GPOPS-II

GPOPS-II
개발자	마이클 패터슨과 아닐 5세입니다 라오
초기 릴리즈	2013년 1월, 9년전(
안정된 릴리스	2.0 / 2015년 9월 1일, 6년전(
기입처	매트랩
운영 체제	Mac OS X, Linux, Windows
이용가능기간:	영어
유형	수치 최적화 소프트웨어
면허증.	K - 12 또는 강의실 전용으로 전매품.무료.라이센스 요금은 모든 교육용, 영리 목적 외, 상업용(교실 외)에 적용됩니다.
웹 사이트	gpops2.com

GPOPS-II("GPOPS 2"로 발음)는 hp-adaptive 가우스 직교 코로케이션 및 스파스 비선형 프로그래밍을 사용하여 연속 최적 제어 문제를 해결하기 위한 범용 MATLAB 소프트웨어이다.약자 GPOPS는 "General Purpose OPtimal Control Software"를 의미하며, 로마 숫자 "II"는 GPOPS-I가 두 번째 유형의 소프트웨어(가우스 직교 통합 사용)라는 사실을 의미한다.

문제의 공식화

GPOPS-II는^[3] 다음과 같은 수학적 형태의 다상 최적 제어 문제를 해결하도록 설계되었습니다( $P$ 서 P $\display P$ 는 $P$ 위상수).

\displaystyle \min J=\phi(\mathbf {e}^{(1)},\ldots,\mathbf {e}^{(P)})}

동적 제약을 받다

{\displaystyle {\mathbf {y}^{(t)=\mathbf {a}^{(p)}(t),\mathbf {u}(t),\mathbf {s},\dots(p=1,\ldots,P)},

사건의 제약

\displaystyle \mathbf {b} _{\min} \leq \mathbf {b} (\mathbf {e}^{(1)},\ldots,\mathbf {e}^{(P)},\mathbf {s})\leq \mathbf {b}

불평등 경로 제약

\displaystyle \mathbf {c}_{\min}^{(p)}\leq \mathbf {c}(\mathbf {y}^{(p)}(t),t,\mathbf {s})\leq \mathbf {c}_{\maxp}(p})^{c}(\mathbf {c})

정적 매개 변수 제약 조건

\displaystyle \mathbf {s} \leq \mathbf {s} \leq \mathbf {s} _{\max }

그리고 필수적인 제약조건은

\mathbf {q}_{\min}^{(p)}\leq \mathbf {q}_{\max }^{(p)},\dots(p=1,\ldots,P),}

어디에

\mathbf {e}^{(p)}=\left[\mathbf {y}^{(p)}, t_{0}^{(p)}, \mathbf {y}^{(p)}(t_{f}, t_{f}^{(p)}, \mathbf}{p} {mathbf}{p} {mathbf} {p} {p

각 단계의 통합은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle q_{i}^{{i}^{(p)}=\int _{t_{f}^{(p)}}g_{i}^{(p)}(t),\mathbf {u}^{(p)}(t),\mathbf {u}^{(p}(t,t)=d)}

사건 제약조건은 (정적 매개변수와 적분을 모두 포함하는 관계를 포함) 모든 단계의 시작 및/또는 종료와 관련된 모든 기능을 포함할 수 있으며 단계 자체가 순차적일 필요는 없다는 점에 유의해야 한다.연계 단계에 대한 접근법은 ^[4]문헌에 잘 알려진 공식에 기초하고 있다는 점에 주목한다.

GPOPS-II에서 사용하는 방법

GPOPS-II는 h $p$ \ $displaystyle$ hp \ adaptive $hp$ Gauss quadrature collocation이라고 $하는$ 메서드의 클래스를 사용합니다.여기서 코로케이션포인트는 가우스 직교점(이 경우 Legendre-Gauss-Radau [LGR]포인트)의 노드입니다.메시는 각 위상의 총 시간 $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ t $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ ) [ [ $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ 0 ( $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ ) $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ f ( $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ ) $]{$ $displaystyle$ t^ { ( p ) }\ $in$ [ $t$ _ { $0$ }^{ ( $p$ ) , $t$ _ { $f$ }^{ ( p ) $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ } }이 $t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]$ 분할된 간격으로 LGR 콜리케이션이 실행됩니다. $\mathbf {y} ^{(p)}(t)$ y $\mathbf {y} ^{(p)}(t)$ $\mathbf {y} ^{(p)}(t)$ ) ( $\mathbf {y} ^{(p)}(t)$ ) \ $displaystyle \mathbf {y}^{(p)}(t)$ }의 $\mathbf {y} ^{(p)}(t)$ 근사치에 사용되는 다항식의 정도와 각 메쉬 간격의 폭이 간격에 따라 다를 수 있도록 메쉬를 조정할 수 있으므로 이 방법은 $h$ $\displaystyle$ hp $}$ - 적응법 $hp$ ( $여기$ 서 h ${})$ 이라고 한다. $\displaystyle$ h $h$ 는 각 메쉬 간격의 폭을 나타내고 p $\displaystyle$ p $p$ 는 각 메쉬 간격의 다항식을 나타냅니다.LGR 코로케이션 방법은 Refs에서 엄격하게 $hp$ 되었으며 $,$ h $p$ \ $displaystyle$ hp } - LGR 코로케이션 방법에 $hp$ 기반한 적응형 메쉬 미세화 방법은 Refs,^[8]^[9]^[10]^[11] 에서 확인할 수 있습니다.^[5]^[6]^[7]

발전

GPOPS-II의 개발은 2007년에 시작되었다.소프트웨어의 코드 개발명은 OptimalPrime이었으나 Gauss 의사 스펙트럼법을 사용하여 글로벌 코로케이션을 구현한 GPOPS의 원래 버전을 유지하기 위해 2012년 말에 GPOPS-II로 변경되었습니다.GPOPS-II의 개발은 오픈 소스 알고리즘 차별화 패키지 ADiGator를 포함한 개선과 $최적$ 의 $hp$ 제어를 $위한$ 적응형메쉬 정제 방법의 $hp$ 인 개발을 포함하여 오늘날에도 계속되고 있다.

GPOPS-II의 응용 프로그램

GPOPS-II는 학계 및 산업계 모두에서 전 세계적으로 광범위하게 사용되고 있습니다.어디 GPOPS-II 사용되어 왔다 출판된 학술 연구 Refs.,[14][15][16]소프트웨어 포뮬러 원 경주용 차들, Ref.[17]소프트웨어 소프트웨어 인간 perfo 위해 사용되어 왔다low-thrust 궤도 transfers,[18]의 minimum-time 최적화 사용되었다는 성능 최적화와 같은 응용 프로그램에 사용되어 포함한다.사이클에 rmance,소프트 달착륙에 소프트웨어가 사용된 부분과 이족 보행 로봇의 움직임을 최적화하기 위해 소프트웨어가 사용된 부분.^[19]^[20]

레퍼런스

^ "People".
^ 아닐 V 웹사이트라오
^ Patterson, M. A.; Rao, A. V. (2014). "GPOPS-II: A MATLAB Software for Solving Multiple-Phase Optimal Control Problems Using hp-Adaptive Gaussian Quadrature Collocation Methods and Sparse Nonlinear Programming". ACM Transactions on Mathematical Software. 41 (1): 1:1–1:37. doi:10.1145/2558904.
^ Betts, John T. (2010). Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming. Philadelphia: SIAM Press. doi:10.1137/1.9780898718577. ISBN 9780898718577.
^ Garg, D.; Patterson, M. A.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; Benson, D. A.; Huntington, G. T. (2010). "A Unified Framework for the Numerical Solution of Optimal Control Problems Using Pseudospectral Methods". Automatica. 46 (11): 1843–1851. doi:10.1016/j.automatica.2010.06.048.
^ Garg, D.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "Pseudospectral Methods for Solving Infinite-Horizon Optimal Control Problems". Automatica. 47 (4): 829–837. doi:10.1016/j.automatica.2011.01.085.
^ Garg, D.; Patterson, M. A.; Darby, C. L.; Francolin, C.; Huntington, G. T.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "Direct Trajectory Optimization and Costate Estimation of Finite-Horizon and Infinite-Horizon Optimal Control Problems Using a Radau Pseudospectral Method". Computational Optimization and Applications. 49 (2): 335–358. CiteSeerX 10.1.1.663.4215. doi:10.1007/s10589-009-9291-0. S2CID 8817072.
^ Darby, C. L.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "An hp-Adaptive Pseudospectral Method for Solving Optimal Control Problems". Optimal Control Applications and Methods. 32 (4): 476–502. doi:10.1002/oca.957.
^ Darby, C. L.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "Direct Trajectory Optimization Using a Variable Low-Order Adaptive Pseudospectral Method". Journal of Spacecraft and Rockets. 48 (3): 433–445. Bibcode:2011JSpRo..48..433D. CiteSeerX 10.1.1.367.7092. doi:10.2514/1.52136.
^ Patterson, M. A.; Hager, W. W.; Rao, A. V. (2011). "A ph Mesh Refinement Method for Optimal Control". Optimal Control Applications and Methods. 36 (4): 398–421. doi:10.1002/oca.2114.
^ Liu, F.; Hager, W. W.; Rao, A. V. (2015). "Adaptive Mesh Refinement for Optimal Control Using Nonsmoothness Detection and Mesh Size Reduction". Journal of the Franklin Institute - Engineering and Applied Mathematics. 352 (10): 4081–4106. doi:10.1016/j.jfranklin.2015.05.028.
^ Rao, A. V.; Benson, D. A.; Darby, C. L.; Patterson, M. A.; Francolin, C.; Sanders, I.; Huntington, G. T. (2010). "GPOPS: A MATLAB Software for Solving Multiple-Phase Optimal Control Problems Using the Gauss Pseudospectral Method". ACM Transactions on Mathematical Software. 37 (2): 22:1–22:39. doi:10.1145/1731022.1731032. S2CID 15375549.
^ Weinstein, M. J.; Rao, A. V. "ADiGator: A MATLAB Toolbox for Algorithmic Differentiation Using Source Transformation via Operator Overloading". ADiGator.
^ Perantoni, G.; Limebeer, D. J. N. (2015). "Optimal Control of a Formula One Car on a Three-Dimensional Track—Part 1: Track Modeling and Identification". Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 137 (2): 021010. doi:10.1115/1.4028253.
^ Limebeer, D. J. N.; Perantoni, G. (2015). "Optimal Control of a Formula One Car on a Three-Dimensional Track—Part 2: Optimal Control". Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 137 (5): 051019. doi:10.1115/1.4029466.
^ Limebeer, D. J. N.; Perantoni, G.; Rao, A. V. (2014). "Optimal Control of Formula One Car Energy Recovery Systems". International Journal of Control. 87 (10): 2065–2080. Bibcode:2014IJC....87.2065L. doi:10.1080/00207179.2014.900705. S2CID 41823239.
^ Graham, K. F.; Rao, A. V. (2015). "Minimum-Time Trajectory Optimization of Many Revolution Low-Thrust Earth-Orbit Transfers". Journal of Spacecraft and Rockets. 52 (3): 711–727. doi:10.2514/1.a33187. S2CID 43633680.
^ Dahmen, T.; Saupeand, D. (2014). "Optimal pacing strategy for a race of two competing cyclists". Journal of Science and Cycling. 3 (2).
^ Moon, Y; Kwon, S (2014). "Lunar Soft Landing with Minimum-Mass Propulsion System Using H2O2/Kerosene Bipropellant Rocket System". Acta Astronautica. 99 (May–June): 153–157. Bibcode:2014AcAau..99..153M. doi:10.1016/j.actaastro.2014.02.003.
^ Haberland, M.; McClelland, H.; Kim, S.; Hong, D. (2006). "The Effect of Mass Distribution on Bipedal Robot Efficiency". International Journal of Robotics Research. 25 (11): 1087–1098. doi:10.1177/0278364906072449. S2CID 18209459.

외부 링크

[Patterson-1] "People".

[Rao-2] 아닐 V 웹사이트라오

[GPOPS-II-Article-3] Patterson, M. A.; Rao, A. V. (2014). "GPOPS-II: A MATLAB Software for Solving Multiple-Phase Optimal Control Problems Using hp-Adaptive Gaussian Quadrature Collocation Methods and Sparse Nonlinear Programming". ACM Transactions on Mathematical Software. 41 (1): 1:1–1:37. doi:10.1145/2558904.

[Betts-Practical-4] Betts, John T. (2010). Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming. Philadelphia: SIAM Press. doi:10.1137/1.9780898718577. ISBN 9780898718577.

[Garg-Unified-5] Garg, D.; Patterson, M. A.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; Benson, D. A.; Huntington, G. T. (2010). "A Unified Framework for the Numerical Solution of Optimal Control Problems Using Pseudospectral Methods". Automatica. 46 (11): 1843–1851. doi:10.1016/j.automatica.2010.06.048.

[Garg-Infinite-6] Garg, D.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "Pseudospectral Methods for Solving Infinite-Horizon Optimal Control Problems". Automatica. 47 (4): 829–837. doi:10.1016/j.automatica.2011.01.085.

[Garg-Radau-7] Garg, D.; Patterson, M. A.; Darby, C. L.; Francolin, C.; Huntington, G. T.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "Direct Trajectory Optimization and Costate Estimation of Finite-Horizon and Infinite-Horizon Optimal Control Problems Using a Radau Pseudospectral Method". Computational Optimization and Applications. 49 (2): 335–358. CiteSeerX 10.1.1.663.4215. doi:10.1007/s10589-009-9291-0. S2CID 8817072.

[Darby-hp1-8] Darby, C. L.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "An hp-Adaptive Pseudospectral Method for Solving Optimal Control Problems". Optimal Control Applications and Methods. 32 (4): 476–502. doi:10.1002/oca.957.

[Darby-hp2-9] Darby, C. L.; Hager, W. W.; Rao, A. V.; et al. (2011). "Direct Trajectory Optimization Using a Variable Low-Order Adaptive Pseudospectral Method". Journal of Spacecraft and Rockets. 48 (3): 433–445. Bibcode:2011JSpRo..48..433D. CiteSeerX 10.1.1.367.7092. doi:10.2514/1.52136.

[Patterson-ph-10] Patterson, M. A.; Hager, W. W.; Rao, A. V. (2011). "A ph Mesh Refinement Method for Optimal Control". Optimal Control Applications and Methods. 36 (4): 398–421. doi:10.1002/oca.2114.

[Liu-hp-11] Liu, F.; Hager, W. W.; Rao, A. V. (2015). "Adaptive Mesh Refinement for Optimal Control Using Nonsmoothness Detection and Mesh Size Reduction". Journal of the Franklin Institute - Engineering and Applied Mathematics. 352 (10): 4081–4106. doi:10.1016/j.jfranklin.2015.05.028.

[GPOPS-12] Rao, A. V.; Benson, D. A.; Darby, C. L.; Patterson, M. A.; Francolin, C.; Sanders, I.; Huntington, G. T. (2010). "GPOPS: A MATLAB Software for Solving Multiple-Phase Optimal Control Problems Using the Gauss Pseudospectral Method". ACM Transactions on Mathematical Software. 37 (2): 22:1–22:39. doi:10.1145/1731022.1731032. S2CID 15375549.

[13] Weinstein, M. J.; Rao, A. V. "ADiGator: A MATLAB Toolbox for Algorithmic Differentiation Using Source Transformation via Operator Overloading". ADiGator.

[Perantoni-Part-I-14] Perantoni, G.; Limebeer, D. J. N. (2015). "Optimal Control of a Formula One Car on a Three-Dimensional Track—Part 1: Track Modeling and Identification". Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 137 (2): 021010. doi:10.1115/1.4028253.

[Limebeer-Part-II-15] Limebeer, D. J. N.; Perantoni, G. (2015). "Optimal Control of a Formula One Car on a Three-Dimensional Track—Part 2: Optimal Control". Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 137 (5): 051019. doi:10.1115/1.4029466.

[Limebeer-KERS-16] Limebeer, D. J. N.; Perantoni, G.; Rao, A. V. (2014). "Optimal Control of Formula One Car Energy Recovery Systems". International Journal of Control. 87 (10): 2065–2080. Bibcode:2014IJC....87.2065L. doi:10.1080/00207179.2014.900705. S2CID 41823239.

[17] Graham, K. F.; Rao, A. V. (2015). "Minimum-Time Trajectory Optimization of Many Revolution Low-Thrust Earth-Orbit Transfers". Journal of Spacecraft and Rockets. 52 (3): 711–727. doi:10.2514/1.a33187. S2CID 43633680.

[18] Dahmen, T.; Saupeand, D. (2014). "Optimal pacing strategy for a race of two competing cyclists". Journal of Science and Cycling. 3 (2).

[Moon-Kwon-19] Moon, Y; Kwon, S (2014). "Lunar Soft Landing with Minimum-Mass Propulsion System Using H2O2/Kerosene Bipropellant Rocket System". Acta Astronautica. 99 (May–June): 153–157. Bibcode:2014AcAau..99..153M. doi:10.1016/j.actaastro.2014.02.003.

[Haberland-20] Haberland, M.; McClelland, H.; Kim, S.; Hong, D. (2006). "The Effect of Mass Distribution on Bipedal Robot Efficiency". International Journal of Robotics Research. 25 (11): 1087–1098. doi:10.1177/0278364906072449. S2CID 18209459.

[1]

[2]

[3]

[4]

[8]

[9]

[10]

[11]

[5]

[6]

[7]

[19]

[20]

v t 수학적 최적화 소프트웨어
data 형식	매스매티카 MPS nl 솔
모델링 도구	AIMMS 앰프 AP 모니터 ECLiPSe-CLP 겟코 GAMS GNU MathProg JUMP 린도 OPL 매스매티카 OptimJ 식물체의 섬유를 추출한 것 표모 탐랩 엑스프레스 모젤 ZIMPL
LP, MILP^∗ 솔버	APOPT^∗ 안티고네^∗ 아르텔리스 니트로^∗ BCP^∗ CLP CBC^∗ 컴플렉스^∗ 포트 MP^∗ GCG^∗ 동작하지 않다^∗ GLPK/GLPSOL^∗ 린도^∗ Lp_solve 동작하지 않다 매스매티카 미노스 민토^∗ 모섹^∗ NAG SCIP^∗ SoPlex 옥터랙트 엔진^∗ 심포니^∗ Xpress 옵티마이저^∗
QP, MIQP^∗ 솔바	APOPT^∗ 안티고네^∗ 아르텔리스 니트로^∗ CBC^∗ CLP 컴플렉스^∗ 포트 MP^∗ IPOPT 린도^∗ 매스매티카 미노스 모섹^∗ NAG 옥터랙트 엔진^∗ SCIP^∗ Xpress 옵티마이저^∗
QCP, MIQCP^∗ 솔버	APOPT^∗ 안티고네^∗ 아르텔리스 니트로^∗ 컴플렉스^∗ IPOPT 린도^∗ 매스매티카 미노스 모섹^∗ NAG SCIP^∗ 옥터랙트 엔진^∗ Xpress 옵티마이저^∗ Xpress 비선형^∗
SOCP, MISOCP^∗ 솔버	아르텔리스 니트로^∗ 컴플렉스^∗ 린도^∗ 동작하지 않다 매스매티카 모섹^∗ NAG SCIP^∗ Xpress 옵티마이저^∗
SDP, MISDP^∗ 솔바	매스매티카 모섹 NAG
NLP, MINLP^∗ 솔버	AOA^∗ APOPT^∗ 안티고네^∗ 아르텔리스 니트로^∗ 남작^∗ 쿠엔^∗ 갈라하드 라이브러리 IPOPT 린도^∗ 동작하지 않다 미다코^∗ 미노스 NAG NLPQLP NPSOL SCIP^∗ 스눕트^∗ 옥터랙트 엔진^∗ 동작하고 있다 Xpress 비선형^∗
GO솔러	안티고네^∗ 남작 쿠엔^∗ 매스매티카 린도 SCIP 옥터랙트 엔진
CP솔러	아르텔리스 칼리스 혜성 CPLEX CP 옵티마이저 게코드 매스매티카 JaCoP 엑스프레스 칼리스
메타휴리스틱솔러	옵타플래너
최적화 소프트웨어 목록 최적화 소프트웨어 비교

Search