페달 삼각형

기하학에서, 페달 삼각형은 삼각형의 측면에 점을 투영함으로써 얻어진다.

구체적으로는 삼각형 ABC, 그리고 정점 A, B, C 중 하나가 아닌 점 P를 고려한다. P에서 삼각형의 세 면까지 수직으로 떨어트린다(이러한 것은 생산해야 할 수도 있다, 즉 연장해야 할 수도 있다).L, M, N 옆면 BC, AC, AB와 P에서 나오는 선의 교차점에 라벨을 붙인다.그러면 페달 삼각형은 LMN이다.

ABC가 둔각 삼각형이 아닌 경우 LMN의 각도는 180°-2A, 180°-2B 180°2C.^[1]

선택된 삼각형 ABC에 상대적인 선택된 점 P의 위치는 다음과 같은 특별한 경우를 발생시킨다.

• P = 직교점인 경우 LMN = 직교 삼각형.
• P = 인센티브인 경우 LMN = intouch 삼각형.
• P = 곡면 중심인 경우 LMN = 내측 삼각형.

만약 P가 삼각형의 원주에 있다면 LMN은 선으로 붕괴한다.이것을 페달을 밟는 선, 혹은 때로는 로버트 심슨의 뒤를 이어 심슨 선이라고 부른다.

내부점 P의 페달 삼각형의 정점은 상단 다이어그램에 나타난 바와 같이 카르노의 정리를 만족시키는 방법으로 원래의 삼각형의 측면을 나눈다.^[2]

${\displaystyle AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}}}$

삼선 좌표

P에 3행 좌표 p : q : r이 있는 경우, P의 페달 삼각형의 정점 L, M, N은 다음과 같이 주어진다.

• L = 0 : q + p cos C : r + p cos B
• M = p + q cos C : 0 : r + q cos A
• N = p + r cos B : Q + r cos A : 0

대척삼각형

P의 대척점 삼각형의 한 꼭지점인 L'은 BP에서 B까지 수직이고 CP에서 C까지 수직인 교차점이다.그것의 다른 꼭지점인 M '와 N '은 유사하게 구성된다.트리린 좌표는 다음에 의해 주어진다.

• L' = (q + p cos C)(r + p cos B) : (r + p cos B)(p + q cos C) : (q + p cos C) (p + r cos B)
• M' = (r + q cos A)(q + p cos C) : (r + q cos A)(p + q cos C) : (p + q cos C) (q + r cos A)
• N' = (q + r cos A)(r + p cos B) : (p + r cos B)(r + q cos A) : (p + r cos B) (q + r cos A) : (p + r cos B) (q + r cos A)

예를 들어, 중심외삼각형은 장려자의 반대 삼각형이다.

P가 확장된 BC, CA, AB 면에 놓여 있지 않고 P가⁻¹ P의 등각 결합을 나타내도록 한다고 가정하자.P의 페달 삼각형은 P의⁻¹ 반대 삼각형과 동음이의적이다.동음이의 중심(P가 삼각 중심인 경우 및 P가 삼각 중심인 경우에만 삼각 중심인 경우)은 다음과 같이 3행 좌표로 주어지는 지점이다.

ap(p + q cos C) (p + q + r cos B) : bq(q + r cos A) (q + p cos C) : cr(r + p cos B) (r + q cos A) : cr(r + q cos A)

P의 페달 삼각형 영역과⁻¹ P의 대척 삼각형 영역의 곱은 ABC 삼각형 영역의 제곱과 같다.

페달원

페달 원은 페달 삼각형의 원형으로 정의된다.삼각형의 원주에 놓여 있는 점에 대해서는 페달 원이 정의되어 있지 않다는 점에 유의하십시오.

등각 접합부의 페달 원

삼각형의 원주에 놓여 있지$$ 않은 P ${\displaystyle P}$과($와{\displaystyle }$) 이등변결합 $⋆{\$ P$^{\star }}}$은(는) 이 두 점의 중간점인 공통 페달 원을 가지고$$ 있는 것으로 알려져 있다.^[3]

참조

외부 링크

• Mathworld: 페달 삼각형
• 심슨 선
• 페달 삼각형 및 이등변 결합도