밀러 지수

세제곱 결정에서 밀러 지수가 서로 다른 평면

지침의 예

밀러 지수는 결정(Bravais) 격자의 격자 평면에 대한 결정학에서 표기 체계를 형성한다.

특히 주어진 (직접) 브라바이스 격자의 격자 평면 계열은 밀러 지수인 h, k, ℓ 세 정수에 의해 결정된다. They are written (hkℓ), and denote the family of (parallel) lattice planes (of the given Bravais lattice) orthogonal to $\mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}}$ , where $\mathbf {b_{i}}$ are the ba주어진 브라바이스 격자의 역수 격자의 sis 또는 원시 번역 벡터. (직접 격자 벡터는 상호 직교할 필요가 없으므로 $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ 평면이 $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ 또는 원래 격자 벡터 $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ 1 $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ + k $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ + + $h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}$ ${\$ }} $+k\mathbf{a_{3}}}}}}$ 의 선형 조합에 항상 직교하는 것은 아니라는 점에 유의하십시오. 이는 역수 격자 $\mathbf {g}$ g $\mathbf {g}$ {\ $displaystyle \mathbf {g}}($ 역수 격자 원점에서 역수 격자점을 나타내는 벡터)가 원래 브라바이스 라를 따르는 공간함수의 푸리에 시리즈(예: 전자밀도함수)에서 평면파의 파장 벡터라는 사실에 기초한다.그래서 평면파의 파도는 원래 격자의 평행 격자면과 일치한다. Since a measured scattering vector in X-ray crystallography, $\mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ with $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ as the outgoing (scattered from a crystal lattice) X-ray wavevector and $\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ as the incoming (toward the crystal lattice) X-ray wavevector, is equal to a reciprocal lattice vector $\mathbf {g}$ as stated by the Laue equations, the measured scattered X-ray peak at each measured scattering vector ${\displaystyle \mathbf$ 밀러지수로 표시된 것은 $\mathbf {\Delta k}$ $\Delta k}$ 이다. 관례에 따라 마이너스 정수는 -3의 3과 같이 막대로 쓴다. 정수는 보통 가장 낮은 용어로 쓰여진다. 즉, 가장 큰 공통점은 1이어야 한다. 밀러 지수는 또한 X선 결정학에서 반사를 지정하는 데 사용된다. 이 경우 정수는 반드시 가장 낮은 항에 있는 것은 아니며, 인접 평면으로부터의 반사가 정확히 하나의 파장(2㎛)의 위상 차이를 갖도록 간격을 두고 평면에 대응한다고 생각할 수 있다.

또한 다음과 같은 몇 가지 언급이 있다.^[1]

{hkℓ} 표기법은 격자의 대칭에 의해 (hkℓ)에 해당하는 모든 평면의 집합을 의미한다.

(평면이 아닌) 결정 방향의 맥락에서 해당 명칭은 다음과 같다.

[hkℓ], 원형 대괄호 대신 사각형으로, 상호 격자 대신 직접 격자 벡터에 기초한 방향을 나타낸다.
마찬가지로 표기법 <hkℓ>은 대칭에 의해 [hkℓ]에 해당하는 모든 방향의 집합을 의미한다.

밀러 지수는 1817년 이후 거의 동일한 시스템(Weiss 매개변수)이 이미 독일의 광물학자 크리스티안 사무엘 와이스에 의해 사용되었지만, 1839년 영국의 광물학자 윌리엄 할로우레스 밀러에 의해 도입되었다.^[2] 이 방법은 역사적으로 밀러식 계통으로도 알려져 있었고, 지수를 밀러식 계통으로 알려졌지만,^[3] 지금은 드물다.

밀러 지수는 때때로 언급된 것처럼 원시 기초 벡터뿐만 아니라 단위 셀의 모든 선택과 관련하여 정의된다.

정의

축이 있는 절편을 사용하여 평면에 대한 지수를 결정하는 예제: 왼쪽(111), 오른쪽(221)

밀러 지수의 의미를 정의하는 데는 두 가지 등가 방법이 있다.^[1] 상호 격자의 한 점을 통해 또는 격자 벡터를 따라 역 절편을 하는 것이다. 두 정의는 아래에 제시되어 있다. 어느 경우든 단위 세 개의 격자 벡터 a, a₁ 및 a를₂₃ 선택할 필요가 있다(아래 예시처럼 전통적인 단위 셀이 브라바이스 격자의 원시 세포보다 클 수 있다는 점에 유의한다). 이러한 점을 감안하여 3개의 원시 상호 격자 벡터(b₁, b, b₂₃)도 결정된다.

그런 다음, 세 개의 밀러 지수 h, k, ℓ, (hkℓ)는 역수 격자 벡터에 직교하는 평면을 나타낸다.

\mathbf {g} _{hk\ell _}=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.

즉, (hkℓ)는 원시 상호 격자 벡터에 기초하여 평면에 대한 정규를 단순히 나타낸다. 좌표는 정수기 때문에 이 정상 그 자체는 항상 상호 격자 벡터다. 가장 낮은 항의 요구 조건은 주어진 방향에서 최단 상호 격자 벡터라는 것을 의미한다.

동등하게 (hkℓ)는 a₁/h, a₂/k, a₃/k, a/message 또는 일부 배수를 가로채는 평면을 의미한다. 즉, 밀러 지수는 격자 벡터에 기초하여 평면의 절편 교차점에 비례한다. 지수 중 하나가 0이면, 평면이 그 축을 교차하지 않는다는 것을 의미한다(절편은 "무한도"에 있다).

하나 이상의 격자점(격자 평면)을 교차하는 (hk³) 평면만 고려할 때, 인접한 격자 평면 사이의 수직 거리는 $d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|$ = 2 $d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|$ / g $d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|$ $d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|$ $displaystyle d=2\pi$ / $\mathbf {g} _{hk\ell$ $d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|$ ^[1]라는 공식에 의해 평면에 직교하는 (가장 짧은) 상호 격자 벡터와 관련된다.

관련 표기법 [hkℓ]은 방향을 나타낸다.

h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.

즉, 상호 격자 대신 직접 격자 기준을 사용한다. [hkℓ]는 아래에 설명된 입방 격자 단위를 제외하고 일반적으로 (hkℓ) 평면에 대해 정규적이지 않다는 점에 유의하십시오.

입방구조의 경우

단순 입방 결정의 특별한 경우 격자 벡터는 직교하고 길이가 같으며(일반적으로 a로 표시됨) 상호 격자의 것과 같다. 따라서 이 일반적인 경우 밀러 지수(hkh)와 [hkℓ]는 모두 데카르트 좌표에서 표준/방향만을 나타낸다.

격자 상수 a를 갖는 입방 결정의 경우 인접(hk³) 격자 평면 사이의 간격 d는 (위에서)

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

=

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

+ k

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

+

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

{\

}+k

^{2

}+k^{2

}+\ell ^{2

입방 결정의 대칭성 때문에 정수의 위치와 기호를 변경할 수 있으며 방향과 평면이 동일하다.

⟨100⟩과 같은 각괄호 안의 지수는 [100], [010], [001] 또는 이러한 방향의 음과 같은 대칭 연산으로 인해 동일한 방향군을 나타낸다.
{100}과 같은 곱슬 괄호나 가새의 지수는 대칭 연산으로 인해 동일한 평면 정규군을 나타내며, 대칭 대칭 대칭 대칭 대칭 대칭 대칭 대칭이 방향 대칭을 나타낸다.

얼굴 중심 입방체 격자와 신체 중심 입방 격자의 경우 원시 격자 벡터는 직교하지 않는다. 그러나 이 경우 밀러 지수는 입방 슈퍼셀의 격자 벡터에 대해 일반적으로 정의되며, 따라서 다시 단순하게 카르테시안 방향이다.

육각형 및 심복 구조물의 경우

밀러-브라바이스 지수

육각형 및 회전 격자 시스템으로 제약을 준수하는 4가지 지수(h k i ℓ)를 사용하는 브라바이스-밀러 시스템을 사용할 수 있다.

h + k + i = 0.

여기서 h, k, ℓ은 해당 밀러 지수와 동일하며, 나는 중복 지수다.

육각 격자 안의 평면에 라벨을 붙이기 위한 이 4가지 지수 체계는 순열 대칭을 뚜렷하게 만든다. 예를 들어, 중복지수를 표시할 때 (110)≡ (1120)와 (120)≡ (120)≡ (120) between (1210)의 유사성이 더 뚜렷하다.

오른쪽 그림에서 (001) 평면의 대칭은 3배이다. 즉 1/3(2㎛/3rad, 120°)의 회전으로 변하지 않는다. [100], [010], [110]의 방향은 정말 비슷하다. S가 [110] 축이 있는 평면의 절편이라면,

i = 1/S.

또한 4개의 지수를 갖는 육각 격자 벡터(상호 격자 벡터 또는 평면 대신)를 지수화하는 특별 체계(예: 전송 전자 현미경 문헌)도 있다. 그러나 그들은 일반 3-지수 집합에 중복지수를 추가하는 방식으로 운영되지 않는다.

For example, the reciprocal lattice vector (hkℓ) as suggested above can be written in terms of reciprocal lattice vectors as $h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}}$ . For hexagonal crystals this may be expressed in terms of direct-lattice basis-vectors a₁, a₂ and a₃ as

h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}} ={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a_{1}} +{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a_{2}} +{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a_{3}} .

Hence zone indices of the direction perpendicular to plane (hkℓ) are, in suitably normalized triplet form, simply $[2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ . When four indices are used for the zone normal to plane (hkℓ), however, the literature often uses $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ ( $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ / $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ ) $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ ( $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ / $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ ) $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ 대신 $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ .^[4] 따라서 여러분이 볼 수 있듯이 사각형 또는 각괄호 안의 4가지 지수 영역 지수는 오른쪽의 단일 직격 지수(보통 왼쪽의 둥근 또는 곱슬형 지수)와 왼쪽의 상호 직격 지수(보통 둥근 또는 곱슬 괄호).

그리고 육각형 간 거리의 경우, 그들은 형태를 취한다.

d_{hk\ell}={\frac {a}{\\sqrt{4}{3}}\좌측(h^{2}+k^{2}+hk\오른쪽)+{\tfrac {a^{a^{2}}}\{c^{2}}}\{{2}}}}}}}}}}}}}}}}}

결정 평면 및 방향

조밀 결정면

결정학적 방향은 결정의 노드(atom, 이온 또는 분자)를 연결하는 선이다. 마찬가지로 결정학적 평면은 노드를 연결하는 평면이다. 일부 방향과 평면은 노드 밀도가 더 높다. 이러한 밀도가 높은 평면은 결정의 거동에 영향을 미친다.

광학적 특성: 응축된 물질에서, 레일리 산란과 함께 한 원자에서 다른 원자로의 빛 "점프"; 따라서 빛의 속도는 원자가 가까운지 먼지에 상관없이 방향에 따라 변화한다; 이것은 이륜성을 준다.
흡착 및 반응성: 결정 표면의 원자 또는 분자에서 흡착 및 화학 반응이 발생할 수 있으며, 따라서 이러한 현상은 노드의 밀도에 민감하다.
표면 장력: 물질의 응축은 원자, 이온 또는 분자가 다른 유사한 종에 둘러싸여 있다면 더 안정적이라는 것을 의미한다; 인터페이스의 표면 장력은 따라서 표면의 밀도에 따라 변화한다.
- 모공과 결정체는 밀도가 높은 평면을 따라 곧은 곡물 경계를 갖는 경향이 있다.
- 갈라진 틈
탈구(탈구 변형)
- 탈구 코어는 밀도가 높은 평면에 퍼지는 경향이 있다(탄성 섭동은 "희석"). 이는 마찰력을 감소시킨다(피어-나바로 힘). 밀도가 높은 평면에서 슬라이딩이 더 자주 발생한다.
- 탈구(버거스 벡터)에 의해 전달되는 동요는 밀도가 높은 방향을 따라 움직인다. 밀도가 높은 방향으로 한 노드가 이동하는 것은 왜곡이 적다.
- 탈구선은 밀집된 방향을 따르는 경향이 있고, 탈구선은 종종 직선이며, 탈구 루프는 종종 다각형이다.

이러한 모든 이유로, 평면을 결정하고 따라서 표기법을 갖는 것이 중요하다.

정수 대 비합리적인 밀러 지수: 격자 평면 및 퀘이시크리스탈

일반적으로 밀러 지수는 정의상 항상 정수이며, 이 제약조건은 물리적으로 유의하다. 이를 이해하려면 밀러 a, b, c(위의 정의와 같이 정의됨)가 반드시 정수가 아닌 평면(abc)을 허용한다고 가정하자.

a, b, c가 합리적인 비율을 갖는 경우, a, b, c를 적절히 스케일링하여 정수 지수(hk³)의 관점에서 동일한 평면 계열을 쓸 수 있다: 세 숫자 중 가장 큰 숫자로 나눈 다음 최소 공통 분모로 곱한다. 따라서 정수 밀러 지수는 모든 합리적인 비율을 가진 지수를 암묵적으로 포함한다. 성분(상호-격자 기준)이 합리적인 비율을 갖는 평면이 특별한 관심을 갖는 이유는 격자 평면이기 때문이다. 즉, 결정과 교차점이 2d 주기적인 평면인 평면이 유일하기 때문이다.

a, b, c가 비합리적인 비율을 갖는 평면(abc)의 경우, 반면에 결정과 평면의 교차점은 주기적이지 않다. 그것은 퀘이시크리스탈이라고 알려진 주기적인 패턴을 형성한다. 이 구조는 비합리적인 비율의 밀러 지수를 가진 평면을 이용하여 퀘이시크리스탈을 정의하는 표준적인 "컷 앤드 프로젝트" 방법에 정확하게 대응한다.(펜로즈 타일링과 같은 많은 퀘이시크리스탈은 그러한 하이퍼플라의 둘 이상의 교차점을 포함하는 3차원 이상의 3차원 이상의 주기율 래티스의 "컷"에 의해 형성된다.ne.)

참고 항목

참조

^ Jump up to: ^a ^b ^c Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid state physics. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030839939. OCLC 934604.
^ Weiss, Christian Samuel (1817). "Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den Linien der krystallinischen Structur". Abhandlungen der physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften: 286–336.
^ 옥스퍼드 영어 사전 온라인(2007년 5월 컨설팅)
^ J. W. Edington (1976) 재료 과학에서의 실용적인 전자 현미경 (N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken, Eindhoven) ISBN 1-878907-35-2, 부록 2

외부 링크

IUCR 온라인 결정사전
다이어그램이 포함된 밀러 인덱스 설명
격자 평면 및 밀러 인덱스에 대한 온라인 자습서.
MTEX – 텍스처 분석을 위한 무료 MATLAB 도구 상자
http://sourceforge.net/projects/orilib – 크리스털 오리엔테이션을 위한 특수 도구를 포함하여 회전/방향 조작을 위한 루틴 모음입니다.

[Ash-1] Jump up to: ^a ^b ^c Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid state physics. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030839939. OCLC 934604.

[2] Weiss, Christian Samuel (1817). "Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den Linien der krystallinischen Structur". Abhandlungen der physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften: 286–336.

[3] 옥스퍼드 영어 사전 온라인(2007년 5월 컨설팅)

[4] J. W. Edington (1976) 재료 과학에서의 실용적인 전자 현미경 (N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken, Eindhoven) ISBN 1-878907-35-2, 부록 2

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