점근 치수

미터법 기하학에서, 미터법 공간의 점증적 치수는 치수를 포함하는 Lebesgue의 대규모 아날로그다.점증적 차원의 개념은 미하일 그로모프가 1993년 발표한 모노그래프에서 기하학적 집단 이론의 맥락에서 무한한 집단의^[1] 점증적 불변제로서, 정밀하게 생성된 집단의 준등계 불변제로서 도입되었다.구량유에서 알 수 있듯이, 유한한 점증 치수의 유한 호모토피 타입의 정밀하게 생성된 집단은 노비코프 추측을 만족시킨다.^[2]점근 치수는 기하학적 분석과 지수 이론에서 중요한 응용을 가지고 있다.

형식 정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 메트릭 공간으로 하고$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq$ 0$}$을(를) 정수로 한다.We say that ${\displaystyle asdim(X)\leq n}$ if for every ${\displaystyle R\geq 1}$ there exists a uniformly bounded cover ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ of ${\displaystyle X}$ such that every closed ${\displaystyle R}$-ball in ${\displaystyle X}$ intersects at most ${\displaystyle n}$${\displaystyle +}$ $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 1 ${\displaystyle n+1$} 하위$$ 집합$.$ 여기서 '균일하게 경계'는 U U d a ) < ${\displaystystyle sup_{{}$$U\in {\mathcal {U}diam(U)<\infully$

We then define the asymptotic dimension ${\displaystyle asdim(X)}$ as the smallest integer ${\displaystyle n\geq 0}$ such that ${\displaystyle asdim(X)\leq n}$, if at least one such ${\displaystyle n}$ exists, and define ${\displaystyle asdim(X):$$=\flotty$ $}.$

Also, one says that a family ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ of metric spaces satisfies ${\displaystyle asdim(X)\leq n}$ uniformly if for every ${\displaystyle R\geq 1}$ and every ${\displaystyle i\in I}$ there exists a cover ${\displaystyle {\mathcal$X의{U}}_{나는}}나는}지름의 대부분의 D으로(R)<>{\displaystyle X_{나는}, ∞{\displaystyle D(R)<, \infty}(제가 독립{\displaystyle 나는})가 모든 문을 닫R{R\displaystyle}-ball에 X나는{\displaystyle X_{나는}}와 교차에서 대부분의 n+1{\displaystyle n+1}하위 집합에서. u${\displaystyle i_{}}$ ${\$

예

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 경계 직경의 메트릭 공간인$$ 경우 ${\displaystyle \mathrm{s}}$ d ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m(}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle asdim(X)=0}$.
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d\mathbb{}}$ ${\displaystyle i}$ m${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m\mathbb{}}$( Z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle asdim(\mathb {R} )=asdim(\mathb {Z} )=1$
• ${\displaystyle a}$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( R ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle asdim(\mathb {R} ^{n}=n$
• ${\displaystyle a}$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( H ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle asdim(\mathb {H} ^{n}=n$

특성.

• $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$이(가) 메트릭 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 하위 공간인$$ 경우$,$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ m${\displaystyle }$(${\displaystyle }$Y )${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaysty asdim(Y)\leq asdim(X$
• 모든 메트릭 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle Y}$$}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle \mathrm{s<img\; alt="Y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f"\; style="vertical-align:\; -0.171ex;\; width:1.773ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="101">}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ m${\displaystyle }$( ${\displaystyle X\times }$ ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ ${\displaystyle m}$ (${\displaystyle }$Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle asdim(X\time Y)\leq asdim(X)+asdim(Y)}$이 있다$.$
• If ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ then ${\displaystyle asdim(A\cup B)\leq \max\{asdim(A),asdim(B)\}}$.
• ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle f:$$Y\to X}$은 거친 내장(예: 준 등축 임베딩)이고$$, 그 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$ s d${\displaystyle }$i ${\displaystyle m(}$Y )${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ m${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$ ) s s dim${\displaystyle (Y}$) ${\displaystyle asdim(Y)\leq asdim(X)}$.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$이(가) 거칠게 동등한 메트릭 공간(예: 준 등축 메트릭 공간)인$$ 경우 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m(}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ ${\displaystyle m(Y}$) ${\displaystyle asdim(X)=asdim(Y$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(${\displaystyle 가}$) 실제 트리인 경우 ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m(}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ 1 ${\displaystyle asdim(X)\leq$ 1$\}$ .
• Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a Lipschitz map from a geodesic metric space ${\displaystyle X}$ to a metric space ${\displaystyle Y}$ . Suppose that for every ${\displaystyle r>0}$ the set family ${\displaystyle \{f^{-1}(B_{r}(y))$$\}_{y\in$ Y$}}$은(는) ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle asdim\leq n}$을(를) 균일하게$$ 만족한다$$.${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ m${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \le }$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$+ n${\displaystyle }$. ${\displaystyle asdim(X)\leq asdim(Y)+n.}$ 참조$$^[3]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이() m( X)< ${\displaystyle asdim(X)<\infitty }}$이(^[4]가) 있는 메트릭 공간이라면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ X$}$은 힐버트 공간에 거친(일정형)이 내장된 것을 허용한다$$.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(${\displaystyle 가}$) ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle asdim(X)\leq n}$을(를) 가진 경계 기하학의 메트릭 공간이라면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$X}은$($는) $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystysty n+1}$의 지역 유한한 산물에 거친 내장을 허용한다$$.^[5]

기하학적 집단 이론의 점증적 차원

Asymptotic 차원 Guoliang Yu[2]의를 sd나는 치고(G)<>이 한정된 호모토피 형식의 경우 G{G\displaystyle}은 유한하게 생성된 그룹(그 유한한 CW-complex의 호모토피 형식의classifying 공간과 함께 있), ∞{\displayst 입증되 1998년 논문, 후에 기하학적 그룹 이론 특히 명성을 이루었다.yle로$그러면{\displaystyle }$ G${\$$displaystyle G}$은(는 노비코프 추측을 만족시킨다$$.이후 나타난 바와 같이,^[6] 점근성이 유한한 그룹은 위상적으로 순응할 수 있다. 즉, 그룹의^[7] 축소된 C*-알골의 정확성과 동등하고 소개된 굴량 유의 재산 A를 만족시킨다.

• ${\displaystyle G}$이(가) 단어 확장 그룹이라면 s )<∞ ${\displaystyle asdim(G)<\infty$ ^[8]
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 부분군$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1 ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대해 비교적 쌍곡선인 경우$$, m( )< {\$displaysty asdim(G)<put$^[9]
• ${\displaystyle a}$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( Z ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle asdim(\mathb {Z} ^{n}=n$
• $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\leq$ G$\},$ 여기서 ${\displaystyle H}$, G ${\displaystyle H,G}$이(가) 미세하게 생성되면$$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( ${\displaystyle H}$)${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle asdim(H)\leq asdim(G$
• Tompson의 그룹 F의 경우, $임의$로 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$$}$에 $대해$ F ${\$$displaystyle$ $asdim(F)=\n$}에 이형 ${\displaystyle {}^{}}$이 Z n {\$displaystyle \mathb{Z} ^{n$$}$에 포함되기$$ 때문에$$ s ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m(F}$)${\displaystyle }$=$$이 있다$.$
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 기본 그래프 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와) 미세하게 생성된 정점 그룹 A의 유한 $그래프{\displaystyle \mathbb{}}$ 그룹 ${\$의 기본 그룹인 경우^[10]

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{v}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ V ${\displaystyle \underset{}{Y}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (A_{}}$ v${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle asdim(G)\leq 1+\max _{v\in VY}asdim(A_{v$

• 방향성이 있는 유한형 표면의 매핑 클래스 그룹은 유한 점증 치수를 가진다.^[11]
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 연결된 Lie 그룹으로 하고$$ ${\displaystyle \mathrm{and}}$ ${\displaystyle \le }$ G ${\displaystyle \Gamma \leq G}$을(를) 미세하게 생성된 이산 하위 그룹으로 한다$$.그리고 ()<{ ${\displaystyle asdim(\Gamma )<\infully$ ^[12]
• $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$( ${\displaystyle F_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle Out(F_{n})}$이(가) > ${\displaystyle n>2}$에 대해 유한한 점증상 치수를 가지고$$ 있는지 알 수 없다^[13]

참조

추가 읽기