Double-well 잠재적인

소위 더블웰 퍼텐셜이라고 불리는 것은 양자역학, 양자장 이론 및 기타 다양한 물리적 현상이나 수학적 성질을 탐구하기 위해 상당한 관심을 갖는 많은 4차 퍼텐셜 중 하나입니다. 왜냐하면 그것은 많은 경우에 과도한 단순화 없이 명시적인 계산을 가능하게 하기 때문입니다.

따라서 "대칭 이중 우물 퍼텐셜"은 유클리드화 장 ^[1]이론에서 인스턴트온의 개념을 의사 고전적 구성으로 설명하기 위한 모형으로 수년간 사용되었다.보다 단순한 양자역학적 맥락에서 이 잠재력은 파인만 경로 ^[2]^[3]적분 평가의 모델 역할을 했다.또는 에너지 고유값을 명시적으로 얻기 위한 다양한 방법에 의한 슈뢰딩거 방정식의 해법.

반면, "역대칭 이중 웰 퍼텐셜"은 붕괴율^[4] 계산과 점근 ^[5]^[6]^[7]팽창의 큰 차수 거동의 탐구를 위한 슈뢰딩거 방정식에서 중요하지 않은 퍼텐셜로 작용했다.

사분위 전위의 세 번째 형태는 순수하게 분리된 에너지 스펙트럼을 가진 "교란된 단순 고조파 발진기" 또는 "순수 비조화 발진기"입니다.

가능한 4차 전위의 네 번째 유형은 위에 언급된 첫 번째 두 가지 중 하나의 "비대칭 모양"이다.

이중 우물 및 기타 4차 전위는 다양한 방법으로 처리될 수 있다. 즉, (a) 섭동 방법(B의)이다.딩글 및 H.J.W. 뮐러-커스틴^[8]) 경계 조건의 부과가 필요한 (b) WKB 방법 및 (c) 경로 적분 방법.모든 사건은 H.J.W. 뮐러-커스틴의 ^[9]책에 자세히 설명되어 있다.마티외 함수와 그 고유값(특징수라고도 함)의 점근적 팽창의 큰 차수 거동은 R.B. 딩글과 H.J.W. ^[10]뮐러의 추가 논문에서 도출되었다.

대칭 이중 우물

문헌에 대한 주요 관심사는 (장 이론과 관련된 이유로) 대칭 이중 우물(잠재적)과 양자 역학적 지상 상태에 초점을 맞추고 있다.전위의 중심 혹을 통과하는 터널링이 포함되기 때문에, 이 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식의 고유 에너지의 계산은 중요하지 않습니다.접지 상태의 경우는 인스턴트온 및 안티인스턴트로 알려진 의사 클래식 설정에 의해 조정됩니다.명시적 형식에서 이것들은 쌍곡선 함수이다.의사 고전적 구성으로서, 이것들은 (광범위하게 분리된) 희석 가스 근사치로 알려진 인스턴스온-반 인스턴스온 쌍의 합산이라는 반 고전적 고려사항에서 자연스럽게 나타난다.최종적으로 얻어진 지표 상태 고유 에너지는 인스턴트 유클리드 작용의 지수를 포함하는 식이다.이 $1/\hbar$ 은 계수 $1/\hbar$ 1 $/(\displaystyle$ 1 $/\hbar)$ 를 $1/\hbar$ 포함하므로 (클래식적으로) 비교란 효과로 기술됩니다.

대칭 이중 우물 자기 상호작용을 갖는 스칼라 장 이론의 경로 적분 이론에서의 인스턴트온 구성의 안정성은 인스턴트온에 대한 작은 진동 방정식을 사용하여 조사된다.이 방정식은 음이 아닌 고유값을 갖는 Pöschl-Teller 방정식(즉, Pöschl-Teller 전위를 갖는 슈뢰딩거 방정식과 같은 2차 미분 방정식)이라는 것을 알 수 있다.고유값의 비음수성은 인스턴트온의 ^[11]안정성을 나타냅니다.

위에서 설명한 바와 같이, 인스턴스론은 전위의 두 우물 사이를 통신하고 시스템의 접지 상태를 책임지는 유클리드 시간의 무한 선상에 정의된 의사 입자 구성이다.이에 대응하는 높은, 즉 들뜬 상태의 구성은 유클리드 시간의 원에서 정의된 주기적 인스턴스이며, 명시적인 형태로 야코비안 타원함수(삼각함수의 일반화)로 표현된다.이러한 경우 경로 적분 평가에는 대응하는 타원 적분이 포함됩니다.이러한 주기적 인스턴스온에 대한 작은 변동 방정식은 라메 함수를 해법으로 하는 라메 방정식입니다.불안정성의 경우(역 이중 웰 전위의 경우) 이 방정식은 이러한 불안정성을 나타내는 음의 고유값, 즉 ^[11]붕괴를 가진다.

딩글과 뮐러의 섭동 방법(원래 마티외 방정식, 즉 코사인 전위를 가진 슈뢰딩거 방정식에 적용)을 적용하려면 4차 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식의 매개변수 대칭을 활용해야 한다.하나는 전위의 최소 두 개 중 하나를 중심으로 확장됩니다.또, 이 방법에서는, 중복하는 도메인내의 솔루션의 다른 브랜치를 일치시킬 필요가 있습니다.경계 조건의 적용은 최종적으로 (주기적 전위의 경우와 같이) 비교란 효과를 낳는다.

다음 형태의 대칭 이중 웰 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식에서와 같은 매개변수의 관점에서

{d^{2}y(z)}{dz^{2}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;;\;V(z)=-{1}{4}z^{2}h^{4}+{\frac{2}{c}^{2}},{4}^2}+{4}^2

$q_{0}=1,3,5,...$ 0 $q_{0}=1,3,5,...$ , $q_{0}=1,3,5,...$ , $q_{0}=1,3,5,...$ 5 , $q_{0}=1,3,5,...$ . . . { $displaystyle q _$ { 0 } = $q_{0}=1,3,5,...$ 1 $,$ 3, 5, $...$ 의 $q_{0}=1,3,5,...$ }은 $q_{0}=1,3,5,...$ $($ 는) 다음과 같은 것으로 밝혀졌다(뮐러-커스틴의 책, 공식(18.175b), 페이지 425 참조).

\displaystyle E_{\pm}(q_{0,h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}+{\frac {1}{\frac {c^{2}-{0}h^{2}^2}+{f}{\frac {\frac {0}}{f}{2}}O({\frac {1}{h^{16}}})}

\;\;\mp {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{0}/2}}{\displayrt {pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6grt {2}}c^{2}}.

$h^{2}\rightarrow \infty$ 이러한 고유값은 점근적으로 ( $h^{2}\rightarrow \infty$ 2 $h^{2}\rightarrow \infty$ ${\$ \ $displaystyle h^{2}\rightarrow$ \ $infty$ ) 전위의 고조파 부분에서 예상대로 퇴화된다.결과의 섭동 부분의 항이 $q_{0}$ 0 $({$ 과 $q_{0}$ h $({$ h $^{2})$ 에서 번갈아 짝수 또는 홀수인지 관찰한다(마티외 함수, 라메 함수, 프로레이트 구상파 함수, 타원파 함수 등에 대한 해당 결과).

필드 이론에서는 위의 대칭 더블웰 전위가 종종 쓰여집니다( ${\$ {\ $displaystyle \phi }$ 는 $\phi$ 스칼라 필드입니다).

V(\phi)=frac {m^{4}}{2g^{2}\left(1-{\frac {g^{2}\phi^{2}}{m^{2}\right}}^{2}}

인스턴트론은 뉴턴 유사 방정식의 해 $\phi _{c}(\tau )$ c ( $\phi _{c}(\tau )$ ) $\phi _{c}(\tau )$ \ $displaystyle \phi$ _ ${c}(\tau)$ 이다 $\phi _{c}(\tau )$ .

{d^{2}\phi }{d\flac ^{2}=V'(phi ,\;\;\;{\flac {1}{2}\lefts\flac {d\phi }}{d\flac }}{d\fl})^2}-V(\phi)={0

$({displaystyle\tau}$ 는 $\tau$ 유클리드 시간)

\displaystyle \phi _{c}(\displaystyle )=syslogfrac {m}{g}\tanh \left [m(\display -\display _{0}\right]}

$\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ c $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ c + $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ { $display$ style $\eta$ $θ$ c 、 { c ; \ phi $=$ \ $phi$ _ { c } + \ $eta$ }에 대한 $\phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,$ 작은 변동 $\eta$ 은 Pöschl-teller 방정식이다(Pöschl-teller potential 참조).

\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\frac ^{2}}+V`(\phi _{c}\right)\eta _{n}(\displaystyle)=\Omega _{n2}\eta _{n}(\frac)

와 함께

(\displaystyle V" (\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\cosh -\cisco _{0})}).}

모든 고유값 $\omega _{n}^{2}$ $\omega _{n}^{2}$ 2 $(\$ _ ${n}^{2})$ 는 $\omega _{n}^{2}$ 양수 또는 0이므로 Instanton 설정은 안정적이며 붕괴는 없습니다.

$E_{cl}\neq 0$ 일반적인 E $E_{cl}\neq 0$ l $E_{cl}\neq 0$ 0의 $경우$ (\ $displaystyle$ E_ ${cl$ }\ $neq$ 0 $)$ 고전적인 $E_{cl}\neq 0$ 솔루션은 주기적 인스턴스온입니다.

\displaystyle \phi _{c}(\displaystyle \kb(k)}{g}sn[b(k)\display -\display_{0}),\;b(k)=m\left\frac {2}{1+k^{2}}\right)^1/2}

$k$ 서k {\ $displaystyle$ k}는 $k$ 주기 야코비안 $타원함수$ s $n$ {\ $displaystyle$ sn $sn$ 의 타원계수입니다.작은 변동 방정식은 이 일반적인 경우 라메 방정식입니다. $k=1,E_{cl}=0$ k $k=1,E_{cl}=0$ , $k=1,E_{cl}=0$ $k=1,E_{cl}=0$ $k=1,E_{cl}=0$ $=$ 0 { $displaystyle$ k $= 1$ , $E_{cl}$ = 0 에서는 $k=1,E_{cl}=0$ 용액 $\phi _{c}$ c $\phi _{c}$ { $displaystyle \phi$ _ { $c}$ 은 진공 $\phi _{c}$ 인스턴트온 솔루션이 됩니다.

(\displaystyle \phi _{c}=syslogfrac {m}{g}}\tanh[m(\syslog -\syslog _{0})]}

반전 이중 웰 전위

섭동 이론은 겹치는 영역에서의 해 일치와 경계 조건의 부과와 함께 이 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식의 고유값을 얻기 위해 다시 사용될 수 있다.그러나 이 경우에는 전위의 중심 기압골 주위로 확장됩니다.따라서 결과는 위의 결과와 다릅니다.

다음과 같은 형태의 역이중웰 전위에 대한 슈뢰딩거 방정식에서와 같은 매개변수의 관점에서

{d^{2}y(z)}{dz^{2}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;V(z)=secfrac {1}{4}h^{2}-{\frac {1}{c2}^{2},\z},{4},\z},{4},\z

$q_{0}=1,3,5,...$ 0 $q_{0}=1,3,5,...$ , $q_{0}=1,3,5,...$ , $q_{0}=1,3,5,...$ 5 , $q_{0}=1,3,5,...$ . . . { $displaystyle q _$ { 0 } = $q_{0}=1,3,5,...$ 1 $,$ 3, 5, $...$ 의 $q_{0}=1,3,5,...$ }은 $q_{0}=1,3,5,...$ (는) 다음과 같은 것으로 밝혀졌다 $($ 뮐러-커스틴의 책, 공식(18.86, 페이지 503 참조).

({displaystyle E=param frac {1}{2})q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4}-{\frac {q_{0}c^{4}}-{h^{10}}(4q_{0}^2}+29)O({\frac {1}{h^{16}}+i{\frac {2^{q_{0}}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}{(2\pi)^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}

이 식의 허수 부분은 C.M. Bender 및 T.T. Wu의 결과와 일치합니다( $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 의 공식 (3.36) 및 $\hbar =1$ $1$ $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 1 참조). $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 0 $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 2 $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ + $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ , $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ / $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ c 2 $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 1 $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 、 \ $display$ style $\hbar =1$ $q$ 0 $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ = 2 $K$ + 1 $\hbar =1$ 、 $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ 6 / 2 c 2 = $1 （$ \ displaystyle ） $q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon$ ）、 1 ）。이 결과는 섭동 이론의 큰 순서 행동에 대한 토론과 조사에 중요한 역할을 한다.

순수 비조화 진동자

다음과 같은 형태의 순수 비조화 발진기에 대한 슈뢰딩거 방정식에서와 같은 파라미터의 관점에서

{d^{2}y(z)}{dz^{2}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;;V(z)=secfrac {1}{4}h^{2}+{\frac {2}{c}^{2},\z},{4},\h},\z},{4

$q=q_{0}=1,3,5,...$ $q=q_{0}=1,3,5,...$ $q=q_{0}=1,3,5,...$ 0 $q=q_{0}=1,3,5,...$ , $q=q_{0}=1,3,5,...$ , $q=q_{0}=1,3,5,...$ . $q=q_{0}=1,3,5,...$ . . $q=q_{0}=1,3,5,...$ { $displaystyle$ q $=$ q _ { 0 } $= 1, 3$ , 5, $...$ 의 고유값}은 $q=q_{0}=1,3,5,...$ (는) 다음과 같습니다 $.$

E=sqfrac {1}{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).

더 많은 항을 쉽게 계산할 수 있습니다.다른 모든 경우와 마찬가지로q\ $displaystyle$ q $q$ \displaystyle h $^{2$ 와 $\$ h^{2}의 팽창 계수가 번갈아 짝수 또는 홀수임을 확인합니다.이것은 4차 전위에 대한 미분 방정식의 해법의 중요한 측면이다.

일반적인 코멘트

이중 웰 및 역 이중 웰에 대한 위의 결과는 타원 적분 및 감마 함수의 스털링 근사 사용에도 불구하고 경로 적분 방법(주기적 인스턴스론, cf. instanton을 통해)과 WKB 방법으로도 얻을 수 있으며, 이 모든 것이 계산을 더 어렵게 한다.결과의 변화 q → -q, $h^{2}$ 2 $h^{2}$ {{ $h^{2}$ h $^{2}}$ → $h^{2}$ - $h^{2}$ 2 {{ $displaystyle$ h $^{2}}}$ 결과에서 $h^{2}$ 섭동 부분의 대칭 특성은 슈뢰딩거 방정식에서 파생된 경우에만 얻을 수 있으며, 따라서 결과를 얻는 더 좋고 정확한 방법이다.이 결론은 고유값 방정식에서 유사한 특성을 보이는 마티외 방정식 및 라메 방정식과 같은 다른 2차 미분 방정식의 조사에 의해 뒷받침된다.게다가 이러한 각각의 경우(더블 웰, 반전더블 웰, 코사인 퍼텐셜)에서 고전적인 구성에 대한 작은 변동의 방정식은 라메 방정식이다.

레퍼런스

^ S. 콜먼, 핵물리학의 Whys, ed.A. 지치치(Pleum Press, 1979), 805-916; S.콜맨, 인스턴트론의 사용 1977년 국제핵물리학학교, 에토레 마요라나.
^ Gildener, Eldad; Patrascioiu, Adrian (15 July 1977). "Pseudoparticle contributions to the energy spectrum of a one-dimensional system". Physical Review D. American Physical Society (APS). 16 (2): 423–430. doi:10.1103/physrevd.16.423. ISSN 0556-2821.
^ Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H. J. W. (15 November 1992). "Periodic instantons and quantum-mechanical tunneling at high energy". Physical Review D. American Physical Society (APS). 46 (10): 4685–4690. doi:10.1103/physrevd.46.4685. ISSN 0556-2821.
^ Liang, J.-Q.; Müller-Kirsten, H. J. W. (15 November 1994). "Nonvacuum bounces and quantum tunneling at finite energy" (PDF). Physical Review D. American Physical Society (APS). 50 (10): 6519–6530. doi:10.1103/physrevd.50.6519. ISSN 0556-2821.
^ Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (5 August 1968). "Analytic Structure of Energy Levels in a Field-Theory Model". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 21 (6): 406–409. doi:10.1103/physrevlett.21.406. ISSN 0031-9007.
^ Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (16 August 1971). "Large-Order Behavior of Perturbation Theory". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 27 (7): 461–465. doi:10.1103/physrevlett.27.461. ISSN 0031-9007.
^ Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (25 August 1969). "Anharmonic Oscillator". Physical Review. American Physical Society (APS). 184 (5): 1231–1260. doi:10.1103/physrev.184.1231. ISSN 0031-899X.
^ "Asymptotic Expansions of Mathieu Functions and their Characteristic Numbers". Journal für die reine und angewandte Mathematik. Walter de Gruyter GmbH. 1962 (211): 11. 1962. doi:10.1515/crll.1962.211.11. ISSN 0075-4102. 이 참조에서 섭동 방법은 코사인 전위, 즉 마티외 방정식에 대해 개발된다. 마티외 함수를 참조하라.
^ Harald J.W. Muller-Kirsten, 양자역학 입문:슈뢰딩거 방정식과 경로 적분, 제2판 (World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5)
^ R.B. 딩글 및 H.J.W. 뮐러, 마티외 및 구형파 함수의 특성 수 점근 확장에서의 후기 항의 계수 형태, 저널 für die ine und antgewandte Mathik, 216(1964 123-13.참고 자료: H.J.W. 뮐러-커스틴, "교란 이론, 레벨 분할 및 대규모 행동", Fortschritte der Physik 34 (1986) 775-790.
^ ^a ^b Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H.J.W.; Tchrakian, D.H. (1992). "Solitons, bounces and sphalerons on a circle". Physics Letters B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. doi:10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN 0370-2693.
^ Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (15 March 1973). "Anharmonic Oscillator. II. A Study of Perturbation Theory in Large Order". Physical Review D. American Physical Society (APS). 7 (6): 1620–1636. doi:10.1103/physrevd.7.1620. ISSN 0556-2821.

[1] S. 콜먼, 핵물리학의 Whys, ed.A. 지치치(Pleum Press, 1979), 805-916; S.콜맨, 인스턴트론의 사용 1977년 국제핵물리학학교, 에토레 마요라나.

[2] Gildener, Eldad; Patrascioiu, Adrian (15 July 1977). "Pseudoparticle contributions to the energy spectrum of a one-dimensional system". Physical Review D. American Physical Society (APS). 16 (2): 423–430. doi:10.1103/physrevd.16.423. ISSN 0556-2821.

[3] Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H. J. W. (15 November 1992). "Periodic instantons and quantum-mechanical tunneling at high energy". Physical Review D. American Physical Society (APS). 46 (10): 4685–4690. doi:10.1103/physrevd.46.4685. ISSN 0556-2821.

[4] Liang, J.-Q.; Müller-Kirsten, H. J. W. (15 November 1994). "Nonvacuum bounces and quantum tunneling at finite energy" (PDF). Physical Review D. American Physical Society (APS). 50 (10): 6519–6530. doi:10.1103/physrevd.50.6519. ISSN 0556-2821.

[5] Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (5 August 1968). "Analytic Structure of Energy Levels in a Field-Theory Model". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 21 (6): 406–409. doi:10.1103/physrevlett.21.406. ISSN 0031-9007.

[6] Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (16 August 1971). "Large-Order Behavior of Perturbation Theory". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 27 (7): 461–465. doi:10.1103/physrevlett.27.461. ISSN 0031-9007.

[7] Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (25 August 1969). "Anharmonic Oscillator". Physical Review. American Physical Society (APS). 184 (5): 1231–1260. doi:10.1103/physrev.184.1231. ISSN 0031-899X.

[8] "Asymptotic Expansions of Mathieu Functions and their Characteristic Numbers". Journal für die reine und angewandte Mathematik. Walter de Gruyter GmbH. 1962 (211): 11. 1962. doi:10.1515/crll.1962.211.11. ISSN 0075-4102. 이 참조에서 섭동 방법은 코사인 전위, 즉 마티외 방정식에 대해 개발된다. 마티외 함수를 참조하라.

[9] Harald J.W. Muller-Kirsten, 양자역학 입문:슈뢰딩거 방정식과 경로 적분, 제2판 (World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5)

[10] R.B. 딩글 및 H.J.W. 뮐러, 마티외 및 구형파 함수의 특성 수 점근 확장에서의 후기 항의 계수 형태, 저널 für die ine und antgewandte Mathik, 216(1964 123-13.참고 자료: H.J.W. 뮐러-커스틴, "교란 이론, 레벨 분할 및 대규모 행동", Fortschritte der Physik 34 (1986) 775-790.

[:0-11] Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H.J.W.; Tchrakian, D.H. (1992). "Solitons, bounces and sphalerons on a circle". Physics Letters B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. doi:10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN 0370-2693.

[12] Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (15 March 1973). "Anharmonic Oscillator. II. A Study of Perturbation Theory in Large Order". Physical Review D. American Physical Society (APS). 7 (6): 1620–1636. doi:10.1103/physrevd.7.1620. ISSN 0556-2821.

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