E-기능

수학에서 E-기능은 계수에 대한 특정 산술 조건을 만족시키는 권력 계열의 한 유형이다.이들은 초월수 이론에 관심이 많고, G 기능보다 더 특별하다.

정의

f(x) 함수는 E형 또는 E-함수(^[1]전원 영상 시리즈일 경우)로 불린다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\n}c_{n}{\frac{x^{n}}{n!}}}$

다음 세 가지 조건을 만족한다.

• 모든 계수 c는_n 동일한 대수적 숫자 필드 K에 속하며, 합리적인 수보다 유한한 정도를 가진다.
• 모든 ε > 0에 대하여,

${\displaystyle \stackrel{}{c_{}\text{'}{}_{}}\text{'}}$ = ${\displaystyle O(n^{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }^{}}$) ${\$

여기서 왼쪽은 c의_n 모든 대수적 결합체의 절대값의 최대치를 나타낸다.

• 모든 ε > 0에 대해 자연수 q₀, q₁, q₂, ...의 순서가 있다.그러한 qc는_nk k=0, 1, 2, ..., n, n = 0, 1, 2, ...의 경우 K의 대수 정수로서, n = 0, 1, 2, ...은 다음과 같다.

${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle O(n^{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }^{}}$) ${\$ .

두 번째 조건은 f가 x의 전체 함수라는 것을 암시한다.

사용하다

E-functions는 1929년 시겔에 의해 처음 연구되었다.^[2]그는 특정 E-기능에 의해 취해진 값이 대수적으로 독립적이라는 것을 보여주는 방법을 찾아냈다.이것은 단순한 선형 독립이 아니라 수의 종류에 대한 대수적 독립성을 확립한 결과였다.^[3]그 이후로 이러한 기능들은 숫자 이론에서 어느 정도 유용하다는 것이 증명되었고, 특히 그들은 초월 증명과 미분 방정식에 응용을 하게 되었다.^[4]

시겔-시들롭스키 정리

아마도 E-functions와 연결된 주요 결과는 칼 루트비히 시겔과 안드레이 보리스비치 시들롭스키의 이름을 딴 시겔-시들롭스키 정리(시겔과 시들롭스키 정리라고도 한다)일 것이다.

균일한 선형 미분 방정식의 시스템을 만족시키는 n개의 E-기능, E₁(x), ...,E_n(x)가 주어진다고 가정합시다.

${\displaystyle y_{i}^{\premy}^{n1}^{n_{ij}(x)y_{j}\properties(1\leq i\leq n)}}$

여기서 f는_ij x의 합리적인 함수이며, 각 E와 f의 계수는 대수적 숫자 필드 K의 요소들이다.그 다음 정리를 보면 E₁(x), ..., E_n(x)가 K(x)에 대해 대수적으로 독립되어 있다면_ij, 0이 아닌 대수적 수 α의 경우, 숫자₁ E(α), ..., E_n(α)의 어떤 폴도 아닌 어떤 것도 대수적으로 독립되어 있다고 되어 있다.

예

1. 대수 계수가 있는 모든 다항식은 E-함수의 간단한 예다.
2. 지수함수는 E-함수로서, 그 경우 모든_n n에 대해 c=1이다.
3. 만약 λ이 대수적 숫자라면 베셀 함수 J는_λ E-함수다.
4. 두 E-기능의 합계 또는 산출물은 E-기능이다.특히 E-기능이 링을 형성한다.
5. a가 대수적 숫자이고 f(x)가 E-함수라면 f(ax)는 E-함수가 된다.
6. f(x)가 E-기능인 경우, f의 파생 및 적분 또한 E-기능이다.

참조

• Weisstein, Eric W. "E-Function". MathWorld.