뫼비우스 비행기

수학에서 뫼비우스 비행기(August Perdinand Möbius의 이름을 딴)는 벤츠 비행기 중 하나이다.뫼비우스 비행기, 라구에르 비행기, 민코프스키 비행기.고전적인 예는 실제 부속 평면에 있는 선과 원의 기하학을 바탕으로 한다.

뫼비우스 평면의 두 번째 이름은 역행 평면이다.고전 뫼비우스 평면에 반전이 존재하기 때문이다.반전이란 원이나 선의 점을 고정시키는 무의식적인 매핑이다(아래 참조).

부착 평면과의 관계

아핀 평면은 다른 것들 중에서 두 점이 정확히 하나의 선을 결정하는 속성을 만족시키는 점 및 선의 시스템이다.이 개념은 점 및 원의 시스템으로 일반화할 수 있으며, 각 원은 세 개의 비협착 점으로 결정된다.그러나 세 개의 시준점이 원이 아닌 선을 결정한다.이 단점은 모든 라인에 무한대의 점을 추가함으로써 제거할 수 있다.만약 우리가 원과 이와 같이 완성된 선 사이클을 모두 호출한다면, 우리는 세 지점마다 정확히 하나의 사이클을 결정하는 발생 구조를 얻게 된다.

부착 평면에서 선 사이의 평행 관계는 필수적이다.사이클의 기하학에서, 이 관계는 접촉 관계에 일반화된다.공통점이 1점만 있으면 두 사이클이 서로 닿는다.이는 두 개의 접선 원 또는 원에 접하는 선에 해당된다.완성된 두 선은 무한의 점만 공통으로 가지고 있으면 닿기 때문에 평행이다.감동적인 관계는 재산을 가지고 있다.

• $모든{\displaystyle }$ 사이클 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$\},$ z ${\displaystyle z}$의 점 $P{\displaystyle }$${\displaystyle$Q$}$ $및{\displaystyle }$ z ${\$$displaystyle$$z$}에$$$$ 대해$,$ Q {\$displaystyle$ P$,Q}$ 및 $터치$ z$${\$displaystystyle$ z$}($점)가${\displaystyle }$$$ 정확히 한 사이클 $z$에${\displaystyle {}^{}}$포함되어$$있음${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ $$.

이러한 특성들은 본질적으로 자명한 뫼비우스 평면을 정의한다.그러나 고전 뫼비우스 평면만이 자명한 뫼비우스 평면의 특성을 만족시키는 기하학적 구조는 아니다.뫼비우스 평면의 간단한 추가 예는 한 사람이 실수를 합리적인 숫자로 대체한다면 달성할 수 있다.복잡한 숫자의 사용(실수 대신)은 뫼비우스 평면으로 이어지지 않는데, 그 이유는 복합 부속 평면에서 곡선 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 1 ${\displaystyle x^{2}+y$^{2}+y$^{2}=$1}는$$원곡선이 아니라 하이퍼볼라 같은 곡선이기$$ 때문이다.다행히도 뫼비우스 비행기(아래 참조)로 이어지는 적절한 이차적 형태와 함께 많은 필드(숫자)가 있다.그러한 예를 미켈의 정리를 이행하기 때문에 미켈리안이라고 한다.이 모든 미켈리안 뫼비우스 비행기는 우주 모델에 의해 설명될 수 있다.고전적인 리얼 뫼비우스 평면은 단위 구체에 있는 원의 기하학으로 간주할 수 있다.우주 모델의 본질적인 장점은 어떤 사이클도 (구 위에) 원일 뿐이라는 것이다.

클래식 리얼 뫼비우스 평면

We start from the real affine plane ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )}$ with the quadratic form ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$ and get the real Euclidean plane: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ is the point set, the lines are described by equations $$${\displaystyle y}$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y=mx+b}$ $또는$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x=c}$이며 원은 방정식을 충족하는 점 집합이다.

( - x y- )=(x- ) + (y- y - ) = =r > ${\displaystyle \rho (x-x_{0},$y-y_${0}}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2},\r^{$0

유클리드 평면의 선과 원의 기하학적 구조는 발생 구조물에 삽입하여 균질화할 수 있다(어핀 평면의 투영완료와 유사함).

${\displaystyle({\mathcal{P},{\mathcal {Z},\in )}$

와 함께

${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$∪ {${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \},\infty }$ ${\displaystyle r\mathbb{}}$ R ${\$ \$cupt$\notin$\mathb$ {$R$ 점 집합 및

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{g\cup \{\infty \}\mid g{\text{ line of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}\cup \{k\mid k{\text{ circle of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}}$ the set of cycles.

${\displaystyle (P}$, ${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal {P},{\mathcal {Z},\in )$은 클래식 리얼 뫼비우스 평면이라고 한다.

새로운 구조 내에서 완성된 선들은 더 이상 특별한 역할을 하지 않는다.분명히${\displaystyle }$(${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal{P},{\mathcal{Z},\in$)은 다음과 같은 속성을 가지고$$ 있다.

• 세 점 $A{\displaystyle ,}$ B${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B,C}$의 어떤 집합에 대해 A${\displaystyle ,}$ $C$ {\$displaystyle$ A,$B$,C$}$을(를) 포함하는 정확히 $하나$의 사이클$$z {\$displaystyle$ z$}$이(가) 있다$.$
• For any cycle ${\displaystyle z}$, any point ${\displaystyle P\in z}$ and ${\displaystyle Q\notin z}$ there exists exactly one cycle ${\displaystyle z'}$ with: ${\displaystyle P,Q\in z'}$ and ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$, i.e. ${\displaystyle z}$ and${\displaystyle z^{}}$지점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle z'}$에서 서로 접촉$$$.$

${\displaystyle (P}$, ${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal {P},{\mathcal {Z},\in )}$을(를) 사용하여 설명할 수 있다$$.

복잡한 숫자. ${\displaystyle z}$= x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle z=x+iy}$는 점$({\displaystyle x}$, y ${\displaystyle )}$을 ${\displaystyle \mathrm{나타냄}}$represents$$ R 2 ${\$:

${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup \{}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$},${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \notin }$ { ${$ {{\$displaystyle {\p}:=\mathb {C}$$\c$} \$cupty \$c}\$cupt \notin$ \mathb ${C}$ 및

${\displaystyle {\mathcal{Z}:=\\{\{z\in \mathb {C} \mid az+{\overline {az}+b=0\\text{(라인)}}\\}\cupty \}\{\necq a\in \mathb {C}, b\in \mathb {R}}}}}}$

${\displaystyle \cup \{z\in \mathb {C} \mid(z-z_{0}){\overline {(z-z_{0})}}=d\ {\text{(원)}}}\mid z_{0}\in \mathb {C}, d\in \mathb {R},d>0\}$

(${\displaystyle \stackrel{\text{'}}{}}$= ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\displaystyle$ {$z}=x-iy}$은(는) $z{\displaystyle }${\$displaystyle z}$의 결합 번호 입니다.)$$

이 설명의 장점은 $다음$과 같은 P ${\$ 지도 순열이 사이클에 순환되는지 쉽게 확인할 수 있다는 것이다.

(1) z${\displaystyle }$→ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$→ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle z\rightarrow rz,\\flotty \rightarrow \input \quad,}($$Rotation{\displaystyle }$ + ${\displaystyle delaying}$ C${\$ {$C}).$

(2) z${\displaystyle }$→ ${\displaystyle z}$+ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$→ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle z\rightarrow z+s,\\input \puty \quad$ ,}, $s$ $pplaystyle s\in \mathb {C}$ $$(번역)

(3) z${\displaystyle }$→ 1 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{z}{},}}$ ${\displaystyle {\displaystyle z\mathrm{}}}$ $≠$ ${\displaystyle {\displaystyle 0,}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \text{0}}}$ →${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{}}}$∞,${\displaystyle {\displaystyle \infty \mathrm{}}}$→ ${\displaystyle {\displaystyle 0,}}$ ${\$ 0$,\\####prow \infort \rightarrowe 0$$\backslash$$pm 1$에서$$반성을$나타냄$

(4) ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$→ z ${\displaystyle \stackrel{}{""}}$ ,${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\$ 화살표 ${\line{z},\\\flott \flightarrow \inful \infline$\}(실제 축을 통한 반성 또는 반전)

Considering ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ as projective line over ${\displaystyle \mathbb {C} }$ one recognizes that the mappings ${\displaystyle (1)-(3)}$ generate the group ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} )}$ (s. PGL(2,C), Möbius transformation. 기하$({\displaystyle P\mathcal{},}$ Z${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal{P},{\mathcal{Z},\in$)은$$ 동질적인 구조로, 즉 그 자동성 집단은 전이적이다.따라서 (4)에서 다음을 얻는다.어떤 사이클에도 역전이 존재한다.예를 들어,${\displaystyle }z{\displaystyle }$ → ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\stackrel{\text{'}}{}}{}}$의$${\$displaystyle$ z\오른쪽 $화살표 {\tfrac${1$}{\overline{z}}}}$은(는) 단위 원 ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$in${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z{\overline{z}=1$}을$($는) 고정하는 반전이다$.$이 속성은 대체 이름 역행면을 발생시킨다.

데스투게스 투영 평면의 공간 모델과 유사하게 기하학적 구조$({\displaystyle P,Z\mathcal{}}$ ,${\displaystyle )}$ $){\displaystyle({\mathcal{P},{\mathcal{Z},\in$ )에 대한 공간 모델이 존재하며$$, 이 모델들은 원에 의해 정의된 선과 사이클 간의 공식 차이를 생략한다.기하학$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal {P},{\mathcal {Z},\in )$은 구체의 원의 기하학과는 이형이다.이형성은 적절한 입체 투영에 의해 수행될 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi :\ (x,y)\오른쪽 화살표 \왼쪽({\frac {x}{1+x^{2}+y^{2)}}}},{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}}},{\frac {x^{2}+y^{2}}:{1+x^{2}+y^{2}+y^{2}}}}\오른쪽)=(u,v,w)\.}$

${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 중심$({\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0,}$)과$(와)$ 맵이 있는 투영법이다$$.

• the x-y-plane onto the sphere with equation ${\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}-w=0}$, midpoint ${\displaystyle (0,0,{\tfrac {1}{2}})}$ and radius ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$.
• x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$-${\displaystyle \mathrm{c}}$ = 0 ${\displaystyle$ x$^{2}+y^{$2}+y^{$2}-ax-by-c=0}$을(를) 사용하여$$ ${\displaystyle u}$+ ${\displaystyle b}$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty au-bv-(1+c)+c=0$의 평면으로 들어가는 원.즉, 원의 이미지는 구의 평면 부분이며, 따라서 다시 원(구 위에)이 된다.해당 평면은 중앙$({\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일$(0,0,1)}$을(를) 포함하지 않는다$.$
• the line ${\displaystyle ax+by+c=0}$ into the plane ${\displaystyle au+bv-cw+c=0}$. So, the image of a line is a circle (on the sphere) through point ${\displaystyle (0,0,1)}$ but not containing point ${\displaystyle (0,0,1)}$.

뫼비우스 비행기의 공리

고전적인 진짜 뫼비우스 평면의 부수적인 행동은 다음과 같은 자명한 뫼비우스 평면의 정의에 근거를 준다.

An incidence structure ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ with point set ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ and set of cycles ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ is called Möbius plane if the following axioms hold:

A1: 임의의 세 점에 대해${\displaystyle }A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A$$,B,C}$을${\displaystyle (}$를) 포함하는$$ 사이클 $z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle z$$}$이(가$)$ 정확히$$ 하나 있다$.$

A2: For any cycle ${\displaystyle z}$, any point ${\displaystyle P\in z}$ and ${\displaystyle Q\notin z}$ there exists exactly one cycle ${\displaystyle z'}$ with: ${\displaystyle P,Q\in z'}$ and ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ (${\displaystyle z}$ and${\displaystyle {}^{}}$$z{\displaystyle }$ 지점${\displaystyle {}^{}}$P ${\displaystyle z'}$에서 서로 접촉$$.

A3: 모든 사이클에는 최소 3개의 지점이 포함되어 있다.적어도 한 사이클은 있다.

$A{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$$,$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$이(가) A$,B$인 $사이클$ $z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ ${\displaystyle z}$$}$이(가$)$ 있는 경우 4개의 지점이 순환된다$.$

위의 공리가 고전적인 진짜 뫼비우스 평면을 규정하는 것을 기대해서는 안 된다.고전적인 뫼비우스 비행기와는 다른 자명한 뫼비우스 비행기(아래 참조)의 예가 많이 있다.아핀 평면의 최소 모델과 유사하게 뫼비우스 평면의 최소 모델을 찾는다.다음과 같은 $5개의 점$으로 구성된다$.$

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A,B,C,D,\infty \},\quad {\mathcal {Z}}:=\{z\mid z\subset {\mathcal {P}}, z =3\}}$. Hence: ${\displaystyle {\mathcal {Z}} ={5 \choose 3}=10}$.

고전 뫼비우스 평면과 실제 아핀 평면의 연결은 뫼비우스 평면의 최소 모델과 아핀 평면의 최소 모델 사이에 유사한 방법으로 찾을 수 있다.이러한 강한 연결은 뫼비우스 비행기 및 아핀 비행기(아래 참조)에 대표적이다.

For a Möbius plane ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ and ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ we define structure ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{P\},\{z\$$setminus \{P\}\mid P\in$ z$\in {\mathcal {Z}\},\in )$를 설정하고 P 지점의 잔류물이라고 부른다.

고전적 모델의 경우 지점 point${\$$displaystyle {\mathfak{A}_{\npty}}$의 잔여물 $A{\displaystyle {\mathfrak{}}_{\mathrm{}}}$∞{\$displaystyle \inflt$}이(가$$$)$ 실제 부착면이다.잔여물의 본질적인 의미는 다음과 같은 정리를 보여준다.

정리:뫼비우스 비행기의 모든 잔여물은 아핀 평면이다.

이 정리는 뫼비우스 평면에 대한 조사를 위해 부속 평면에 많은 결과를 사용할 수 있도록 하며, 뫼비우스 평면의 동등한 정의를 도출한다.

정리:발생 구조$({\displaystyle P,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal {P},{\mathcal {Z},\in$)은$$ 다음 특성이 충족되는 경우에만 뫼비우스 평면이다.

A': 어떤 점에서든 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\$ 잔류물$$ $A{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$는 아핀 평면이다$$.

유한한 뫼비우스 평면의 경우, P < {\$displaystyle${\$mathcal {P}$<\$inflight },$우리는 (부착 평면과 유사)를 가지고 있다.

• 뫼비우스 평면의 어떤 두 사이클도 동일한 수의 점을 가진다.

이는 다음과 같은 정의에 대한 이유를 제공한다.
For a finite Möbius plane ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ and a cycle ${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$ the integer ${\displaystyle n:= z -1}$ is called order of ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$.

콤비네이터틱스로부터 우리는 얻는다.

• $Let{\displaystyle \mathfrak{}}$ M${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle P\mathcal{},}$ Z${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle${\$mathfak{M}}=({\mathcal {P},{\mathcal${Z},\$in )}$ 순서가 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$인 뫼비우스 평면이 되게$$ 하라$.$Then a) any residue ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$ is an affine plane of order ${\displaystyle n}$, b) ${\displaystyle {\mathcal {P}} =n^{2}+1}$, c) ${\displaystyle {\mathcal {Z}} =n(n^{2}+1).$$}$

미켈리안 뫼비우스 비행기

Möbius 평면의 추가 예를 찾으면 원 정의용$$ $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$ 위에 부착된$$ 평면에서 2차 형태 ${\displaystyle \rho }$로 시작하는 고전적 건축을 일반화할 가능성이 있어 보인다.그러나 $실제{\displaystyle }$ 숫자 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$\$$mathb$ {$R}을($를) 필드 K {\$displaystyle K}$로 대체하고$$ 원을 설명하기 위해$$ 고전적인 2차 형식 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 일반적으로 $작동$하지 않는다.자세한 내용은 아래 강의 노트를 참조하십시오.따라서, 적절한 필드 쌍과 2차 형태에 대해서만 Möbius 평면 $M{\displaystyle \mathfrak{}}$(${\displaystyle K}$ ,$){\displaystyle {\mathfrak{M}(K,\rho$ $)\}$을 얻는다.그것들은 (클래식 모델로서) 거대한 동질성과 미켈의 다음과 같은 정리가 특징인 것이다.

정리(미켈):Möbius 평면 $M{\displaystyle \mathfrak{}(K}$ ,${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle {\mathfrak{M}(K,\rho )}$의 경우 다음이$$ 참이다.
${\displaystyle {}_{}}$ 어떤 ${\displaystyle {8점\mathrm{}}_{}}$ $P{\displaystyle {}_{}}$ $1$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . . . . . . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$P_{8}$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 큐브의 정점에 할당될$$ 수 있는 5 면의 점의 점의 점의 점의 점들이 6 4배정점들이 컨사이블의 ${\displaystyle {4배수\mathrm{}}_{}}$ 있다.

그 반론도 사실이다.

정리(Chen):뫼비우스 평면 $M{\displaystyle \mathfrak{}(K}$ ,${\displaystyle \rho }$ )${\displaystyle {\mathfrak{M}(K,\rho )}$만이 미켈의 정리를 만족한다$$.

마지막 정리 때문에 뫼비우스 평면 $M{\displaystyle \mathfrak{}(K}$ ,${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle {\mathfrak {M}(K,\rho )}$은 미켈리안 뫼비우스 평면이라고 불린다$$.

비고: 뫼비우스 비행기의 최소 모델은 미켈리안이다.뫼비우스 비행기와는 이형성이다.

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ with ${\displaystyle K=GF(2)}$ (field ${\displaystyle \{0,1\}}$) and ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$.

(예를 들어 단위원 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ =${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle x$${\displaystyle ^\{}$$2}+xy+y^{2},$${\displaystyle }$(1,${\displaystyle 0),}$(${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$\{$0, ($1,0$),$ ($1,1)\}}$의 포인트 세트 입니다$.$

비고: ${\displaystyle 복잡한\mathbb{}}$ 숫자의 필드를$$ K${\displaystyle }$= C ${\$ K$=\mathb {C}}$을(를) 선택하면 적절한 2차 형식이 전혀 없다.

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$합리적 숫자의 분야), $and{\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$이 적당하다$$.

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$합리적 숫자의 분야), $and{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {2y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}-$2y^{2$}}: 선택도 적합하다$$.

비고: 입체 투영법에서 알 수 있듯이 $M{\displaystyle \mathfrak{}}$(${\displaystyle K}$ ,${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle {\mathfrak$ {$M}(K,\rho )}$은 평면의 기하학적 구조와 이형이다.

필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 투사형 3-공간에서 구체(지수 1의 비감소 사각형)의 섹션$.$

비고: 고전적인 (실제) 사건에 대한 미켈의 정리 증거를 여기서 찾을 수 있다.그것은 기초적이며, 새겨진 각도의 정리에 기초한다.

비고: 미켈리안이 아닌 뫼비우스 비행기가 많이 있다(아래 웹링크 참조).미켈리안 뫼비우스 비행기와 가장 유사한 등급은 난형 뫼비우스 비행기다.난형 뫼비우스 평면은 난형 평면 단면의 기하학이다.난형(ovoid)은 2차적 집합이며, 투사적 3-공간: 1) 선은 한 점 또는 두 점의 난형(none, one 또는 one)에서 난형(nonoid)을 교차하며 2) 접선(tangent) 평면을 형성하는 난형의 어느 지점에서든 같은 기하학적 특성을 갖는다.실제 3공간에 있는 단순한 난자는 결과가 사분면이 아닌 다른 타원체의 적절한 반쪽을 접착하여 만들 수 있다.유한한 경우에도 난형이 존재한다(이차 집합 참조).오보이드 뫼비우스 평면은 묶음 정리가 특징이다.

유한 뫼비우스 평면 및 블록 설계

순서가 n인 유한부착면의 원점 확장 매개변수를 갖는² 블록 설계, 즉 3-(n + 1, n + 1, 1) 순서가 n인 뫼비우스 평면이다.

이러한 유한 블록 설계는 원이 설계 블럭으로 해석될 때 뫼비우스 평면을 정의하는 공리를 만족시킨다.

뫼비우스 평면의 질서에 대해 알려진 유일한 유한 값은 원시 또는 원시 세력이다.유일하게 알려진 유한 뫼비우스 평면은 유한 투영 기하학 내에 건설된다.

참고 항목

• 등각 기하학
• 뫼비우스 변환

참조

• W. 벤츠, 보를레성겐 über Geometrie 데르 알헤브렌, 스프링거 (1973)
• F. Buekenhout (편집), 발생 기하학 핸드북, Exvier (1995) ISBN0-444-88355-X
• P. 뎀보스키, 유한 기하학, 스프링거-베를라크(1968) ISBN 3-540-61786-8

외부 링크

• 수학 백과사전의 뫼비우스 비행기
• 수학 백과사전 속의 벤츠 비행기
• 뫼비우스-, 라고에르-, 밍코프스키 평면의 소개인 강의 노트 평면원 기하학'