해밀턴 시뮬레이션

해밀턴 시뮬레이션(양자 시뮬레이션이라고도 함)은 양자 시스템을 시뮬레이션하기 위해 필요한 계산 복잡성과 양자 알고리즘을 찾으려는 양자 정보 과학의 문제이다.해밀턴 시뮬레이션은 양자 상태의 진화를 효율적으로 구현하는 알고리즘을 요구하는 문제이다.해밀턴 시뮬레이션 문제는 리처드 파인만이 1982년에 제안한 것으로, 일반적인 해밀턴 시뮬레이션이 시스템 ^[1]크기에 대해 기하급수적으로 증가하는 것처럼 보이기 때문에 가능한 해결책으로 양자 컴퓨터를 제안했다.

문제문

해밀턴식 시뮬레이션 문제에서는 $시간$ t\ $displaystyle$ t $t$ 와 최대 시뮬레이션 $오류$ $\epsilon$ δ\ $displaystyle \epsilon$ } 의 해밀턴식 H $($ $2^{n}\times 2^{n}$ × $2^{n}\times 2^{n}$ $\displaystyle$ 2 $^{n$ $}$ $n$ 에 $n$ $작용$ 하는 2n\times $2^{n}\times 2^{n}$ 2 $^{n$ }) 이 주어진 알고리즘을 찾는 것이 목표입니다. $U$ $||U-e^{-iHt}||\leq \epsilon$ - $||U-e^{-iHt}||\leq \epsilon$ - $||U-e^{-iHt}||\leq \epsilon$ $||U-e^{-iHt}||\leq \epsilon$ $≤$ { - i $Ht }$ \ $leq \epsilon$ $e^{-iHt}$ $e^{-iHt}$ - i $Ht$ } ）。 $||U-e^{-iHt}||\leq \epsilon$ - $e^{-iHt}$ \ display $style$ e^ { - i $Ht$ }는 $e^{{-iHt}}$ 이상적인 $||\cdot ||$ 진화이고 $||\cdot ||$ \ $display$ $style$ \ $cdot$ ）는 스펙트럼 $U$ 표준이다.해밀턴 시뮬레이션 문제의 특별한 경우는 국소 해밀턴 시뮬레이션 문제입니다.이것은 H $({$ $displaystyle$ H $})$ 가 $H$ n ${displaystyle$ n $}$ 의 $n$ k-local Hamiltonian인 $H$ 입니다. $H=\sum _{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}$ 서 H $=$ j $H=\sum _{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}$ $H=\sum _{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}$ 1 $H=\sum _{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}$ $H=\sum _{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}$ _ \ $sum$ _ { $j$ \ $mathop$ { = $H=\sum _{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}$ } { }^{ $m$ }H_ ${j}$ $H_{j}$ $({$ 는 $H_{j}$ n ${$ ^[2] $displaystyle$ n $}$ 큐비트가 $n$ $아닌$ $최대$ k ${displaystyle$ k $}$ 큐비트에 $k$ 대해 비삼중적으로 동작합니다.자연에서 발생하는 대부분의 해밀턴인은 ^[2]k-국소이기 때문에 국소 해밀턴 시뮬레이션 문제가 중요하다.

기술

제품 공식

트로터 공식 또는 트로터-스즈키 분해라고도 하는 제품 공식은 작은 시간 ^[3]^[4]조각 동안 각각을 시뮬레이션하여 해밀턴의 용어 합계를 시뮬레이션합니다.H $H=A+B+C$ $H=A+B+C$ + $H=A+B+C$ + $H=A+B+C$ {\ $displaystyle$ H $=A+B+C$ 일 $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ U $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ - $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ ( $A$ + $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ + $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ ) $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ ( $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ - $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ / r - $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ / r ) $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ \ $style$ U = $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ e - $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ $t$ / r $U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}$ （ C + C $）$ e. r $\displaystyle$ 클수록 시뮬레이션의 정확도가 높아집니다.

해밀턴 행렬이 스파스 행렬로 표현될 경우 분산 에지 색칠 알고리즘을 사용하여 용어를 합산하여 트로터-스즈키 ^[5]알고리즘으로 시뮬레이션할 수 있습니다.

테일러 시리즈

${\$ $}=$ I-iHt- ${\frac$ ^[6] ${H^{2}t^{$ 2}}{2 $}}+{\frac$ { $iH^{3}t^{$ 3}}{6 $}+\$ cdots $e^{-iHt}=\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}=I-iHt-{\frac {H^{2}t^{2}}{2}}+{\frac {iH^{3}t^{3}}{6}}+\cdots$ $}.$ 이것은 양자 상태의 진화 동안, 해밀턴이 다양한 횟수의 반복으로 계속해서 시스템에 적용된다는 것을 말한다.첫 번째 항은 항등행렬이기 때문에 시스템이 적용될 때 변경되지 않지만 두 번째 항에서는 해밀턴이 한 번 적용됩니다.실제 구현에서는 시리즈를 $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ 잘라내야 합니다( $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ n $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ 0 $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ N ( - $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ ) $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ n ! $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ ) $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ { $displaystyle$ \left ( \ $sum _$ ${$ n \ $mathop$ { = $\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)$ } 0 }^{ $N}{\frac$ {(-iHt $)^{n}}$ { $n}!).$ $}}\오른쪽$ N $(\displaystyle$ N $N$ 이 클수록 ^[7]시뮬레이션이 정확도가 높아집니다.이 잘린 확장은 해밀턴 ^[6]시뮬레이션을 위해 LCU(유니터리) 기술의 선형 조합을 통해 구현된다.즉, $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ H $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ = $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ L $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ H $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ {\ $sum$ _ ${\ell$ = $1}^{L}\alpha$ _ ${\ell}H_{\ell}}$ 를 $H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }$ 분해하여 $H_{\ell }$ H $H_{\ell }$ {\ $displaystyle$ H_ ${\ell}}$ 가 $H_{\ell }$ (항상 Pauli 연산자의 경우) 유니터리임을 나타낸다. $H$ $H_{\ell$ _ ${1}}\cdots$ H_ ${\ell$ _ ${n}}$ 도 $H^{n}=\sum _{\ell _{1},\ldots ,\ell _{n}=1}^{L}\alpha _{\ell _{1}}\cdots \alpha _{\ell _{n}}H_{\ell _{1}}\cdots H_{\ell _{n}}$ 유니터리들의 선형 조합이다.

퀀텀 워크

양자 워크에서는 스펙트럼이 해밀턴에 관련된 유니터리 연산을 실시하여 양자 위상 추정 알고리즘을 사용하여 고유값을 조정한다.따라서 해밀턴을 트로터 스즈키 방법처럼 ^[6]용어집합으로 분해할 필요가 없습니다.

양자 신호 처리

양자 신호 처리 알고리즘은 해밀턴의 고유값을 안킬라 큐비트로 변환하고, 단일 쿼비트 회전을 통해 고유값을 변환하고 마지막으로 안킬라를 ^[8]투영함으로써 작동합니다.해밀턴 시뮬레이션에 ^[8]관한 한 쿼리 복잡성에 최적이라는 것이 증명되었다.

복잡성

위에 언급된 해밀턴 시뮬레이션 알고리즘의 복잡도 표.해밀턴 시뮬레이션은 두 가지 방법으로 연구될 수 있다.이것은 해밀턴이 어떻게 주어지는가에 달려있다.명시적으로 지정되어 있는 경우 문의 복잡성보다 게이트의 복잡성이 더 중요합니다.Hamiltonian을 Oracle(블랙박스)로 설명하는 경우 회로의 게이트 카운트보다 Oracle에 대한 쿼리 수가 더 중요합니다.다음 표는 앞에서 설명한 기법의 게이트 및 쿼리 복잡성을 보여줍니다.

기술.	게이트 복잡도	질의의 복잡성
제품식 1차 주문	$O\left({\frac {t^{2}}}{\epsilon }}}\right)$ ^[7]	$({displaystyle O\left(d^{3}t\left({\frac {dt}{\epsilon}}}\right)^{\frac {1}{2}k}\right)})$ ^[9]
테일러 시리즈	$O\left({\frac {t\log ^{2}\left({\frac {t}{\epsilon}}}\right)}{\log \frac {t}{\epsilon }}}}}\right}$ ^[7]	$O\left({\frac {d^2} H_{max}}\log {\epsilon}}{\log \frac {d^2} H_{max}}}{\epsilon }}}}\right$ ^[6]
퀀텀 워크	$O\left(\frac {t}{\sqrt {epsilon }}\오른쪽)$ ^[7]	$O\left(d H_{max}{\sqrt {epsilon }}\오른쪽)$ ^[5]
양자 신호 처리	$O\left(t+\log {1}{\epsilon }}\right)$ ^[7]	$O\left(td H _{max}+{\frac {1}{\epsilon }}}{\log \frac {1}{\epsilon }}}\right}$ ^[8]

$||H||_{max}$ 서 H $||H||_{max}$ $||H||_{max}$ x ({ $displaystyle$ H _ ${max})$ 는 $||H||_{max}$ H $({displaystyle$ H $H$ 의 최대 엔트리입니다.

레퍼런스

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