베셀-클리퍼드 함수

수학 분석에서, 프리드리히 베셀과 윌리엄 킹던 클리퍼드(William Kingdon Clifford)의 이름을 딴 베셀-클리포드 함수는 베셀 함수 이론의 대체적 발전을 제공하는 데 사용할 수 있는 두 가지 복잡한 변수의 전체 함수다. 만약

${\displaystyle \pi(x)={\frac {1}{\Pi(x)}}={\frac {1}{\감마(x+1)}}}$

역수 감마 함수에 의해 정의된 전체 함수의 경우, 베셀-클리포드 함수는 시리즈에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal{C}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\inflt }\pi(k+n){\frac {z^{k}}{k!}}}$

연속 항 비율은 z/k(n + k)이며, z와 n의 모든 값에 대해 k가 증가하면 0이 되는 경향이 있다. 비율 검사에 의해 이 시리즈는 모든 z와 n에 대해 절대적으로 수렴되며, 경계 z가 있는 모든 영역에 대해 균일하게 수렴되므로 Besel-Clifford 함수는 두 가지 복합 변수 n과 z의 전체 함수다.

베셀-클리포드 함수의 미분 방정식

${\displaystyle {Cn}_{}}$( $){\displaystyle {\mathcal {C}$_{n}($x)$이 선형 2차 균등 미분 방정식을 만족한다는$$ 것은 x에 대한 위의 시리즈에서 비롯된다.

$(\displaystyle xy"+(n+1)y'=y.\qquad }$

이 방정식은 일반화된 초지하학적 유형이며, 사실 베셀-클리포드 함수는 포하머-반스 초지하학적 함수의 스케일링 계수에 달한다.

${\displaystyle {\mathcal{C}_{n}(z)=\pi(n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z)}$

n이 음의 정수(우측을 정의하지 않은 경우)가 아니라면, 두 정의는 본질적으로 동일하다; 초기하 함수는 z = 0의 값이 1이 되도록 정규화된다.

Besel 함수에 대한 관계

제1종류의 베셀함수는 베셀-클리퍼드함수의 관점에서 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle J_{n}(z)=\왼쪽({\frac {z}{2}}\오른쪽)^{n}{\mathcal{C}_{n}\왼쪽(-{\frac {z^{2}}:{4}\오른쪽);}$

n이 정수가 아닐 때 우리는 이것으로부터 베셀 함수가 전부가 아니라는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 제1종류의 변형된 베셀함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle I_{n}(z)=\왼쪽({\frac {z}{2}}\오른쪽)^{n}{\mathcal{C}_{n}\왼쪽({\frac {z^{2}}:{4}\오른쪽).}$

물론 절차를 되돌릴 수 있으므로, 베셀-클리포드 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{C}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt{z});}$

그러나 이 시작점부터 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 전체임을$$ 보여줘야 한다.

재발관계

정의 영상 시리즈에서 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= C${\displaystyle {}_n}$ + ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$. ${\디스플레이$ 스타일 ${\frac {d}{dx}}{\mathcal{C}_{n}}(x)={\mathcal{C}_{n+1}(x$)가 바로 뒤따른다$.$$}$

이를 이용하여 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 미분 방정식을 다음과$$ 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle x{\mathcal {C}_{n+2}(x)+(x){\mathcal {C}{n+1}(x)={\mathcal {C}{n}(x),}$

베셀-클리포드 함수의 반복 관계를 정의한다. 이것은 F와₀₁ 비슷한 관계에 해당한다. 우리는 가우스의 지속적인 분수의 특별한 경우로서

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}$

이러한 지속적인 분수는 모든 경우에 수렴된다는 것을 알 수 있다.

제2종 베셀-클리퍼드 기능

베셀-클리퍼드 미분방정식

$(\displaystyle xy"+(n+1)y'=y\qquad }$

두 개의 선형 독립 솔루션을 가지고 있다. 원점이 미분 방정식의 정규 단수점이고, $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이 전체이므로$$ 두 번째 해법은 원점에서 단수여야 한다.

만약 우리가 정하면

${\displaystyle {\mathcal{K}_{n}(x)={\frac {1}{1}:{1}{1}:{0}}\int_{0}^{\inflt}\ex \efloc(-t-{x}}\오른쪽){\frac {dt^{n+1}:{n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

()> ${\displaystyle \Re (x)>0}$에 수렴하여 분석적으로 계속하면 미분 방정식에 대한 두 번째 선형 독립 솔루션을 얻는다.

$K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 두 번째 종류의 베셀 함수에 해당하도록$$ 하기 위해 1/2의 인자를 삽입한다. 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle K_{n}(x)=\왼쪽({\frac {x}{2}}\오른쪽)^{n}{\mathcal{K}_{n}\왼쪽({\frac {x^{2}}:{4}\오른쪽).}$

그리고

${\displaystyle Y_{n}(x)=\왼쪽({\frac {x}{2}}\오른쪽)^{n}{\mathcal{K}_{n}\왼쪽(-{\frac{x^{2}}:{4}\오른쪽).}$

K의 경우, 우리는

${\displaystyle {\mathcal{K}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt{x}}).}$

따라서 제1종류의 베셀함수와 수정된 베셀함수는 $둘{\displaystyle \mathcal{}}$ 다 C$${\$displaystyle${\$mathcal{C}$의 용어로 표현할 수 있듯이$,$ 제2종류의 함수는 $모두{\displaystyle \mathcal{}}$ K$${\$displaystyle${\$mathcal {K}$의 용어로 표현할 수 있다$.$

생성함수

exp(t)와 exp(z/t)의 절대 수렴 시리즈를 곱하면 exp(t + z/t)에 대한 절대 수렴 시리즈를 얻는다. t 단위의 항을 수집하면, 우리가 가지고 있는 $C$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 파워 시리즈 정의와 비교를 통해 확인할 수 있다.

${\displaystyle \exp \left(t+{\frac {t}}\오른쪽)=\sum _{n=-\inflt }^{n}{\mathcal{C}_{n}(z).}$

이 생성 함수는 이후 공식을 얻기 위해 사용될 수 있으며, 특히 우리는 Cauchy의 적분 공식을 사용할 수 있으며, 정수 n에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ 다음과$$ 같이 $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ n ${\$을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{C}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}\point _{C}{\frac {\exp(t+z/t)}{t^{n+1}}\,dt={\frac {1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\exp(z\expi\ta )+\exp(i\theta )\,d\ta .}$

참조

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• Clifford, William Kingdon (1882), "On Bessel's Functions", Mathematical Papers, London: 346–349.
• Greenhill, A. George (1919), "The Bessel–Clifford function, and its applications", Philosophical Magazine, Sixth Series: 501–528.
• Legendre, Adrien-Marie (1802), Éléments de Géometrie, Note IV, Paris.
• Schläfli, Ludwig (1868), "Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati", Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2 (I): 232–242.
• Watson, G. N. (1944), A Treatise on the Theory of Bessel Functions (Second ed.), Cambridge: Cambridge University Press.
• Wallisser, Rolf (2000), "On Lambert's proof of the irrationality of π", in Halter-Koch, Franz; Tichy, Robert F. (eds.), Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Berlin: Walter de Gruyer, ISBN 3-11-016304-7.