지수 피복 순서

수학에서 기하급수적인 피복 순서는 복잡한 기하학에서 사용되는 피복의 기본적 짧은 정확한 피복 순서다.

M을 복잡한 다지관이 되게 하고, M에 있는 홀로모르픽 함수의 피복에 대해_M O라고 쓰시오.O_M*를 비반사성 홀로모르픽 함수로 구성된 하위 쉬프로 한다.이것들은 둘 다 아벨 그룹이다.지수함수는 피복 동형성을 준다.

${\displaystyle \exp:{\mathcal {O}_{M}\to {\mathcal {O}_{M}^{*}}}}$

왜냐하면 홀로모르픽 함수 f의 경우 exp(f)는 비바니싱 홀로모르픽 함수이고 exp(f + g) = exp(f)exp(g)이기 때문이다.그것의 커널은 2πin 값을 정수로 하여 2πin을 취하는 M의 국소 상수 함수의 sheaf 2πiZ이다.따라서 지수 피복 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathb {Z} \to {\mathcal {O}_{M}\to 0.}$

여기서의 지수 매핑은 항상 섹션에 대한 허탈한 지도가 아니다; 예를 들어 복잡한 평면에서 M이 펑크난 디스크일 때 이것을 볼 수 있다.지수지도는 줄기에 처절하다 : g(P) ≠ 0과 같은 지점 P에서 홀로모르픽 함수의 세균 g를 주어 p의 근방에 g의 로그수를 취할 수 있다.피복 코호몰리학의 긴 정확한 순서는 우리가 정확한 순서를 가지고 있다는 것을 보여준다.

${\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}_{U}})\to H^{0}({\mathcal {O}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathb {Z}\cdots }).$

M의 어떤 오픈 세트 U에 대해서도.여기서 H는⁰ 단순히 U 위에 있는 부분을 의미하며, sheaf cohomology H¹(2πiZ )는 U의 단일한 공동체를 의미한다.

U의¹ 각 루프에 정수를 연관시키는 것으로 H(2 integeriZ )를 생각할 수 있다. O_M*의 각 섹션에 대해¹ H(2πiZ )에 대한 연결 동형성은 각 루프의 권선 번호를 부여한다.그러므로 이 동형성은 일반화된 구불구불한 수이며 U의 실패가 계약가능성을 갖도록 측정한다.즉, 비반사성 홀로모르픽 함수의 전지구적 로그(항상 국소적으로 가능한 것)를 취하는데 위상학적 장애가 있을 수 있다.

그 수열의 또 다른 결과는 의 정확성이다.

${\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathb {Z})\to \cdots.}$

여기서 H¹(O_M*)는 M에 있는 홀로모르픽 라인 번들의 피카르 그룹과 식별할 수 있다.연결동형주의는 최초의 체르누스 계급으로 선다발을 보낸다.

참조

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523, 특히 37 페이지와 139 페이지 참조