순열 그래프

수학에서 순열 그래프는 정점이 순열의 원소를 나타내고, 가장자리가 순열에 의해 역행되는 원소 쌍을 나타내는 그래프다.순열 그래프는 끝점이 두 개의 평행선에 있는 선 세그먼트의 교차 그래프로 기하학적으로 정의할 수도 있다.다른 순열은 동일한 순열 그래프를 만들 수 있다. 주어진 그래프는 모듈식 분해와 관련하여 프라임인 경우 고유한 표현(순열 대칭까지)을 갖는다.^[1]

정의 및 특성화

If ${\displaystyle \rho =(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n})}$ is any permutation of the numbers from ${\displaystyle 1}$ to ${\displaystyle n}$, then one may define a permutation graph from ${\displaystyle \sigma }$ in which there are ${\displaystyle n}$ vertic에스 v1, v2...,v n{\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}},도 나 그냥 j{j\displaystyle}{\displaystyle 나는}에 나는 < 나는입니다. 어떤 두개 지수, j{\displaystyle i<, j}과 σ, viv j{\displaystyle v_{나는}v_{j}}σ j{\displaystyle \sigma 가장자리는. _{나는}>, \sig$ma _{j$즉$,$ $두{\displaystyle }$ 지수 i {\$displaystyle i}$ 및 $j$ ${\displaystyle j}$가 순열에서 역전을 결정할 때 순열 그래프에서 가장자리를 결정한다$$.

Given a permutation ${\displaystyle \sigma }$, one may also determine a set of line segments ${\displaystyle s_{i}}$ with endpoints ${\displaystyle (i,0)}$ and ${\displaystyle (\sigma _{i},1)}$. The endpoints of these segments lie on the two parallel lines ${\displaystyle y=0}$및 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y=1$ 두 세그먼트는 순열에서 역방향에 해당하는 경우에만 비반복 교차점을 가진다.따라서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 순열 그래프는 세그먼트의 교차 그래프와 일치한다$$.두 개의 평행선과 양쪽 선에 끝점이 있는 선 세그먼트의 모든 유한 집합에 대해 세그먼트의 교차 그래프는 순열 그래프가 된다. 세그먼트 끝점이 모두 구별되는 경우 순열 그래프인 순열 그래프는 두 선 중 하나에 세그먼트를 연속적으로 번호를 매겨 주어질 수 있다.rder, 그리고 세그먼트 끝점이 다른 라인에 나타나는 순서대로 이 숫자를 판독한다.

순열 그래프에는 몇 가지 다른 동등한 특성이 있다.

• 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 적도를 인정하는 원 그래프인 경우에만 순열 그래프(즉, 다른 모든 화음과 교차하는 추가 화음)이다.^[2]
• $그래프{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) G${\$ $G}$이(가)^[3] $모두{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 비교가능성 그래프인$$ 경우에만 그래프 {\displaystyle ${\G}$이다.
• 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 순서 차원이 최대 2개인 부분 순서의 비교가능성 그래프인 경우에만 순열 그래프다$$.^[4]
• 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 순열 그래프인 경우 그 보완 그래프도 순열 그래프인 것이다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 보완을 나타내는 순열은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 나타내는 순열을 반대로 하여 얻을 수 있다$$$.$

효율적인 알고리즘

주어진 그래프가 순열 그래프인지 여부를 테스트할 수 있으며, 순열 그래프일 경우 이를 나타내는 순열을 선형 시간으로 구성할 수 있다.^[5]

완벽한 그래프의 하위 클래스로서 임의 그래프의 경우 NP-완전한 많은 문제를 순열 그래프의 경우 효율적으로 해결할 수 있다.예를 들어,

• 순열 그래프에서 가장 큰 클라이크는 그래프를 정의하는 순열에서 가장 긴 감소 시퀀스에 해당하므로, 가장 긴 감소 시퀀스 알고리즘을 사용하여 순열 그래프에 대한 다항 시간 내에 클라이크 문제를 해결할 수 있다.^[6]
• 마찬가지로, 순열에서 증가하는 순열은 해당 순열 그래프에서 동일한 크기의 독립된 집합에 해당한다.
• 순열 그래프의 트리 너비와 경로 너비는 다항식으로 계산할 수 있다. 이러한 알고리즘은 순열 그래프에 포함된 최소 정점 분리의 수가 그래프 크기에서 다항식이라는 사실을 이용한다.^[7]

다른 그래프 클래스와의 관계

순열 그래프는 원 그래프, 비교가능성 그래프, 비교가능성 그래프의 보완, 사다리꼴 그래프의 특수한 경우다.

순열 그래프의 하위 분류에는 초당 순열 그래프(Spinrad, Brandstet & Stewart 1987년 특징)와 cographs가 포함된다.

메모들

참조

• Baker, Kirby A.; Fishburn, Peter C.; Roberts, Fred S. (1971), "Partial orders of dimension 2", Networks, 2 (1): 11–28, doi:10.1002/net.3230020103.
• Bodlaender, Hans L.; Kloks, Ton; Kratsch, Dieter (1995), "Treewidth and pathwidth of permutation graphs", SIAM Journal on Discrete Mathematics, 8 (4): 606–616, doi:10.1137/S089548019223992X, hdl:1874/16657.
• Brandstädt, Andreas; Le, Van Bang; Spinrad, Jeremy P. (1999), Graph Classes: A Survey, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, ISBN 0-89871-432-X.
• Dushnik, Ben; Miller, Edwin W. (1941), "Partially ordered sets" (PDF), American Journal of Mathematics, 63 (3): 600–610, doi:10.2307/2371374, JSTOR 2371374.
• Golumbic, Martin C. (1980), Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Computer Science and Applied Mathematics, Academic Press, p. 159.
• McConnell, Ross M.; Spinrad, Jeremy P. (2011), "Modular decomposition and transitive orientation", Discrete Mathematics, 201 (1–3): 189–241, arXiv:1010.5447, doi:10.1016/S0012-365X(98)00319-7, MR 1687819.
• Spinrad, Jeremy P.; Brandstädt, Andreas; Stewart, Lorna K. (1987), "Bipartite permutation graphs", Discrete Applied Mathematics, 18 (3): 279–292, doi:10.1016/s0166-218x(87)80003-3.

외부 링크

• "Permutation graph", Information System on Graph Classes and their Inclusions
• Weisstein, Eric W. "Permutation Graph". MathWorld.