베르트랑 역설(확률)

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베르트랑의 역설은 확률론의 고전적 해석 내에서의 문제다.조셉 베르트랑은 그것을 그의 작품 캘컬 데스 확률 (1889)에서 소개했는데,^[1] 이는 무심의 원리가 가능성의 영역이 무한할 때 무비판적으로 적용된다면 확률에 대해 확실하고 잘 정의된 결과를 만들어내지 못할 수 있다는 것을 보여주기 위한 예시였다.^[2]

베르트랑의 문제 공식화

베르트랑의 역설은 일반적으로 다음과 같이 제시된다.^[3]원 안에 새겨진 정삼각형을 생각해 보아라.원의 화음이 임의로 선택된다고 가정합시다.화음이 삼각형의 한 면보다 길어질 확률은 얼마인가?

베르트랑은 (각각 무관심의 원리를 사용하여) 세 가지 주장을 했는데, 모두 분명히 타당하지만, 다른 결과를 낳았다.

1. 

   무작위 코드, 선택 방법 1; 빨간색 = 삼각형 측보다 길고, 파란색 = 짧음
   "랜덤 엔드포인트" 방법:원의 둘레에 있는 임의의 점 두 개를 선택하고 그 점들과 결합하는 현을 그린다.문제의 확률을 계산하려면 삼각형이 회전하여 그 꼭지점이 현 끝점 중 하나와 일치한다고 상상하십시오.다른 현 끝점이 첫 번째 점의 반대편에 있는 삼각형 변의 끝점 사이의 호에 있는 경우, 현이 삼각형의 측면보다 길다는 것을 관찰한다.원호의 길이는 원주 원주의 3분의 1이므로 임의의 화음이 새겨진 삼각형의 측면보다 길어질 확률은 다음과 같다.1/3.
2. 

   무작위 코드, 선택 방법 2
   "임의 방사형 점" 방법:원의 반지름을 선택하고 반지름의 점을 선택한 다음 이 점을 통해 반지름에 수직으로 화음을 구성한다.문제의 확률을 계산하려면 삼각형이 회전하여 면이 반지름에 수직이 되도록 한다고 상상하십시오.화음은 삼각형의 면이 반지름을 교차하는 점보다 선택한 점이 원의 중심에 가까우면 삼각형의 측면보다 길다.삼각형의 옆면은 반지름을 이등분하므로 임의의 화음이 새겨진 삼각형의 옆면보다 길어질 확률은 1/2이다.
3. 

   무작위 코드, 선택 방법 3
   "임의 중간점" 방법:원 안의 아무 곳에서나 점을 선택하고 선택한 점을 중간점으로 하여 화음을 구성한다.화음은 선택한 점이 큰 원의 반지름 1/2 반경의 동심원 안에 있으면 새겨진 삼각형의 한 면보다 길다.작은 원의 면적이 큰 원의 면적의 4분의 1이므로 임의의 화음이 새겨진 삼각형의 면보다 길어질 확률은 1/4이다.

이 세 가지 선택 방법은 직경인 화음에 주는 무게에 따라 다르다.이 문제는 결과 확률에 영향을 주지 않고 직경을 제외하도록 문제를 "정규화"함으로써 피할 수 있다.^[3]그러나 위에서 제시한 바와 같이 방법 1에서는 지름인지 아닌지에 관계없이 각 화음을 정확히 한 가지 방법으로 선택할 수 있고, 방법 2에서는 각 화음을 두 가지 방법으로 선택할 수 있는 반면, 방법 3에서는 원 가운데를 제외한 각각의 중간점 선택은 하나의 화음에 대응한다.모든 지름의 중간점이다.

시뮬레이션된 Bertrand 분포를 보여주는 산점도,
3가지 방법 중 하나를 사용하여 무작위로 선택한 중간점/중간점^{[필요하다]}

방법 1을 사용하여 임의로 선택한 화음의 중간점	방법 2를 사용하여 임의로 선택한 화음의 중간점	방법 3을 사용하여 임의로 선택한 화음의 중간점
임의로 선택한 화음, 방법 1	무작위로 선택한 화음, 방법 2	무작위로 선택한 화음, 방법 3

다른 방법들은 중간점과 화음을 선택하는 것을 쉽게 상상할 수 있다; 다른 비율의 화음을 가진 많은 Engender 분포는 새겨진 삼각형의 측면보다 길다.^{[citation needed]}

고전적 해법

문제의 고전적 해법(예를 들어, 베르트랑 자신의 작품에서 표현)은 화음을 "임의로" 선택하는 방법에 달려 있다.^[3]무작위 선정 방식이 구체화되면 문제가 잘 정리된 해법(무관심 원리로 결정)을 갖게 된다는 주장이다.베르트랑드가 제시한 세 가지 해결책은 서로 다른 선택 방법에 대응하며, 추가 정보가 없는 경우에는 한 가지를 다른 방법보다 선호할 이유가 없다. 따라서 언급된 문제에는 고유한 해결책이 없다.^[4]확률에 대한 고전적 해석의 이것과 다른 역설은 빈번론적 확률과 주관적 베이지안적 확률을 포함하여 더 엄격한 제형을 정당화했다.^{[citation needed]}

"최대의 무지" 원칙을 이용한 제인스의 해결책

에드윈 제이네스는 1973년 논문 '잘 드러난 문제'^[5]에서 문제의 성명에서 제시되지 않은 어떤 정보도 이용해서는 안 된다는 '최대의 무지(maximum standy)'의 원리에 입각한 베르트랑의 역설의 해법을 제시했다.제인스는 베르트랑의 문제가 원의 위치나 크기를 명시하지 않고 있다고 지적하며, 따라서 어떤 확실하고 객관적인 해결책은 크기와 위치에 "불분명해야 한다"고 주장했다.즉, 해결책은 규모와 번역의 불변성을 모두 가져야 한다.

설명하기: 화음이 지름 2의 원 위에 무작위로 놓여 있다고 가정하고, 멀리 떨어진 곳에서 빨대를 던져 화음으로 변환하는 것으로 말한다.이제 더 작은 지름(예: 1.1)의 또 다른 원이 더 큰 원 안에 놓여진다.그런 다음 작은 원의 화음 분포는 더 큰 원의 화음 분포 제한과 동일해야 한다(생성 빨대 확장/제한을 사용).따라서 더 작은 원을 더 큰 원 내에서 이동하면 제한된 분포가 변경되지 않아야 한다.방법 3에 변화가 있을 것이라는 것을 매우 쉽게 알 수 있다: 작은 빨간색 원의 코드 분포는 큰 원의 분포와 질적으로 다르게 보인다:

방법 1도 마찬가지지만, 그래픽으로 표현하기는 어렵다.방법 2는 척도 불변성과 번역 불변성 둘 다인 유일한 것이다; 방법 3은 척도 불변성일 뿐, 방법 1은 그렇지 않다.

그러나, Jaynes는 주어진 방법을 받아들이거나 거부하기 위해 단지 침입자만을 사용한 것이 아니다: 이것은 그의 상식적인 기준을 충족시킬 또 다른 기술되지 않은 방법이 있을 가능성을 남겨둘 것이다.Jaynes는 확률 분포를 직접 결정하기 위해 침입자를 설명하는 적분 방정식을 사용했다.이 문제에서, 적분 방정식은 정말로 독특한 해답을 가지고 있으며, 그것은 바로 위의 "방법 2"라고 불렸던, 무작위 반지름 방식이다.

알론 드로리는 2015년 기사에서 제인스의 원칙이 베르트랑의 다른 두 가지 해결책도 산출할 수 있다고 주장했다.^[3]드로리는 위의 불연속 성질의 수학적 구현은 고유하지 않지만, 사람이 사용하는 무작위 선택(위에서 언급한 바와 같이, Jaynes는 무작위 화음을 선택하기 위해 빨대 던지기 방법을 사용했다)의 근본적인 절차에 달려 있다고 주장한다.그는 베르트랑의 세 가지 해결책 각각이 회전, 스케일링, 번역적 불변성을 이용해 도출될 수 있음을 보여주며, 제인스의 원리는 무관심의 원리와 마찬가지로 해석의 대상이라고 결론지었다.

예를 들어, 우리는 원을 향해 다트를 던지고, 선택한 점을 중심으로 화음을 그리는 것을 고려할 수 있다.그러면 번역, 회전, 척도 불변인 독특한 분포가 위의 "방법 3"이라고 불리는 것이다.

마찬가지로 "방법 1"은 스피너를 사용하여 화음의 끝점을 선택한 다음 다시 화음의 방향을 선택하는 시나리오의 고유한 불변분포다.여기서 문제의 불변은 두 개의 스핀 각각에 대한 회전 불변으로 구성된다.또한 원주 둘레의 한 점 위에 로드를 수직으로 놓고 수평 위치로 떨어뜨릴 수 있는 시나리오(원 안에 부분적으로 착지하는 조건부)에 대한 고유한 스케일 및 회전 불변 분포가 된다.

물리실험

"메소드 2"는 Jaynes가 제안한 작은 원 위에 빨대를 던지는 실험의 특정한 경우에서 통계 역학과 가스 물리학 같은 특정 물리적 시스템에 존재하는 변환 불변제를 충족시키는 유일한 솔루션이다.그럼에도 불구하고 다른 방법에 따라 해답을 주는 다른 실제 실험을 설계할 수 있다.예를 들어 무작위 엔드포인트 방식인 "방법 1"의 해법에 도달하기 위해서는 원 중앙에 스피너를 부착하고, 두 개의 독립된 스핀의 결과가 화음의 엔드포인트를 표시하도록 할 수 있다.'방법3'의 해법에 도달하기 위해서는 당밀로 원을 감싸고 파리가 최초로 착륙하는 지점을 화음의 중간점으로 표시할 수 있었다.^[6]여러 관측자들은 다른 해결책을 얻기 위해 실험을 설계했고 그 결과를 경험적으로 검증했다.^[7][8][3]

최근 개발

니콜라스 섀클은 2007년 논문 '베르트랑의 역설과 무관심의 원리'^[2]에서 1세기가 넘어도 역설은 풀리지 않고 남아 있다고 단언하고 무관심의 원리를 계속 반박하고 있다.

섀클은^[2] 버트랜드의 역설, 즉 비균등적 문제의 구분이 고려된 것과 문제가 잘 드러난 것으로 가정된 것, 두 가지 접근법이 지금까지 일반적으로 채택되어 왔다고 강조한다.섀클은 루이 마리노프를^[4] 구분 전략의 대표적인 대표로, 에드윈 제인스를^[5] 웰포징 전략의 대표적인 대표로 꼽는다.

그러나 최근작인 '베르트랑의 역설의 어려운 문제를 해결하라'^[9]에서 데데리크 아에르츠와 마시밀리아노 사솔리 데 비안치는 베르트랑의 역설과 씨름하기 위해서는 혼성 전략이 필요하다고 본다.이들 저자들에 따르면 우선 무작위화 대상인 실체의 성격을 매우 명료하게 명시함으로써 문제를 해소할 필요가 있으며, 이것이 일단 이루어진 후에야 문제를 제인스적 의미에서는 잘 포장된 것으로 간주할 수 있기 때문에 최대의 무지의 원리가 그것을 해결하는 데 이용될 수 있다고 한다.이를 위해, 그리고 문제는 화음을 어떻게 선택해야 하는가를 명시하지 않기 때문에, 화음의 가능한 다른 선택의 수준이 아니라 화음을 선택할 수 있는 다른 가능한 방법의 훨씬 더 깊은 수준에서 원리를 적용할 필요가 있다.이를 위해서는 화음을 선택하는 가능한 모든 방법에 걸쳐 메타 평균을 계산해야 하는데, 이를 저자들이 보편적 평균이라고 부른다.그것을 다루기 위해서, 그들은 Wiener 공정에서 확률 법칙의 정의에서 행해지는 것에 영감을 받은 탈색 방법을 사용한다.그들이 얻는 결과는 비록 그들의 잘난 문제는 제이네스의 그것과 다르지만, 제이네스의 수치적인 결과와 일치한다.

메모들

추가 읽기

• Clark, Michael (2012), Paradoxes from A to Z (3rd ed.), Routledge, ISBN 978-0-415-53857-2
• Gyenis, Zalán; Rédei, Miklós (1 June 2015), "Defusing Bertrand's Paradox", British Journal for the Philosophy of Science, 66 (2): 349–373, doi:10.1093/bjps/axt036, archived from the original on 5 August 2014

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Bertrand's Problem". MathWorld.
• Bertrand's Paradox 번호표본 & 3Blue1Brown 기준