라그랑주 수

수학에서 라그랑주 숫자는 합리적인 숫자에 의한 비합리적인 숫자의 근사치와 관련된 경계에서 나타나는 숫자의 순서다.그것들은 후르비츠의 정리와 연결되어 있다.

정의

후르비츠는 피터 구스타프 르주네 디리클레의 비합리성 기준을 다음과 같이 가장 낮은 용어로 쓰여진 합리적인 숫자 p/q가 무한히 많을 경우에만 비합리성이 있다는 진술로 개선했다.

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{{\sqrt{5}q^{2}}.}$

이것은 디리클레의 결과가 오른편 1/4로² 향상되었다.위의 결과는 황금비율 φ이 비합리적이기 때문에 가장 잘 가능하지만 위의 표현에서 √5를 어떤 큰 숫자로 대체한다면 α = φ에 대한 불평등을 충족시키는 합리적인 숫자들만 정밀하게 많이 찾을 수 있을 것이다.

그러나 후르비츠도 숫자 φ을 생략하고 거기서 파생된 숫자를 빼면 √5를 늘릴 수 있다는 것을 보여주었다.사실 그는 우리가 그것을 2/2로 대체할 수 있다는 것을 보여주었다.이번에도 이 새로운 경계는 새로운 설정에서 가장 잘 가능하지만, 이번에는 숫자 √2가 문제다.만약 우리가 √2를 허용하지 않는다면 우리는 불평등 우측의 숫자를 2 22에서 221/5로 늘릴 수 있다.이 과정을 반복하면 numbers5, 2√2, √221/5의 숫자 순서가 무한히 배열되어 3으로 수렴된다.^[1]이 숫자들은 라그랑주 숫자라고 불리며,^[2] 조셉 루이스 라그랑주의 이름을 따서 이름 지어졌다.

마르코프 번호와의 관계

n번째 Lagrange 번호 L은_n 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{\frac {4}{{m_{n}^{2}}:}}}}}}$

여기서 m은_n n번째 마코프 수이며,^[3] 이는 방정식과 같은 n번째 가장 작은 정수 m이다.

${\displaystyle m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy\,}$

x와 y의 양의 정수로 해답이 있다.

참조

• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.
• Conway, J.H.; Guy, R.K. (1996). The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.

외부 링크

• 라그랑주 수.Wolfram Research의 MathWorld로부터.
• 디오판틴 방법의 도입 비합리성과 초월성 - Michel Waldschmidt의 온라인 강의 노트, 24-26페이지의 라그랑주 번호.