단방향 함수

컴퓨터 과학의 미해결 문제:

단방향 기능이 존재하는가?

컴퓨터 과학에서 단방향 함수는 모든 입력에 대해 계산하기는 쉽지만 임의 입력의 이미지로 볼 때 뒤집기는 어려운 함수다. 여기서 "쉬운"과 "힘든"은 계산 복잡성 이론, 특히 다항식 시간 문제의 이론의 의미에서 이해되어야 한다. 일대일로 되지 않는 것은 함수를 단방향이라고 부르기에 충분한 것으로 간주되지 않는다(아래 이론적 정의 참조).

그러한 일방적 기능의 존재는 여전히 공공연한 추측이다. 사실, 그들의 존재는 복잡도 등급 P와 NP가 같지 않다는 것을 증명할 것이고, 따라서 이론 컴퓨터 과학의 가장 중요한 미해결 문제를 해결할 것이다.^[1]^{: ex. 2.2, page 70} 그 반대는 사실이라고 알려져 있지 않다,^[2] 즉 P pNP가 단방향 함수의 존재를 직접적으로 암시하지 않을 것이라는 증거의 존재.

적용된 맥락에서, "쉬운"과 "힘든"이라는 용어는 일반적으로 특정 컴퓨팅 실체에 상대적으로 해석된다.; 일반적으로 "합법적인 사용자를 위해 충분히 싸고" "어떤 악의적인 에이전트에게도 비용이 많이 든다". 이러한 의미에서 단방향 기능은 암호화, 개인 식별, 인증 및 기타 데이터 보안 애플리케이션의 기본 툴이다. 이런 의미에서 일방적 기능의 존재도 공공연한 추측이지만, 수십 년간의 강도 높은 정밀 조사를 견뎌낸 후보들도 여럿 있다. 이들 중 일부는 전 세계 대부분의 통신, 전자상거래, 전자은행 시스템의 필수 요소들이다.

Theoretical definition

A function f : {0,1}^* → {0,1}^* is one-way if f can be computed by a polynomial time algorithm, but any polynomial time randomized algorithm $F$ that attempts to compute a pseudo-inverse for f succeeds with negligible probability. (The * superscript means any number of repetitions, see Kleene star.) That is, for all randomized algorithms $F$ , all positive integers c and all sufficiently large n = length(x) ,

\Pr[f(F(f(x)))=f(x)]<n^{-c},

where the probability is over the choice of x from the discrete uniform distribution on {0,1}ⁿ, and the randomness of $F$ .^[3]

Note that, by this definition, the function must be "hard to invert" in the average-case, rather than worst-case sense. This is different from much of complexity theory (e.g., NP-hardness), where the term "hard" is meant in the worst-case. That is why even if some candidates for one-way functions (described below) are known to be NP-complete, it does not imply their one-wayness. The latter property is only based on the lack of known algorithm to solve the problem.

It is not sufficient to make a function "lossy" (not one-to-one) to have a one-way function. In particular, the function that outputs the string of n zeros on any input of length n is not a one-way function because it is easy to come up with an input that will result in the same output. More precisely: For such a function that simply outputs a string of zeroes, an algorithm F that just outputs any string of length n on input f(x) will "find" a proper preimage of the output, even if it is not the input which was originally used to find the output string.

Related concepts

A one-way permutation is a one-way function that is also a permutation—that is, a one-way function that is bijective. One-way permutations are an important cryptographic primitive, and it is not known if their existence is implied by the existence of one-way functions.

A trapdoor one-way function or trapdoor permutation is a special kind of one-way function. Such a function is hard to invert unless some secret information, called the trapdoor, is known.

A collision-free hash function f is a one-way function that is also collision-resistant; that is, no randomized polynomial time algorithm can find a collision—distinct values x, y such that f(x) = f(y)—with non-negligible probability.^[4]

Theoretical implications of one-way functions

If f is a one-way function, then the inversion of f would be a problem whose output is hard to compute (by definition) but easy to check (just by computing f on it). Thus, the existence of a one-way function implies that FP≠FNP, which in turn implies that P≠NP. However, P≠NP does not imply the existence of one-way functions.

The existence of a one-way function implies the existence of many other useful concepts, including:

Pseudorandom generators
Pseudorandom function families
Bit commitment schemes
Private-key encryption schemes secure against adaptive chosen-ciphertext attack
Message authentication codes
Digital signature schemes (secure against adaptive chosen-message attack)

The existence of one-way functions also implies that there is no natural proof for P≠NP.

Candidates for one-way functions

The following are several candidates for one-way functions (as of April 2009). Clearly, it is not known whether these functions are indeed one-way; but extensive research has so far failed to produce an efficient inverting algorithm for any of them.^{[citation needed]}

Multiplication and factoring

The function f takes as inputs two prime numbers p and q in binary notation and returns their product. This function can be "easily" computed in O(b²) time, where b is the total number of bits of the inputs. Inverting this function requires finding the factors of a given integer N. The best factoring algorithms known run in $O\left(\exp {\sqrt[{3}]{{\frac {64}{9}}b(\log b)^{2}}}\right)$ time, where b is the number of bits needed to represent N.

This function can be generalized by allowing p and q to range over a suitable set of semiprimes. Note that f is not one-way for randomly selected integers p, q > 1, since the product will have 2 as a factor with probability 3/4 (because the probability that an arbitrary p is odd is 1/2, and likewise for q, so if they're chosen independently, the probability that both are odd is therefore 1/4; hence the probability that p or q is even is 1 − 1/4 = 3/4).

The Rabin function (modular squaring)

The Rabin function,^[1]^{: 57} or squaring modulo $N=pq$ , where $p$ and $q$ are primes is believed to be a collection of one-way functions. We write

\operatorname {Rabin} _{N}(x)\triangleq x^{2}{\bmod {N}}

to denote squaring modulo $N$ : a specific member of the Rabin collection. It can be shown that extracting square roots, i.e. inverting the Rabin function, is computationally equivalent to factoring $N$ (in the sense of polynomial-time reduction). Hence it can be proven that the Rabin collection is one-way if and only if factoring is hard. This also holds for the special case in which $p$ and $q$ are of the same bit length. The Rabin cryptosystem is based on the assumption that this Rabin function is one-way.

Discrete exponential and logarithm

Modular exponentiation can be done in polynomial time. Inverting this function requires computing the discrete logarithm. Currently there are several popular groups for which no algorithm to calculate the underlying discrete logarithm in polynomial time is known. These groups are all finite abelian groups and the general discrete logarithm problem can be described as thus.

Let G be a finite abelian group of cardinality n. Denote its group operation by multiplication. Consider a primitive element α ∈ G and another element β ∈ G. The discrete logarithm problem is to find the positive integer k, where 1 ≤ k ≤ n, such that:

\cd}=\underbrace {\cdot \cdot \ldots \cdots \cdots } _{k\;\mathrm {}=\matrix }

방정식 α^k = β를 해결하는 정수 k를 β의 이산 로그(base α)라고 한다. 1은 k = log_α β를 쓴다.

이산 로그 암호화에서 그룹 G의 일반적인 선택은 주기 그룹(Z_p)^×이다(예: ElGamal 암호화, Diffie–-).Hellman 키 교환 및 디지털 시그니처 알고리즘)과 유한한 필드에 걸친 타원 곡선의 순환 하위 그룹(타원 곡선 암호 참조).

타원곡선은 y² = x³ + 도끼 + b를 만족하는 필드의 요소 쌍 집합이다. 곡선의 요소는 "점 추가"라는 연산 하에 그룹을 형성한다. (이것은 필드의 추가 연산과는 동일하지 않다. 정수 k에 의한 점 P의 곱셈 kP(즉, 정수의 첨가제 그룹의 그룹 작용)는 점 자체를 반복적으로 추가하는 것으로 정의된다. k와 P를 알면 R = kP를 계산하기 쉽지만 R과 P만 알면 k를 계산하기 어렵다고 가정한다.

암호화된 보안 해시 함수

SHA 256과 같이 계산이 빠른 암호화 해시함수가 다수 존재한다. 간단한 버전의 일부는 정교한 분석으로 떨어졌지만, 가장 강력한 버전은 단방향 연산을 위한 빠르고 실용적인 솔루션을 계속해서 제공하고 있다. 기능에 대한 이론적 지원의 대부분은 이전에 성공한 공격의 일부를 좌절시키기 위한 더 많은 기법이다.

다른 후보자들

다른 일방 함수의 후보자들은 무작위 선형 코드의 해독 경도, 서브셋 합계 문제(Nacache-Stern 배낭 암호체계) 또는 기타 문제에 기초해 왔다.

범용일원함수

단방향 기능이 존재하는 경우에만 단방향으로 증명된 명시적 함수 f가 있다.^[5] 즉, 어떤 기능이 일방이라면, f도 마찬가지다. 이 기능은 최초로 조합 완결 단방향 함수가 입증되었기 때문에 "범용 단방향 함수"로 알려져 있다. 따라서 단방향 함수를 찾는 문제는 그러한 함수가 존재한다는 것을 증명하는 것으로 줄어든다.

References

^ ^a ^b Oded Goldreich (2001). Foundations of Cryptography: Volume 1, Basic Tools, (draft available from author's site). Cambridge University Press. ISBN 0-521-79172-3. (see also wisdom.weizmann.ac.il)
^ Goldwasser, S. and Bellare, M. "Lecture Notes on Cryptography". Summer course on cryptography, MIT, 1996–2001
^ Many authors view this definition as strong one-way function. Weak one-way function can be defined similarly except that the probability that every adversarial $F$ fails to invert f is noticeable. However, one may construct strong one-way functions based on weak ones. Loosely speaking, strong and weak versions of one-way function are equivalent theoretically. See Goldreich's Foundations of Cryptography, vol. 1, ch 2.1–2.3.
^ Russell, A. (1995). "Necessary and Sufficient Conditions for Collision-Free Hashing". Journal of Cryptology. 8 (2): 87–99. doi:10.1007/BF00190757. S2CID 26046704.
^ Leonid Levin (2003). "The Tale of One-Way Functions". ACM. arXiv:cs.CR/0012023. Cite journal requires journal= (help)

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