구간순서

수학, 특히 순서 이론에서 실제 선상의 간격 집합의 간격 순서는 그들의 좌우 우선 관계에 해당하는 부분 순서 즉, 한 구간, 즉 한₁ 구간, 나, 다른 구간보다 덜 고려되고 있는 나, 내가₂ 완전히₁₂ 왼쪽에 있다면 말이다.More formally, a countable poset ${\displaystyle P=(X,\leq )}$ is an interval order if and only if there exists a bijection from ${\displaystyle X}$ to a set of real intervals, so ${\displaystyle x_{i}\mapsto (\ell _{i},r_{i})}$, such that for any ${\displ$Aystyle x_{나는},x_{j}\in X}우리는라는 주주가 있어 나는 <^j{\displaystyle x_{나는}<, x_{j}}P에{P\displaystyle}정확히 내가...< r;ℓ j{\displaystyle r_{나는}<, \ell _{j}}. 이런 posets 동등하게 그것들을 특징으로 할 지 모르유도 subposet 동형에 그 두명의 two-element이 쇠사슬에 다른 단어로톤그는(2+${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle(2+2)}$ -프리$$ 포셋.^[1]

구간을 단위 길이의 구간으로 제한하여 얻은 구간 주문의 하위 분류로, 그래서 모두 형식$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1}$)을 가지고 있다$(\ell _{i},\ell _{i}+1)$은 정확히 준주문이다$.$

구간 순서(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$},$≤)의 비교가능성 그래프의 보완은 구간 그래프$({\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \cap }$) ${\displaystyle (X,\cap )}$이다$.$

간격 순서는 실제 선상의 간격에 대한 포함 순서인 간격 연결 순서(차원 차원 2의 순서)와 혼동해서는 안 된다.

구간 순서 및 치수

부분순서의 중요한 매개변수는 순서차원이다: 부분순서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 치수는 $교차점$이 P ${\displaystyle P}$인 선형순의 최소 수입니다$$$.$ 간격순서의 경우 치수는 임의로 클 수 있다.그리고 일반적인 부분순서의 치수를 결정하는 문제는 NP-hard인 것으로 알려져 있지만, 구간순서의 치수를 결정하는 문제는 알 수 없는 계산 복잡성의 문제로 남아 있다.^[2]

관련 매개변수는 구간 치수로, 이는 유사하지만 선형 순서 대신 구간 순서에 따라 정의된다.Thus, the interval dimension of a partially ordered set ${\displaystyle P=(X,\leq )}$ is the least integer ${\displaystyle k}$ for which there exist interval orders ${\displaystyle \preceq _{1},\ldots ,\preceq _{k}}$ on ${\displaystyle X}$ with ${\displaystyle x\leq y}$ ex$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x\preceq _{1}y,\ldots,}$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ x$\preceq _{k}y$ 주문의 간격 치수는 주문 치수보다 결코 크지 않다.^[3]

콤비네이터틱스

$({\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle (2+2)}$ -자유$$ 포지셋에 대한 이형성일 뿐 아니라$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle n}$]$${\$displaystyle [n]}$의 라벨 없는 간격 주문도 $카디널리티{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}${\$displaystyle 2n}$이(가) 있는 정렬된 세트에서 고정점 없는 비자발성의 하위 집합과 함께 바이어싱된다$$.$$^[4]어디,[2n]{\displaystyle[2n]}에 대한 퇴축 f{\displaystyle f}, 왼쪽으로 둥지가 소위 left- 또는right-neighbor nestings에 나와 있던 그 involutions 나는 ∈[2n]{\displaystyle i\in[2n]}가 나는 <, 나는 + 1<>이름(나는 1+)<>이름(나는){\displaystyle i<, i+1<, f(i+1)<, f(나는)}과 right는 곳은()<$$(+${\displaystyle }$)< > $(\displaystyle f(i+1$)<$i+1}$과 같은 i$2$ [$2n$

이러한 비자발성은 반길이 에 따르면 일반적인 발생 기능을^[5] 가지고 있다.

${\displaystyle F(t)=\sum _{n\geq 0}\prod _{i=1}^{n}(1-(t)^{i}).}$

$F{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle F(t)}$의 확장 시$$ t ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ t$^{n}$의 계수는 n $크기{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 레이블이 없는 간격 순서 수를 제공한다$.$이 숫자의 시퀀스(OEIS의 순서 A022493)가 시작된다.

1, 2, 5, 15, 53, 217, 1014, 5335, 31240, 201608, 1422074, 10886503, 89903100, 796713190, 7541889195, 75955177642, …

메모들

참조

• Bousquet-Mélou, Mireille; Claesson, Anders; Dukes, Mark; Kitaev, Sergey (2010), "(2+2) free posets, ascent sequences and pattern avoiding permutations", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 117 (7): 884–909, arXiv:0806.0666, doi:10.1016/j.jcta.2009.12.007, MR 2652101, S2CID 8677150.
• Felsner, S. (1992), Interval Orders: Combinatorial Structure and Algorithms (PDF), Ph.D. dissertation, Technical University of Berlin.
• Felsner, S.; Habib, M.; Möhring, R. H. (1994), "On the interplay between interval dimension and dimension" (PDF), SIAM Journal on Discrete Mathematics, 7 (1): 32–40, doi:10.1137/S089548019121885X, MR 1259007.
• Fishburn, Peter C. (1970), "Intransitive indifference with unequal indifference intervals", Journal of Mathematical Psychology, 7 (1): 144–149, doi:10.1016/0022-2496(70)90062-3, MR 0253942.
• Zagier, Don (2001), "Vassiliev invariants and a strange identity related to the Dedekind eta-function", Topology, 40 (5): 945–960, doi:10.1016/s0040-9383(00)00005-7, MR 1860536.

추가 읽기

• Fishburn, Peter (1985), Interval Orders and Interval Graphs: A Study of Partially Ordered Sets, John Wiley