용하여 초기 추측을 개선한다.

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac{1}{1}{1}{1}:{2}}:h{{{i}}{i}}+f(}f(t_{i+1},{\tilde {y}_{i+1}{\bigr )}.}$

그 값은 다음 단계로 사용된다.

PEC 모드 및 PECE 모드

교정기법을 적용하는 빈도에 따라 예측 변수-코렉터 방법에는 다양한 변형이 있다.예측-평가-수정-평가(PCE) 모드는 위의 예에서 변형을 가리킨다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{정렬}}}$

또한 PEC(예측-평가-수정) 모드의 방법을 사용하여 단계당 한 번만 f 기능을 평가할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{정렬}}}$

또한, 수정자 단계는 이것이 진정한 해결책에 대한 훨씬 더 나은 근사치를 달성하기를 바라면서 반복될 수 있다.교정기 방법을 두 번 실행하는 경우 PECCE 모드를 생성한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{정렬}}}$

PCEC 모드는 PCECE 모드보다 기능 평가가 한 가지 적다.

보다 일반적으로 교정기를 k회 실행할 경우 방법은 P(EC)^k 또는 P(EC)^kE 모드에 있다.교정기 방법이 수렴될 때까지 반복되면 이를 PE(CE)라고 할 수 있다.^∞[1]

참고 항목

• 역분화식
• 베만 알고리즘
• 헌의 방법
• 메흐로트라 예측 변수-코렉터 방법
• 수치연속

메모들

참조

• Butcher, John C. (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-96758-3.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 17.6. Multistep, Multivalue, and Predictor-Corrector Methods". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Predictor-Corrector Methods". MathWorld.
• 미분 방정식에 대한 예측 변수-코렉터 방법