구성표 치수

대수 기하학에서, 계획의 치수는 대수적 다양성의 치수의 일반화다.체계 이론은 상대적 관점을 강조하고, 따라서 체계 형태론의 상대적 차원 또한 중요하다.

정의

정의에 따르면, 체계 X의 치수는 기초적인 위상학적 공간의 치수: 길이의 우월성 ℓ 불가침 닫힌 부분 집합의 체인:

\displaystyle \emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}

^[1]

특히 $X=\operatorname {Spec} A$ = $X=\operatorname {Spec} A$ $X=\operatorname {Spec} A$ $X=\operatorname {Spec} A$ $⁡$ A {\ $displaystyle X=\operatorname$ { $Spec}$ A}이(가) 애프라인 체계라면 $X=\operatorname {Spec} A$ , 그러한 체인은 원시 이상(반복)의 사슬에 해당하므로 X의 차원은 정확히 A의 Krull 차원이다.

Y가 제도 X의 불가해한 폐쇄형 부분 집합인 경우, X에서 Y의 코드 표현은 불가해한 폐쇄형 부분 집합의 체인 길이 ℓ의 우월성이다.

Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.

^[2]

X의 불가해한 부분집합은 X의 코드인 경우 그리고 X의 코드인 경우에만 X의 불가해한 부분이다. $X=\operatorname {Spec} A$ = $X=\operatorname {Spec} A$ $X=\operatorname {Spec} A$ A $X=\operatorname {Spec} A$ {\ $displaystyle$ X $=\operatorname {Spec} A$ }이 $X=\operatorname {Spec} A$ (가) 일치한다면, X에서 Y의 코디네이션은 X에서 Y를 정의하는 가장 이상적인 높이인 것이다.

예

필드 위에 있는 유한 차원 벡터 공간 V를 필드 위에 있는 구조로 보는 경우, 체계 V의 치수는 V의 벡터 공간 치수와 동일하다.^{[note 1]}
Let $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ = $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ k $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ [ $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ , $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ , z $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ / $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ ( x $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ , $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)$ ) ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz$ k 필드.그런 다음 치수 $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ 를 가진다(하이퍼플레인 H $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ = $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ { $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ = 0 $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ ${\$ ^3 $}).$ If x is a closed point of X, then $\operatorname {codim} (x,X)$ is 2 if x lies in H and is 1 if it is in $X-H$ . Thus, $\operatorname {codim} (x,X)$ for closed points x can vary.
X{X\displaystyle} 대수 pre-variety, km그리고 4.9초 만{k\displaystyle}.[3]알에 X{X\displaystyle}의 기능 분야의 즉, 한정된 형식의 필드가 k{k\displaystyle}에 필수적인 계획입니다. 그리고 X{X\displaystyle}의 치수는 초월 정도 k(X){\displaystyle k(X)}자.그렇게 $U$ $U$ 이 $U$ (가 $X$ $X$ $X$ 의 비어 있지 않은 열린 부분 집합인 경우 $\dim U=\dim X$ $\dim U=\dim X$ $\dim U=\dim X$ = dim $\dim U=\dim X$ = $\dim U=\dim X$ X {\ $displaystyle$ \dim U=\ $dim X$ ^[4]
R을 이산 평가 링으로 하고 $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ = $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ = $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ ( R $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ [ $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ ) ${\displaystyle X=\mathb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec}(R[t])})$ 위에 부착선을 $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ 놓으십시오. $\pi :X\to \operatorname {Spec} R$ : $\pi :X\to \operatorname {Spec} R$ → $\pi :X\to \operatorname {Spec} R$ $\pi :X\to \operatorname {Spec} R$ R $\pi :X\to \operatorname {Spec$ R $}$ 을(를) 투영으로 $\pi :X\to \operatorname {Spec} R$ 한다. $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ ) $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ = $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ { $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ } $\operatorname {Spec}(R)=\{s,\eta \}}$ 은 $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ (는) 최대 이상과 폐쇄에 해당하는 $s$ 2개의 $포인트$ , s ${\displaysty$ s $}$ 및 $\eta$ ${\displaystytype \eta }$ 로 구성된다.그런 다음 섬유 $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ - $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ ( $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ ) $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ , $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ - $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ ( $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ ) ${\displaystyle \pi ^{-1},\pi ^{-$ 1}(s),\pi ^{- $1}(\eta )}$ 이 각각 닫히고 열린다 $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ .는 동안 우리는 X{X\displaystyle},(η){\displaystyle\pi ^{)}(\eta)− 1π 2=1+희미한 ⁡ R{2=1+\dim R\displaystyle}이 π − 1(η){\displaystyle\pi ^{)}(\eta)}치수 one,[주 2]다}X{X\displaystyle}에 밀도가 높다. 따라서 지적했듯이 열린 부분 집합의 폐쇄의 치수이다.수 있습니다.오픈 세트보다 훨씬 큰
동일한 예를 계속하여 m ${\mathfrak {m}}_{R}$ ${\$ 을 $\omega _{R}$ 발생기의 R 및 $\omega _{R}$ $\omega _{R}$ ${\$ 의 최대 이상이 되도록 한다 ${\mathfrak {m}}_{R}$ .We note that $R[t]$ has height-two and height-one maximal ideals; namely, ${\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)$ and ${\mathfrak {p}}_{2}=$ the kernel of ${\display$ $style R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}}$ . The first ideal ${\mathfrak {p}}_{1}$ is maximal since ${\displaystyle R[t]/(\omega _{R}t-1)=$ $R[\omega _{R}^{-1}=$ R의 분수 $R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=$ 분야.Also, ${\mathfrak {p}}_{1}$ has height one by Krull's principal ideal theorem and ${\mathfrak {p}}_{2}$ has height two since ${\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}$ . Consequently,

\operatorname {codim}({p}_{1},X)=1,\\\operatorname {codim}({\mathfrak {p}_{2},X)=2,

X가 다시 되돌릴 수 없는 동안.

등차원계

등차원 체계(또는 순수한 치수 체계)는 수정 불가능한 요소들이 모두 같은 치수(치수가 모두 잘 정의되어 있다고 가정하는 것임)인 체계다.

예

모든 돌이킬 수 없는 계획은 동일 차원이 있다.^[5]

부속 공간에서 선과 선에 없는 점의 결합은 등차원이 아니다.일반적으로, 다른 것을 포함하지 않는 어떤 계획의 폐쇄적인 두 하위 체계가 동일하지 않은 차원을 가지고 있다면, 그들의 결합은 동일 차원이 아니다.

어떤 체계가 어떤 필드 k에 대해 규격 k에 대해 매끄러울 경우(예: étale) 연결된 모든 구성 요소(사실상 되돌릴 수 없는 구성 요소)는 등차원이 된다.

참고 항목

메모들

^ V 이중 벡터 공간의 대칭 대수 사양은 $V$ $V$ 의 체계 구조다 $V$
^ In fact, by definition, $\pi ^{-1}(\eta )$ is the fiber product of $\pi :X\to \operatorname {Spec} (R)$ and $\eta =\operatorname {Spec} (k(\eta ))\to \operatorname {Spec} R$ and so it is the Spec of $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ( $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ) $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ = $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ( $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ) $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ [ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ${\displaystyle R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t$

^ 하르트쇼른, Ch. I, Corollary 1.6. harvnb 에러 직후: no target: CITREFHartshorne(도움말)
^ Hartshorne, Ch. II, 예 3.2.6. harvnb 오류 직후: 대상 없음: CITREFHartshorne(도움말)
^ Hartshorne, Ch. II, 연습 3.20. (b) (도움말)
^ Hartshorne, Ch. II, 연습 3.20. (e)
^ Dundas, Bjorn Ian; Jahren, Björn; Levine, Marc; Østvær, P.A.; Röndigs, Oliver; Voevodsky, Vladimir (2007), Motivic Homotopy Theory: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, August 2002, Springer, p. 101, ISBN 9783540458975.

참조

William Fulton. (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

외부 링크

이 대수 기하학 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

[3] V 이중 벡터 공간의 대칭 대수 사양은 $V$ $V$ 의 체계 구조다 $V$

[6] In fact, by definition, $\pi ^{-1}(\eta )$ is the fiber product of $\pi :X\to \operatorname {Spec} (R)$ and $\eta =\operatorname {Spec} (k(\eta ))\to \operatorname {Spec} R$ and so it is the Spec of $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ( $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ) $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ = $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ( $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ) $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ [ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ $R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]$ ${\displaystyle R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t$

[1] 하르트쇼른, Ch. I, Corollary 1.6. harvnb 에러 직후: no target: CITREFHartshorne(도움말)

[2] Hartshorne, Ch. II, 예 3.2.6. harvnb 오류 직후: 대상 없음: CITREFHartshorne(도움말)

[4] Hartshorne, Ch. II, 연습 3.20. (b) (도움말)

[5] Hartshorne, Ch. II, 연습 3.20. (e)

[7] Dundas, Bjorn Ian; Jahren, Björn; Levine, Marc; Østvær, P.A.; Röndigs, Oliver; Voevodsky, Vladimir (2007), Motivic Homotopy Theory: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, August 2002, Springer, p. 101, ISBN 9783540458975.

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