페르미온장

양자장 이론에서, 페르미온 장은 페르미온인 양자장이다. 즉, 그들은 페르미-디락 통계에 복종한다. 페르미오닉 장은 보소닉 영역의 표준적 정류 관계보다 표준적인 반공통 관계를 따른다.

페르미온장(Permionic field)의 가장 두드러진 예는 디락장(Dirac field)으로, 스피닝-1/2: 전자, 양성자, 쿼크 등으로 페르미온을 묘사하고 있다. Dirac 필드는 4-성분 스피너 또는 2-성분 웨일 스피너 쌍으로 설명할 수 있다. Spin-1/2 Majorana 페르미온(예: 가상의 중성미자)은 종속적인 4성분 Majorana Spinor 또는 단일 2성분 Weyl Spinor로 설명할 수 있다. 중성미자가 Majorana 페르미온인지 Dirac 페르미온인지는 알려져 있지 않다; 중성미자의 이중 베타 붕괴를 실험적으로 관찰하면 이 문제가 해결될 것이다.

기본 속성

자유(비 상호 작용) 페르미온 장은 표준 반공 관계를 준수한다. 즉, 상아역학 또는 표준 양자역학의 정류자 [a, b] = ab - ba가 아니라 반공조자 {a, b} = ab + ba를 포함한다. 이러한 관계들은 또한 상호작용 그림의 페르미온적 장을 상호 작용하기 위한 것으로서, 그 장은 마치 자유로워진 것처럼 시간 내에 진화하며 상호작용의 효과는 국가의 진화에서 암호화된다.

필드 퀀타에 대한 페르미-디락 통계를 암시하는 것은 이러한 반공산 관계다. 그들은 또한 두 개의 페르미온 입자가 동시에 같은 상태를 차지할 수 없다는 Pauli 제외 원칙을 낳는다.

디라크 필드

스핀-1/2 페르미온 필드의 두드러진 예는 디락 필드(폴 디락(Paul Dirac의 이름)이며, $\psi {\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \psi(x)}$로 표시된다$.$ 자유 스핀 1/2 입자의 운동 방정식은 디락 방정식이다.

$\displaystyle \left(i\reft ^{\mu }\\put _{\m\\오른쪽)\properties(x)=0.\,}$

$여기$서 $\mu {\displaystyle {}^{}}$ $[\$ \gamma $^{\mu }}$은 감마 행렬이고 m {\$displaystyle$ m}은$$질량이다$.$ 이 방정식에 대한$$ 가장 간단한 해결책 ${\displaystyle \psi }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (x)}$은 평면파 솔루션, ${\displaystyle u}$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {p.}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ $displaysty u(p)e^{-ip이다.$$x}\,},$ $v$ ( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {i.}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ $displaystyle v(p)e^{ip.$$x$ 이러한 평면파 용액은 다음과 같이 파동 기능의 일반적인 확장을 가능하게 하는$$$\psi {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \psi (x)}$의 푸리에 구성 요소의 기초를 형성한다.

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u와 v는 스핀, s, 스피너 지수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ { 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3\}}$ ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3$ 전자에 대해 스핀 1/2 입자 s = +1/2 또는 s=-1/2로 표시된다. 에너지 계수는 로렌츠 불변성 통합 측정치를 가진 결과물이다. 2차 정량화에서는 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$이(가) 연산자로 승격되므로$$, 푸리에 모드의 계수도 연산자여야 한다. 따라서 $p{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle s_{}^{}}$ ${\$ $b$ ${\displaystyle {p\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle s_{}^{}}$ ${\displaystyle {†}_{}^{}}$ ${\$은 연산자다$$. 이러한 연산자의 속성은 필드의 속성에서 확인할 수 있다. ${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \property (x)}$ 및$$ $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle y{}^{}}$) ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$ ($y)^{\property }}}}}$은(는) 반공 관계를 준수한다$$.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x}}(\mathbf {y}),\mathbf }^{\mathbf {y}}}=\mathbf {y}=\mathbf \i1}(\mathbf {x} - mathbf \math \miss \f }).$

운영자가 페르미-디락 통계와 양립할 수 있도록 하기 위해 (보소닉 분야에 대해 우리가 하는 것과 같은 정류 관계와는 반대로) 반커뮤터 관계를 부과한다. $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$ 및 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \psi (y)}$에 대한 확장을 입력하면 계수에 대한 반공칭 관계를 계산할 수 있다$.$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

In a manner analogous to non-relativistic annihilation and creation operators and their commutators, these algebras lead to the physical interpretation that ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ creates a fermion of momentum p and spin s, and ${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$ creates 운동량 q와 스핀 r의 반소음 일반 필드 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$은(는) 페르미온과 반암페르미온을 생성하기 위한 가능한 모든 스핀과 모멘텀에 대한 가중(에너지 인자별) 합으로 간주된다$$. 그것의 결합 분야인${\displaystyle \stackrel{}{}}\psi {\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle {=}^{}}$ ${\displaystyle 0\stackrel{}{}{}^{}}$ 0 0$$ 0{\$displaystyle {\psi }\\stackrel {def}{}}}}{=}\psi$^{\$dagger }}\\gamma ^{0$는 그 반대로서, 페르미온과 반수를 소멸시키기 위한 가능한 모든 스핀과 모멘트에 대한 가중 합계이다.

필드 모드를 이해하고 결합 필드를 정의하면 페르미온 필드에 대해 로렌츠 불변량을 구성할 수 있다. 가장 간단한 것은 수량 ${\$$choice{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ 0${\$ }\gamma $^{0}}}$의 선택 이유가 명확하다$$. 왜냐하면 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 일반 로렌츠 변환은 단일 변환이$$ 아니기 때문에 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ { { ${\displaystyle \psi ^{\dager }\psi }}$은(는) 이러한 변환에서 불변하므로 $\gamma$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle \gate$ \gamma \gma \$gma$\gma |{{{{{{{{{0$}$을 포함하는 것이 이에 대한 수정이다$$. 다른 가능한 0이 아닌 로렌츠 불변량(전체 조합까지)은 페르미온장으로부터 생성 가능한 것으로서 $fer{\displaystyle \stackrel{}{}{\mu }^{}{\mathrm{}}_{}}$μ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ μ μ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle {\\psi }\data ^{\mu }}\partial _{\mu }\$mu }\$psi }$이다$.$

이러한 수량의 선형 결합도 로렌츠 불변성이므로, 이는 시스템의 오일러-라그랑주 방정식을 회복해야 하는 요건에 의해 디락 필드에 대한 라그랑주 밀도로 자연스럽게 이어진다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{D}={\overline {\psi }}\왼쪽(i\gamma^{\mu }\partial _{\mu }-m\오른쪽)\psi \,},}$

그러한 표현은 지수를 억제한다. 다시 소개할 때 전체 표현은

${\displaystyle {\mathcal{L}_{D}={\overline {\psi }_{a}\좌(i\gamma _{ab}^{\mu }}\partial _{\mu _{ab}\right)\psi _{b},},}$

해밀턴(에너지) 밀도는 canon ($x{\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi$ ($x)}$에 대한 모멘텀을 먼저 정의하여 구성할 수도 있다.$$$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \\overset {\mathrm {def}}}{}}\prac {\partial {L}_{D}}}}{partial(\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\}\,}\,\,}\,}$

$\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$의 정의에서 해밀턴 밀도는 다음과 같다$.$

${\displaystyle {\mathcal{H}_{D}={\overline {\psi }}\왼쪽[-i{\vec {\\gamma }}}\cdot{\vec {\\\nabla }}}}\psi \cd}$

여기서 $\nabla {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$→ ${\$은(는) 공간과 같은 좌표의 표준 그라데이션이고, $\gamma {\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은 공간과 같은 $mat$ ${\displaysty \c}$ 행렬의 벡터다$$. 해밀턴 밀도가 ${\displaystyle \psi$ $\}$의 시간파생물에 직접 의존하지 않는다는 것은 놀라운 일이지만, 표현은 정확하다.

$\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$에 대한 식을 고려할 때 페르미온 필드의 Feynman 전파기를 구성할 수 있다$$.

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\좌측\langle 0\좌측 T(\psi(x){\overline {\psi }}{\psi }}\우측 0\rigle }$

우리는 페르미온의 반공성 때문에 마이너스 부호가 있는 페미온의 시간 제한 제품을 정의한다.

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

페르미온 필드를 위한 평면파 확장을 위의 방정식에 연결하면:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}{\frac {i\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}}}}$

파인만 슬래시 표기법을 사용한 곳이야 이 결과는 인자가 있기 때문에 타당하다.

$♪ 디스플레이 스타일 ♪Displaystyle)\!/}}+m)}{p^{2}-m^{2}}$

Dirac 방정식의$$ $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$에 작용하는 연산자의 역행일 뿐이다. 클라인-고든 필드의 파인만 전파자는 동일한 속성을 가지고 있다는 점에 유의하십시오. 모든 합리적인 관측가능성(에너지, 전하, 입자수 등)은 짝수 페르미온장(fermion field)으로 만들어지기 때문에, 라이트콘 바깥의 스페이스타임 지점에서 두 관측가능성 사이에 정류관계는 사라진다. 우리가 기초 양자역학에서 알고 있듯이 동시에 통근하는 두 개의 관측을 동시에 측정할 수 있다. 따라서 우리는 Dirac 필드에 로렌츠 불변성을 정확하게 구현했고 인과관계를 보존했다.

상호작용(유카와 이론, 양자 전기역학 등)을 수반하는 보다 복잡한 현장 이론도 다양한 섭동적, 비숙동적 방법으로 분석할 수 있다.

디락 장은 표준 모델의 중요한 성분이다.

참고 항목

• 디라크 방정식
• 스핀-통계 정리
• 스피너

참조

• Edwards, D. (1981). "The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories". Int. J. Theor. Phys. 20 (7): 503–517. Bibcode:1981IJTP...20..503E. doi:10.1007/BF00669437.
• 페스킨, M, 슈뢰더, D. (1995) Westview Press의 양자장 이론 소개 (35~63페이지 참조)
• 스레드니키, 마크(2007년). 퀀텀 필드 이론, 케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-86449-7.
• 와인버그, 스티븐(1995년). 케임브리지 대학 출판부 (3권) 필드의 양자론.