IM 67118

Db-146이라고도 알려진 IM 67118은₂ 이라크 국립박물관의 소장품인 오래된 바빌로니아의 점토판으로, 주어진 면적과 대각선의 직사각형과 관련된 평면 기하학 문제에 대한 해결책을 담고 있다.본문의 마지막 부분에서 해답은 피타고라스 정리에 의해 옳다는 것을 증명한다.해법의 단계는 고대 메소포타미아인들이 일찍이 피타고라스의 정리를 도출해냈을지도 모르는 도표를 포함한 잘라낸 붙여넣기 기하학적 연산을 나타내는 것으로 믿어진다.

묘사

이 위패는 1962년 한때 에슈눈나 왕국의 일부였던 현대 바그다드 인근 고대 바빌로니아 정착지인 텔에드디바이에서 발굴됐으며 같은 ^[1][2]해 타하 바키르에 의해 출판됐다.그것은 함무라비가 ^[3]바빌론을 지배한 동시에 에슈눈나를 통치했던 이발 피엘 2세의 통치 기간인 기원전 1770년 경으로 거슬러 올라간다.태블릿의 크기는 11.5×6.8×^[4]3.3cm이다.언어는 아카드어로 쐐기 문자로 쓰여져 있다.태블릿의 앞면에는 19줄, 뒷면에는 6줄의 텍스트가 있다.반대쪽에는 문제의 직사각형과 대각선 중 하나로 구성된 다이어그램도 포함되어 있습니다.이 대각선을 따라 길이가 육진 표기로 기록되고 직사각형의 영역은 ^[5]대각선 아래의 삼각형 영역에 기록된다.

문제와 그 해결책

현대 수학 언어에서 태블릿에 제기되는 문제는 다음과 같습니다. 직사각형의 면적은 A = 0.75이고 대각선 c = 1.25입니다.직사각형의 변의 a와 b의 길이는 얼마입니까?

용액은 2단계로 진행되는 것으로 이해할 수 있는데, 1단계에서는 ${\displaystyle \sqrt{{c2\mathrm{}}^{}}}$- $(\$의 양을 0.25로 계산한다.2단계에서, 정사각형을 완성하는 잘 증명된 올드 바빌로니아 방법은 방정식 b - a = 0.25, ab = 0.^[6]75의 시스템을 효과적으로 풀기 위해 사용된다.기하학적으로 이것은 고대 바빌로니아 ^[7]수학에서 반복되는 문제였던 영역 A와 측면 길이 차이 b-a가 알려진 직사각형의 변의 길이를 계산하는 문제이다.이 경우 b = 1이고 a = 0.75인 것으로 확인됩니다.용액 방법에 따르면 용액을 고안한 사람이 누구든 c - 2A = c² - 2ab = (b - a)²라는 성질을 사용하고² 있었다.그러나 현대 방정식의 표기법과 매개변수와 미지를 문자로 표현하는 관행은 고대에는 없었던 것임을 강조해야 한다.구 바빌로니아 수학의 어휘에 대한 옌스 회룹의 광범위한 분석의 결과로서, IM 67118과 같은 텍스트의 절차의 기초가 ^[8][9]상징적인 대수가 아닌 표준 컷 앤 페이스트 기하 연산 세트였다는 것이 현재 널리 받아들여지고 있다.

Höyrup은 솔루션의 어휘에서 대각선의 제곱인 c를 2A와 동일한 면적을 "절단"하는 기하학적 제곱으로 이해해야 한다고 결론짓는다². 즉, 변이 b - a인 정사각형을 남긴다.Höyrup은 대각선 위의 정사각형은 각각 90°씩 회전하는 직사각형을 4개 복사하여 형성되었을 가능성이 있으며, 영역 2A는 대각선 위의 정사각형에 포함된 4개의 직각 삼각형 영역이었다고 시사한다.나머지는 ^[10]그림 중앙에 있는 작은 정사각형입니다.

주어진 면적 A의 직사각형 변의 길이와 측면 길이 차이 b - a를 계산하는 기하학적 절차는 직사각형 조각 a×θ(b - a)를 잘라내어 직사각형 측면에 붙여 직사각형을 면적 A의 그노몬으로 변환하는 것이었다.그 후 그노몬은 작은 ^[11][7]변 θ(b - a)를 더해 정사각형으로 완성되었다.이 문제에서 완성된 정사각형의 $변$은 A${\displaystyle \sqrt{}}$+ ${\displaystyle \sqrt{1\frac{\mathrm{}}{}\frac{4}{}}}$ (${\displaystyle \sqrt{b}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}a}}$ ) ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}\sqrt{\mathrm{}}0}$.${\displaystyle \sqrt{75}}$+${\displaystyle \sqrt{0.015625}}$ ${\displaystyle =0.875}$({ $displaystyle${ A + { \ $tfrac {$ } { $4$} ( b -$a$ ) { 0.$75 + 0.015625$}$$$= 0.875$로 계산됩니다.그 다음, θ(b - a)=0.125의 양을 정사각형의 수평 변에 더하고 수직 변에서 뺀다.결과 선분은 원하는 ^[11]직사각형의 변입니다.

올드 바빌로니아 기하도를 재구성할 때 한 가지 어려움은 도표가 종종 문제의 공식에 포함되기는 하지만 알려진 태블릿이 절대 해법에 도표를 포함하지 않는다는 것이다(명시적 구성이 텍스트로 기술된 기하학적 해법에서도 마찬가지).Höyrup은 자르고 붙이는 기하학적 형상이 적어도 기하학적 계산을 하는 정신 시설이 ^[12][13]발달하기 전에 서기의 훈련의 초기 단계에서 진흙이 아닌 다른 매체, 아마도 모래나 "먼지 주판"에서 수행되었을 것이라고 주장한다.

프리버그는 두 개의 동심원 정삼각형을 분리하는 띠가 세 개의 사다리꼴로 나뉘는 MS 2192를 포함하여 "그림 속의 도형"을 포함하는 일부 태블릿을 기술합니다.그는 "삼각형 띠의 면적을 사다리꼴 사슬의 면적으로 계산한다는 생각은 사각 띠의 면적을 네 개의 직사각형 사슬의 면적으로 계산한다는 아이디어의 변형이다.이는 단순한 아이디어로 고대 바빌로니아 수학자들이 알고 있었을 가능성이 높지만, 이 아이디어가 구체적으로 어떤 형태로 들어간 쐐기형 수학 텍스트는 아직 발견되지 않았습니다.그는 계속해서 이 아이디어가 ^[14]IM 67118의 본문에 내포되어 있다고 주장한다.그는 또한 두 개의 동심원 정사각형이 표시된 YBC 7329의 도표와 비교를 초대합니다.이 태블릿에서는 정사각형을 구분하는 밴드가 4개의 직사각형으로 분할되어 있지 않지만,^[15] 직사각형 영역 중 하나의 영역 수치가 그림 옆에 표시됩니다.

솔루션 확인

솔루션 b = 1, a = 0.75는 대응하는 변이 있는 정사각형 면적을 계산하고, 이러한 면적을 더하고, 결과 면적이 있는 정사각형의 변 길이를 계산함으로써, 즉 제곱근을 취함으로써 정확함을 증명한다.이것은 피타고라스 $정리$인 ${\displaystyle c\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{{a\mathrm{}}^{}{}^{}}}$ +$$ 2 {\$displaystyle$ c =$brt {a^{2}+b^{2$}의 적용이다.$\}\}\}\}\}\}\},$ 그리고 결과는 지정된 값인 c =^[11][16] 1.25와 일치합니다$.$면적도 맞다는 것은 ^[11]ab라는 곱을 계산하여 검증한다.

번역.

다음 번역은 Briton, Proust 및 Shnider에 의해 제공되며, Höyrup의 ^[17]번역에 기초하고 있습니다.Höyrup은 ^[18]Baqir의 수기 복사와 번역에 기초하고 있으며, 약간의 수정이 있습니다.바빌로니아식 6진수는 쉼표로 구분된 기본 60자리의 10진 표기로 변환됩니다.따라서 1.15는 1 + 15/60 = 5/4 = 1.25를 의미합니다.바빌로니아 체계에는 "성소수점"이 없었기 때문에 60에 숫자를 곱하는 전체 제곱은 문맥에서 추론해야 했다.이 번역은 엘리너 롭슨이 기술한 바와 같이 "원래의 의미와 가능한 한 밀접하게 일치하는 기존 영어 단어 또는 신조어와 일관되게 바빌로니아식 기술 용어를 번역하는 것을 포함한다"며 아카드어 ^[9]어순을 보존하기도 한다.옛 바빌로니아 수학은 기초적인 기하학적 맥락에 따라 곱셈에 다른 단어들을 사용했고, 다른 산술 ^[19]연산에도 비슷하게 사용했어요.

앞면

1. 대각선(직각선)에 대해서, (누군가) 당신에게 묻는다.
2. 따라서 대각선 1,15, 표면 45,
3. 길이와 폭은 무엇에 해당합니까?당신은, 당신의 절차에 의해,
4. 대각선인 1,15는 아래쪽에 놓는다.
5. 1,33,45가 올라오고
6. 1,33,45(?)의 손을 잡을 수 있습니다(?).
7. 45초면 2초면: 1,30초면 올라갑니다.
8. 1,33,45 컷오프:나머지 3,45^[20] 컷오프
9. 3,45테이크의 등변: 15테이크가 올라갑니다.그 반쪽은
10. 7,30이 올라가고 7,30이 올라가고 56,15가 올라갑니다
11. 56,15 네 손손 위로 45초면,
12. 45,56,15가 올라옵니다45,56,15의 등변은 다음과 같습니다.
13. 52,30이 올라오고, 52,30이 올라오고,
14. 당신이 가지고 있던 7,30개
15. 추가: 1개부터
16. 끊어버리다길이는 1이고 폭은 45입니다.길이가 1이면
17. 45 폭, 표면 및 대각선은 무엇에 해당하는가?
18. (당신이) 만드는 것은 길이를 지탱한다:
19. (1이 올라갑니다...) 당신의 머리가 잡히기를 바랍니다.

리버스

20. [...]: 45, 너비, 보류:
21. 33,45가 올라갑니다길이에 맞게 추가:
22. 1,33,45가 올라옵니다.1,33,45의 등변은 다음과 같습니다.
23. 115가 올라오고 대각선 115가 올라갑니다길이
24. 너비 높이까지 45도면 됩니다.
25. 그 ^[21]절차입니다.

문제의 설명은 1 ~3행, 솔루션의 스테이지 1은 3 ~9행, 솔루션의 스테이지 2는 9 ~16행, 솔루션의 검증은 16 ~24행으로 제시되어 있습니다."1,15 당신의 대각선, 그것의 상대부분을 눕히다: 잡게 하다"는 대각선의 수직 복사본을 내려 정사각형을 형성하는 것을 의미하고, "등변"은 정사각형의 변 또는 영역의 제곱근을 의미하며, "당신의 손"은 기억하기를 의미하며, "계산용 패드 또는 장치"를 의미할 수 있습니다.^[11]

다른 텍스트와의 관계

Friberg가 발행한 Schöyen 컬렉션의 태블릿 MS 3971의 문제 2는 IM 67118의 문제와 동일합니다.해법은 매우 유사하지만, 빼는 대신² 2A를 c에 더하는 방식으로 진행됩니다.이 경우 결과 정사각형의 변은 b + a = 1.75입니다.방정식 b + a = 1.75, ab = 0.75의 시스템은 제곱을 완성함으로써 다시 해결된다.MS 3971에는 다이어그램이 포함되어 있지 않으며 검증 단계를 수행하지 않습니다.언어는 "간체"이며 음절 문자인 "상세"^[22] IM 67118과 비교하여 많은 수메르어 로그그램을 사용합니다.프리버그는 이 글이 이라크 남부의 우루크에서 온 것으로 믿고 있으며 기원전 ^[23]1795년 이전으로 거슬러 올라간다.

프리버그는 비슷한 문제가 ^[24]파커가 1972년에 출판한 기원전 3세기 이집트 인구학 파피루스, P. 카이로 문제 34번과 35번에도 나타난다고 지적한다.프리버그는 또한 A.A.와의 연관성을 보고 있다."57 36, 샤르의 상수"라고 쓰여 있는 올드 바빌로니아 상수 TMS 3표의 항목에 대한 바이만의 설명.Vaiman은 샤르에 대한 쐐기형 부호가 제안된 그림과 같이 정사각형으로 배열된 4개의 직각 삼각형 사슬과 유사하다고 지적한다.길이 ^[24]1로 정규화된 빗변의 3-4-5 직각 삼각형을 가정하면 이러한 사슬의 면적은 24/25(6진수로는 57 36과 동일)이다.Höyrup은 IM 67118의 문제에 대해 "1116 ^[25]ce부터 히브리어 매뉴얼로 정확히 같은 방법으로 해결되었다"고 쓰고 있다.

중요성

IM 67118의 문제는 변과 대각선이 3-4-5 직각삼각형의 축척된 버전을 형성하는 특정 직사각형과 관련되어 있지만, 일반적으로 솔루션의 언어는 일반적인 것으로, 사용되는 각 숫자의 기능적 역할을 지정합니다.텍스트의 후반부에서는 특정 값("길이 고정", "너비 상승에 대한 길이")을 참조하지 않고 추상적인 공식을 볼 수 있습니다.Höyrup은 이 "추상적 ^[26]공식에서 '피타고라스 규칙'의 명백한 흔적"을 본다.

피타고라스 법칙의 발견 방법은 알려지지 않았지만, 일부 학자들은 IM 67118에서 사용된 해결 방법에서 가능한 경로를 봅니다.이 관측은을 빼면 2A에서c2 수익률(b는 −)2이 필요할 뿐 증강에 의해 기하학적 재편 지역 해당하는 a2, b2, 그리고 −2A)−2ab를 재배열 증거 규칙을 하나인 잘 알려 진은 근대에 있고 또한 제안한 3세기 CE에서 자오 Shuang의 논평에 고대 중국인 Zho.ub이 쑤안징(주나라의 ^{[27][24][28][29]}고노몬)MS 3971의 문제 2의 해법 공식은 감산 영역이 없기 때문에 훨씬 더 쉽게 ^[27][30]도출할 수 있습니다.

Höyrup은 광범위한 시간과 장소에 걸쳐 다시 나타나는 단어 문제들 사이의 유사성, 그리고 그러한 문제의 언어와 숫자 내용에 기초하는 가설을 제안합니다, 낙서된 오래된 바빌로니아 수학 재료의 많은 부분이 수수께끼 문제를 푸는 것이 사용된 실용적인 조사관 전통으로부터 수입되었습니다.프로페셔널 스킬의 배지입니다.Höyrup은 이 조사관 문화가 기원전 16세기 초 히타이트의 메소포타미아 정복으로 인한 고대 바빌로니아의 낙서 문화에서 살아남았고, 고대 그리스, 셀레우코스 시대의 바빌로니아, 이슬람 제국, 중세 ^[31]유럽의 수학에 영향을 미쳤다고 믿는다.Höyrup이 이러한 실용적인 평가관 전통에 기인하는 문제들 중 하나는 IM 67118의 ^[32]문제를 포함하여 정사각형을 완성해야 하는 많은 직사각형 문제입니다.피타고라스 규칙에 대한 기원전 제3천년의 언급이 알려져 있지 않고 IM 67118의 공식은 이미 낙서 문화에 적응되어 있다는 근거로 Höyrup은 다음과 같이 쓰고 있다. "따라서 이 증거만으로 판단하기 위해서는 피타고라스 규칙이 평신도 조사관 환경 내에서 발견되었을 가능성이 있다.이 문제는₂ DB-146에서 해결되었으며,^[33] 대략 기원전 2300년에서 1825년 사이입니다.따라서 기원전 570년에 태어나 기원전 ^[34]495년에 사망한 피타고라스의 이름을 딴 이 규칙은 그가 태어나기 ^{[citation needed]}약 12세기 전에 발견된 것으로 보인다.

「 」를 참조해 주세요.

• 플림프턴 322
• YBC 7289

메모들

레퍼런스

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• Britton, John P.; Proust, Christine; Shnider, Steve (2011). "Plimpton 322: a review and a different perspective". Archive for History of Exact Sciences. 65 (5): 519–566. doi:10.1007/s00407-011-0083-4. S2CID 120417550.
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• Werr, Lamia Al-Gailani (2005). "Chapter 1: A Museum is Born". In Polk, Milbry; Schuster, Angela M. H. (eds.). The Looting of the Iraq Museum Baghdad: the Lost Legacy of Ancient Mesopotamia. New York: Harry N. Abrams. pp. 27–33. ISBN 9780810958722.

외부 링크

• Cuniform Digital Library Initiative(CDLI) 카탈로그에는 이 문서에서 설명하는 태블릿 항목이 있습니다.
  • IM 67118의 엔트리에는 Taha Baqir의 태블릿 핸드 카피와 태블릿의 사진이 포함됩니다.
  • MS 3179
  • MS 2192
• 쇼옌 컬렉션의 MS 2192.
• 예일 바빌로니아 컬렉션의 YBC 7359.
• Lion de Tell Harmal(IM 52560)은 태블릿의 뒷면 사진과 인근 사이트의 유물 사진을 포함한 IIe Milléné debut debut du IIe millé.