양자 신호 처리

양자 신호 처리는 질의 복잡성에서 최적의 하한을 가진 해밀턴 시뮬레이션 알고리듬입니다.고유값 변환을 사용하여 양자 보행 연산자를 선형화합니다.양자 보행에는 일정한 수의 쿼리가 필요합니다.따라서 양자 신호 처리 비용은 양자 보행 연산자에 대한 일정한 호출 수, 고유값 변환을 지원하는 단일 큐비트 양자 게이트 수 및 안시자 ^[1]큐비트에 따라 달라집니다.

고유값 변환

$W|u_{i}\rangle =e^{i\theta _{i}}|u_{i}\rangle$ $Wui$ $=$ $W|u_{i}\rangle =e^{i\theta _{i}}|u_{i}\rangle$ $θ$ ii $A=f(W)=\sum _{i}e^{if(\theta _{i})}\left|u_{i}\right\rangle \langle u_{i}|$ \ $rangle$ $A=f(W)=\sum _{i}e^{if(\theta _{i})}\left|u_{i}\right\rangle \langle u_{i}|$ $e^{i\theta$ _{ $i} u_{i}\$ $rangle$ $W|u_{i}\rangle =e^{i\theta _{i}}|u_{i}\rangle$ $}$ 가 주어지면, A $=$ ( $A=f(W)=\sum _{i}e^{if(\theta _{i})}\left|u_{i}\right\rangle \langle u_{i}|$ $=$ if (W) $u$ i (\ $sumi) if$ {\ $le$ 의 $예$ 에 대해 A = f $A=f(W)=\sum _{i}e^{if(\theta _{i})}\left|u_{i}\right\rangle \langle u_{i}|$ (W) ⟨ $A=f(W)=\sum _{i}e^{if(\theta _{i})}\left|u_{i}\right\rangle \langle u_{i}|$ { $i}$ 를 $A=f(W)=\sum _{i}e^{if(\theta _{i})}\left|u_{i}\right\rangle \langle u_{i}|$ 합니다. $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ W $=$ [ $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ e $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ e $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ 3 $W={\begin{bmatrix}e^{i\theta _{1}}&0&0\\0&e^{i\theta _{2}}&0\\0&0&e^{i\theta _{3}}\end{bmatrix}}$ ] {{ $displaystyle$ W=displaystyle $W{\displaybegin{bmatrix}e$ ^{ $i\theta_{1}}&0\0&0&e^{i\theta_{2}}&0\theta_{3}\end{bmatrix$ $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ $=$ [ ( $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ if ( $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ if ( $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ if ( $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ ) if ( $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ ) if ( $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ ) 0 e if (e) $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ 0 $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ e $A={\begin{bmatrix}e^{if(\theta _{1})}&0&0\\0&e^{if(\theta _{2})}&0\\0&0&e^{if(\theta _{3})}\end{bmatrix}}$ (\ $theta$ _ ${1}) ]$ $디스플레이 스타일$ A = $0$ begin ${bmatrix}e^{if (\theta$ _ ${2})}&$ 0& $0&e^{if (\theta _3}\end{bmatrix$

알고리즘.

입력: 해밀턴

({displaystyle

H

H

가 주어지면 2개의

O_{H}

오라클

({

와

O_{H}

({

를 사용하여 양자 보행

연산자

W

({displaystyle

W})를

W

정의합니다.

O_{H}

{\

H}는

O_{H}

입력

j

{\displaystyle

j

j

}

및

k

{\displaystyle

k}(

k

j {\displaystyle

j

}

는

j

해밀토니안의

k

행이고

k {\

displaystyle

k}는 열)을 받고

\langle j|H\left|k\right\rangle

\langle j|H\left|k\right\rangle

\langle j|H\left|k\right\rangle

k

⟩

{\

displaystyle j

\

le

j \le

k\right\rangle

을 출력합니다.그래서

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

=

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

⟩

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

j ,

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

⟩

O_{H}=|j\rangle |k\rangle |l\rangle =|j\rangle |k\rangle |l\oplus H_{j,k}\rangle

\

displaystyle

O_

{H

}

= j\rangle

k

\rangle

l

\rangle

=

j\rangle

k

\rangle

l

\oplus

H_

{j,k}\rangle

({

는

O_{F}

j

{displaystyle

j} 및

j

l

{displaystyle

l

}

j

을 수락하고

l

H

{

displaystyle

H

H

의

j^{th}

j번째

({

displaystyle

j

^{

th})

행에서

0이 아닌

j^{th}

요소를

계산합니다

e^{iHt}

:

({

e^{

iHt})

입력 상태 $\theta$ »{{ $displaystyle \theta}$
제어 게이트 정의 $c-W$ $c-W$ - W $($ $스타일 c-W)$
$θ$ $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ \ displaystyle \ $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ O $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ H $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ + $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ ⁡ $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ log ⁡ $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ ϵ $log ⁡$ $▁)$ )를 $포함$ 하는 레지스터에 c - $c-W$ \ $displaystyle c-W$ 의 $c-W$ 후속 $c-W$ $c-W$ 프로그램에 단일 큐비트 $게이트$ 를 반복적으로 적용합니다 $.$ ${1}{\epsilon }}}$ 회 $O(td||H||_{max}+{\frac {\log {\frac {1}{\epsilon }}}{\log \log {\frac {1}{\epsilon }}}})$ ).

레퍼런스

^ ^a ^b Low, Guang Hao; Chuang, Isaac (2017). "Optimal Hamiltonian Simulation by Quantum Signal Processing". Physical Review Letters. 118 (1): 010501. arXiv:1606.02685. Bibcode:2017PhRvL.118a0501L. doi:10.1103/PhysRevLett.118.010501. PMID 28106413. S2CID 1118993.
^ Guan Hao Low (January 17, 2017). Optimal Hamiltonian simulation by quantum signal processing (YouTube). Retrieved September 9, 2019.

[LC2016-1] Low, Guang Hao; Chuang, Isaac (2017). "Optimal Hamiltonian Simulation by Quantum Signal Processing". Physical Review Letters. 118 (1): 010501. arXiv:1606.02685. Bibcode:2017PhRvL.118a0501L. doi:10.1103/PhysRevLett.118.010501. PMID 28106413. S2CID 1118993.

[2] Guan Hao Low (January 17, 2017). Optimal Hamiltonian simulation by quantum signal processing (YouTube). Retrieved September 9, 2019.

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