앤더슨의 정리

수학에서 앤더슨의 정리는 실제 분석과 기하학의 결과로서, K가 원점을 향해 안쪽으로 번역될 경우 n차원 볼록체 K에 대한 통합형, 대칭형, 단모형, 비음수함수 f의 적분은 감소하지 않는다고 한다.f의 그래프는 원점 위에 하나의 봉우리가 있는 언덕으로 생각할 수 있기 때문에 이것은 자연스러운 진술이다. 그러나 n ≥ 2의 경우, f(x) 값이 x의 해당 번역보다 큰 신체 K의 지점 x가 있을 수 있기 때문에, 증거가 완전히 명백하지는 않다.

앤더슨의 정리에는 확률 이론에도 흥미로운 적용이 있다.

정리명세서

K를 원점에서의 반사, 즉 K = -K와 대칭인 n차원ⁿ 유클리드 공간 R에서 볼록한 몸체가 되게 한다.f : Rⁿ → R을 음이 아닌 대칭적이고 전지구적으로 통합 가능한 함수로 한다.

• f(x) ≥ 모든 x ∈ R에ⁿ 대해 0;
• f(x) = 모든 x ∈ R에ⁿ 대한 f(-x);
• ${\displaystyle \int _{\mathb {R}^{n}f(x)\,\mathrm {d}x<+\ft.}$

또한 슈퍼 레벨이 에 의해 정의된 F의 L(f, t)을 설정한다고 가정하자.

$\displaystyle L(f,t)=\{x\in \mathb {R} ^{n}f(x)\geq t\}}$

t ≥ 0마다 R의ⁿ 볼록 부분 집합이다. (이 특성은 때때로 단항이라고 한다.)그러면 0 any c ≤ 1과 y ∈ R에 대해ⁿ

${\displaystyle \int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d}x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d}x.}$

확률 이론에 적용

확률 공간(Ω, Ω, σ, Pr)을 감안할 때, X : Ω → R은ⁿ 확률밀도함수 f : R → [0ⁿ, +∞)를 갖는 R 값 랜덤ⁿ 변수이며, Y : Ω → R은ⁿ 독립 랜덤 변수라고 가정한다.잘 알려진 많은 확률 분포의 확률밀도함수는 일부 p에 대해 p-concave이며, 따라서 단측값이다.또한 대칭(예: 라플라스 및 정규 분포)인 경우 앤더슨의 정리가 적용되며, 이 경우 앤더슨의 정리가 적용된다.

${\displaystyle \Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)}$

모든 원점 대칭 볼록체 K rⁿ R.

참조

• Gardner, Richard J. (2002). "The Brunn-Minkowski inequality". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (electronic). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.