미술관 문제

미술관 문제나 박물관 문제는 컴퓨터 기하학에서 잘 연구된 가시성 문제다.함께 화랑 전체를 관찰할 수 있는 최소한의 경비원으로 미술관을 지키는 현실적 문제에서 비롯된다.문제의 기하학적 버전에서 미술관의 레이아웃은 단순한 다각형으로 표현되고 각각의 가드는 다각형으로 표현된다.폴리곤의 모든$$ $포인트{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$에 대해${\displaystyle }$$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과($와{\displaystyle }$)$$q {\$displaystyle$q} 사이의 선 세그먼트가 폴리곤을 벗어나지 않는$$$$ ${\displaystyle \mathrm{경우}}$, $설정$된$$S {\displaystystyle $s$$}$은 폴리곤을 보호한다고 한다.

2차원

미술관 문제로도 언급되는 원래의 문제에는 수많은 변형이 있다.일부 버전에서 가드는 둘레로 제한되거나 심지어 폴리곤의 꼭지점까지 제한된다.일부 버전에서는 경계 또는 경계 부분 집합만 보호해야 한다.

정점에 가드를 두고 정점만 지키면 되는 버전을 해결하는 것은 다각형의 가시성 그래프에서 지배적인 세트 문제를 해결하는 것과 같다.

차발 미술관 정리

바클라프 차바탈의 이름을 딴 차바탈의 미술관 정리는 최소한의 경비원 수에 상한을 부여한다.$\lfloor {\displaystyle n}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\$$displaystyle$ $\좌측\lfloor$ n/$3\$$우측\rfloor }$ 가드는$$ $항상{\displaystyle }$ 충분하며 때로는 정점이 있는$$ 간단한 다각형을 보호하는 데 필요하다고 명시되어 있다$.$

얼마나 많은 정점/감시원/경비원이 필요한지에 대한 질문은 1973년 빅터 클리에 의해 치바탈에게 제기되었다.^[1]체바탈은 그 직후 그것을 증명했다.^[2]체바탈의 증거는 나중에 스티브 피스크에 의해 3가지 색깔의 논쟁을 통해 단순화되었다.^[3]

피스크의 짧은 증거

스티브 피스크의 증거는 너무 짧고 우아해서 THE BOOK의 Proofs에 포함되도록 선택되었다.^[4]그 증거는 다음과 같다.

첫째, 폴리곤은 (정점을 추가하지 않고) 삼각형이다.결과 삼각 측량 그래프의 정점은 3색일 수 있다.^[a]분명히, 3가지 색상 아래, 모든 삼각형은 3가지 색상을 모두 가져야 한다.폴리곤의 모든 삼각형은 그 색상의 꼭지점에 의해 보호되기 때문에 하나의 색을 가진 꼭지점이 유효한 보호 세트를 형성한다.세 가지 색상은 폴리곤의 n 정점을 분할하므로 정점이 가장 적은 색상은 최대${\displaystyle \mathrm{most}}$ n${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$의 가드를 가진 유효한 가드 세트를 정의한다.

일반화

모서리에서의 가드 제한을 다각형의 외관이 아닌 임의의 지점에서 가드로 풀면 차발 상한이 유효하다.

독창적인 예술-갤러리 정리에 대한 많은 다른 일반화와 전문화가 있다.^[6]예를 들어, 직교 다각형의 경우, 가장자리/벽이 직각으로 만나는 경우${\displaystyle }$guards ${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor n/4\rfloor }$의 가드만 필요하다.이 결과에는 적어도 세 가지 뚜렷한 증거가 있는데, 그 중 어느 것도 간단하지 않다: 칸, 클라위, 클리트만, 루비우, 그리고 삭과 뚜생이다.^[7][8]

관련 문제에서 임의 폴리곤의 외관을 커버할 가드 수를 요구한다("장난 문제"). $\lceil {\displaystyle }$${\displaystyle n}$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}${$${\$displaystyle \lceil$n/${\displaystyle 2\mathrm{}}$$\rceil$}}은$$(는) 폴리곤의 경계에 가드(guards $style \lceil n/3\rceil }$이)가 필요할$$ 때도 있고 항상 충분하다${\displaystyle .}$다각형 외부 어디에든 가드를 배치하는 경우 필수적이며 항상 충분하다.^[9]무한 외관이 유한한 내부보다 커버하기가 더 어렵다는 얘기다.

계산 복잡성

미술관 문제의 의사결정 문제 버전에서는 폴리곤과 숫자 k 둘 다 입력으로 주어지며, 폴리곤을 k 이하의 경비원으로 보호할 수 있는지 여부를 결정해야 한다.이 ${\displaystyle 문제}$는${\displaystyle \mathrm{}}$guards R ${\$}-완료$$(Guards가 폴리곤 가장자리로 제한되는 버전처럼)이다.^[10]또한 대부분의 다른 표준 편차(예: 보호 위치를 정점으로 제한하는 것)는 NP-경도다.^[11]

최소 가드 수에 대한 근사 알고리즘에 대해, Eidenbenz, Storm & Widmayer(2001)는 APX-hard로 문제를 증명하여, 일부 고정 상수보다 더 나은 근사비를 다항 시간 근사 알고리즘으로 달성할 수 있을 것 같지 않음을 시사했다.그러나 일정한 근사비를 달성하는 알고리즘은 아주 최근까지 알려져 있지 않았다.Ghosh(1987)는 입력 폴리곤을 볼록한 하위 영역으로 분리한 다음 문제를 세트 커버 문제로 줄임으로써 최소 정점 가드 수에 대해 로그 근사치를 달성할 수 있다는 것을 보여주었다.발트르(1998)가 보여주듯이, 미술관 문제에서 파생된 세트 시스템은 VC 치수를 경계로 하여, 폴리곤 정점의 수가 아닌 최적의 가드 수의 로그가 근사율인 ε-net에 기초한 세트 커버 알고리즘을 적용할 수 있게 되었다.^[12]무제한 경비원의 경우, 무한한 수의 잠재적 경비 위치로 문제를 더욱 어렵게 만든다.그러나 경비원이 미세한 그리드에 눕도록 제한함으로써 보닛 & 밀조 (2017)에서 알 수 있듯이, 약간의 가벼운 추가 가정 하에서 보다 복잡한 로그 근사 알고리즘을 도출할 수 있다.그러나 효율적인 알고리즘은 최대${\displaystyle most}$ n${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\$정점$$ 가드 집합을 찾는 것으로 알려져 있으며, 이는 Chvátal의 상한과 일치한다.데이비드 에이비스(1981)와 고프리드 뚜생(1981)은 이러한 경비병 배치를 분할 및 정복 알고리즘을 통해 최악의 경우 O(n log n) 시간에 계산할 수 있다는 것을 증명했다.쿠셰쉬&모레트(1992)는 피스크의 짧은 증명과 버나드 샤젤의 선형 시간 평면 삼각측량 알고리즘을 이용해 선형 시간 알고리즘을 부여했다.

구멍이 없는 단순한 다각형의 경우, 정점 및 모서리 가드에 대한 일정한 인자 근사 알고리즘의 존재를 Ghosh가 추측하였다.고쉬의 추측은 처음에는 가장자리에서 약하게 보이는 간단한 폴리곤과 단조로운 폴리곤과 폴리곤의 두 가지 특별한 하위 등급의 정점 경비병들에게 사실인 것으로 보였다.Krohn & Nilsson(2013)은 가드 집합의 크기가 최적 정점 가드 수의 최대 30배인 모노톤 폴리곤에 대해 정점 가드 세트를 다항 시간 내에 계산하는 근사 알고리즘을 제시했다.바타차랴, 고시앤로이(2017년)는 가드 집합의 크기가 최적 정점 가드 수의 최대 6배까지 되도록 가장자리로부터 약하게 보이는 단순한 폴리곤에 대한 정점 가드 세트를 O(n²) 시간으로 계산하는 근사 알고리즘을 제시했다.이어 바타차랴, 고시앤팔(2017년)은 정점 가드와 가장자리 가드를 이용해 일반 단순 다각형을 지키는 일정한 요인 근사 알고리즘을 제시해 추측을 완전히 해결했다고 주장했다.가장자리에서 약하게 보이는 단순 다각형의 하위 클래스를 지키는 정점에 대해서는 Ashur 등(2019)에 의해 다항 시간 근사 방법이 제안되었다.

쿠토, 데 레젠데 & 데 수자(2011년)가 정점 가드를 위해 정확한 알고리즘을 제안했다.저자들은 수천 개의 정점과 관련된 인스턴스라도 비교적 적은 계산 시간에 최적의 해결책을 찾을 수 있다는 것을 보여주는 여러 종류의 다각형으로 광범위한 계산 실험을 실시했다.이러한 인스턴스에 대한 입력 데이터와 최적의 솔루션을 다운로드할 수 있다.^[13]

삼차원

박물관을 다면체로 3차원으로 나타낸다면, 각 꼭지점에 경비원을 배치한다고 해서 박물관이 모두 관찰되고 있는 것은 아니다.다면체의 모든 표면을 조사하지만 일부 다면체의 경우 내부에는 감시 대상이 아닐 수 있는 점이 있다.^[15]

미술관 문제의 사용 시나리오 가능성

미술관 문제는 카메라의 최소 개수를 사용하여 카메라 시야에서 넓은 영역을 커버하는 것이 목표일 때 여러 대의 카메라를 배치하는 데 사용할 수 있다.

참고 항목

• 항성 다각형으로 직사각형 다각형 덮기
• 별 모양의 다각형, 미술관 문제를 가드 하나로 해결할 수 있는 폴리곤의 한 종류.

메모들

참조

원천