아핀 산술

아핀 산술(AA)은 자가 검증된 수치해석의 모델이다.AA에서 관심의 양은 특정 원시 변수의 아핀 결합(아핀 형태)으로 표현되며, 이는 데이터의 불확실성 또는 계산 중에 만들어진 근사치를 나타낸다.

아핀 산술은 간격 산술(IA)의 개선을 의미하며, 일반화 구간 산술, 1차 테일러 산술, 중심 기울기 모델, 타원체 미적분과 유사하다 - 일반식에 1차 보증 근사치를 도출하는 자동 방법이라는 점에서.

아핀 산술은 비선형 방정식의 시스템 해결, 동적 시스템 분석, 함수 통합, 미분 방정식 등 원활한 기능을 위해 보장된 인클로저가 필요한 모든 숫자 문제에서 잠재적으로 유용하다.응용 프로그램에는 광선 추적, 플롯 곡선, 암묵적 및 파라메트릭 표면 교차, 오류 분석(수학), 공정 제어, 전기 회로의 최악의 경우 분석 등이 포함된다.

정의

아핀 산술에서 각 입력 또는 계산된 수량 x는 $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ = $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ + $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ + x $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ $x=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+{}$ + ${\$ x $=x_{0}+x_{1$ } 공식으로 표현된다. $}\epsilon _{1}+x_{2$ $}\epsilon _{2}+{}}$ $\cdots$ ${}+x_{n}\epsilon _{n}$ where $x_{0},x_{1},x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}$ are known floating-point numbers, and ${\di$ $splaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\mession,\epsilon _{n}}$ 은(는) 값이 [-1,+1] 범위에만 있는 것으로 알려진 기호 변수다 $\epsilon _{1},\epsilon _{2},\dots ,\epsilon _{n}$ .

따라서 예를 들어 [3,7] 범위에 있다고 알려진 수량 X는 일부 k에 대해 아핀 형식 $x=5+2\epsilon _{k}$ = $x=5+2\epsilon _{k}$ + 2 $x=5+2\epsilon _{k}$ k ${\$ 로 나타낼 수 있다 $x=5+2\epsilon _{k}$ 반대로 $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ = $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ + $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ - $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ 8 ${\$ x $=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ 형식은 해당 수량 X가 [3,17] 범위에 있음을 암시한다 $x=10+2\epsilon _{3}-5\epsilon _{8}$ .

두 개의 아핀 $양식$ x {\displaystyle x}, $y$ $x$ {\ $displaystyle y}$ 중에서 $\epsilon _{j}$ 기호 $\epsilon _{j}$ j ${\$ $displaystyle \epsilon_{j}$ 를 공유하는 것은 해당 수량 X, Y가 개별 범위의 데카르트 제품보다 작다는 점에서 부분적으로 의존적이라는 것을 의미한다 $y$ .For example, if $x=10+2\epsilon _{3}-6\epsilon _{8}$ and $y=20+3\epsilon _{4}+4\epsilon _{8}$ , then the individual ranges of X and Y are [2,18] and [13,27], but the joint range of the pair (X,Y) is the hexagon with corners (2,27), (6,27),(18,19), (18,13), (14,13), (2,21) — 직사각형의 적절한 부분집합이다[2,18]×[13,27].

아핀 산술 연산

어핀 형식은 표준 산술 연산 또는 기본 함수와 결합하여 수식에 대한 보장된 근사를 얻을 수 있다.

아핀 작업

For example, given affine forms $x,y$ for X and Y, one can obtain an affine form $z$ for Z = X + Y simply by adding the forms — that is, setting $z_{j}$ $\gets$ $x_{j}+y_{j}$ for every j.마찬가지로, J = $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha$ } $\alpha$ 에 $z$ $\alpha$ 대한 $\alpha x_{j}$ 아핀 $형식$ z{\ $displaystyle$ $\gets$ \ $alpha$ }을(를) 계산할 수 있으며, $z_{j}$ 서 $\alpha$ $z_{j}$ {\ $displaystyle z_{j}}}$ $\gets$ \{\ $displaystystyle$ \ $gets }}$ $\gets$ $\alpha x_{j}$ $\alpha x_{j}$ ${\$ 을 설정하여 알려진 상수를 계산할 $\alpha$ 수 있다. $\alpha$ 은 $\alpha$ Z = $\alpha$ $\alpha$ X + $\beta$ $\beta$ $\beta$ + $\gamma$ $\gamma$ 과 같은 임의의 아핀 연산을 일반화한다 $\gamma$

비아핀 작업

A non-affine operation $Z$ $\gets$ $F(X,Y,$ $\dots$ $)$ , like multiplication $Z$ $\gets$ $XY$ or $Z$ ${\displaysty$ $le \gets$ $\sin(X)$ } $\sin(X)$ $\gets$ $\sin(X)$ $\sin(X)$ ( $){\displaystyle \sin(X$ 은 결과가 $\epsilon _{i}$ i ${\$ $i$ $}}$ 의 부호 형식이 아니므로 정확히 수행할 수 없다 $\epsilon _{i}$ 이 경우, f에 근접한 부호함수 G를 첫 순서에 따라 $x$ $정렬$ 해야 $한다$ $.$ $isplaystyle y}$ ; and compute $z$ $\gets$ $G(x,y,$ $\dots$ $)+z_{k}\epsilon _{k}$ , where $z_{k}$ is an upper bound for the absolute error ${\displaystyle$ $|F-G|$ 그 범위에 해당하는 $|F-G|$ $F-G$ }과(와) $\epsilon _{k}$ k $\epsilon _{k}$ {\ $displaystyle \epsilon _{k}$ 는 이전의 어떤 형태에서도 발생하지 않는 새로운 기호 변수다 $\epsilon _{k}$ .

$그러면$ z $z$ $z$ 형식은 Z의 수량에 대한 보증 엔클로저를 제공하며, 더욱이 $어핀$ $x,y,$ 은 x, y, ${\displaystyle$ x $,$ y $,}$ … ${\$ $\dots$ z ${\displaystytle$ ,z $}$ 을 공동으로 $,z$ 제공하는데, 이 포인트는 종종 범위의 데카르트 제품보다 훨씬 작다.개별 형태의 s

체인 작업

이 방법을 체계적으로 사용하면 입력과 출력 사이의 1차 상관관계를 보존하고 접합 범위의 완전한 인클로저를 보장하면서 주어진 수량에 대한 임의의 계산을 부속서식의 등가 계산으로 대체할 수 있다.공식의 각 산술 연산이나 기본 함수 호출은 해당 AA 라이브러리 루틴에 대한 호출로 대체한다.

매끄러운 기능의 경우, 각 단계에서 발생하는 근사 오차는 입력 간격의 폭 h의 제곱² h에 비례한다.이러한 이유로, 아핀 산술은 표준 간격 산술보다 훨씬 더 엄격한 경계를 산출하는 경우가 많다(오차는 h에 비례한다).

반올림 오류

보장된 인클로저를 제공하기 위해, 어핀 산술 연산은 결과 계수 $z_{j}$ $z_{j}$ ${\$ 의 계산에서 반올림 오류를 설명해야 한다 $z_{j}$ $z_{j}$ z j ${\$ 를 특정 방향으로 $z_{j}$ 반올림하여 수행할 수 없으며, 이러한 반올림은 $\epsilon _{j}$ j ${\$ 기호를 공유하는 아핀 양식 간의 종속성을 위조하기 때문이다 $\epsilon _{j}$ 대신 Δj ${\$ 를 라운드오프에 $\delta _{j}$ 계산해야 한다.각 $z_{j}$ $z_{j}$ ${\$ $j$ $z_{j}$ 의 오차를 모두 $\delta _{j}$ 후, 새로운 기호 $\epsilon _{k}$ $z_{k}$ $\epsilon _{k}$ {\ $displaystyle z_{$ k}{displaystyle $z_{k}}$ 에 $\delta_j$ 대한 $z_{k}$ $\delta _{j}$ $z_{k}$ ${\$ $displaystystyle z_{k}}}}{$ j $}$ 를 추가한다.따라서 반올림 오류로 인해 Z = $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha$ } X 및 $\alpha$ Z = X + Y와 같은 애피네이트 연산에도 $z_{k}\epsilon _{k}$ $z_{k}\epsilon _{k}$ $z_{k}\epsilon _{k}$ $z_{k}\epsilon _{k}$ ${\$ 이 추가된다 $z_{k}\epsilon _{k}$

반올림 오류의 처리로 AA 운영의 코드 복잡성과 실행 시간이 증가한다.그러한 오류가 중요하지 않다고 알려진 애플리케이션에서는(입력 데이터의 불확실성 및/또는 선형화 오류에 의해 지배되기 때문에), 반올림 오류 제어를 구현하지 않는 단순화된 AA 라이브러리를 사용할 수 있다.

아핀 투영 모형

아핀 산수는 다음과 같이 행렬 형태로 볼 수 있다. $X_{1},X_{2},$ $X_{1},X_{2},$ , $X_{1},X_{2},$ $X_{1},X_{2},$ , $X_{1},X_{2},$ $\dots ,$ {\ $displaystyle \dots,}$ $\dots ,$ $X_{m}$ $X_{m}$ ${\$ 을(를) 계산하는 동안 어느 지점에서 사용 중인 모든 입력 및 계산된 수량이 되도록 $X_{m}$ 한다.이러한 수량에 대한 아핀 형태는 단일 계수 행렬 A와 벡터 b로 나타낼 수 있으며, 여기서 $A_{i,j}$ $A_{i,j}$ $,$ ${\$ $displaystyle$ $A_{i}$ 는 X $A_{i,j}$ $X_{i}$ {\ $displaystyle X_{i$ 와 $\epsilon_j$ b i ${\$ 의 $b_{i}$ 아핀 형태의 기호 $\epsilon _{j}$ 인 $\epsilon _{j}$ 이다.e 그 형태의 독립된 용어Then the joint range of the quantities — that is, the range of the point $(X_{1},X_{2},$ $\dots ,$ $X_{m})$ — is the image of the hypercube $U^{n}=[-1,+1]^{n}$ by the affine map from $U^{n}$ $U^{n$ 에서 $U^n$ $R^{m}$ 까지 $R^{m}$ ${\displaystyle$ $R^{m}$ \ $epsilon }$ $\to$ → $\to$ $A\epsilon +b$ + $A\epsilon +b$ $A\epsilon +b$ 로 $정의$ 됨 $R^m$ $A\epsilon +b$

이 아핀 지도의 범위는 $X_{1},X_{2},$ $X_{1},X_{2},$ , $X_{1},X_{2},$ $X_{1},X_{2},$ , ${\displaystyle X_{1}, X_{2},$ $\dots ,$ $\dots,$ $\dots ,$ $X_{m}$ $X_{m}$ ${\$ 의 양에 대한 결합 범위를 경계하는 조노토프다 $X_{m}$ 그러므로 AA는 "조노토프 산술"이라고 말할 수 있다.AA의 각 단계에는 일반적으로 행렬 A에 행 하나와 열을 하나 더 추가해야 한다.

아핀 형태 단순화

각 AA 연산에서는 일반적으로 새로운 기호 $\epsilon _{k}$ k ${\$ 를 생성하므로 $\epsilon _{k}$ 어핀 형식의 항 수는 그것을 계산하는 데 사용되는 연산 수에 비례할 수 있다.따라서 종종 "심볼 응축" 단계를 적용해야 하는데, 여기서 두 개 이상의 기호 symbols $\epsilon _{k}$ ${\$ 가 더 작은 새로운 기호 세트로 대체된다 $\epsilon _{k}$ .기하학적으로 이것은 복잡한 조노토프 P를 둘러싸는 더 단순한 조노토프 Q로 대체하는 것을 의미한다.이 작업은 최종 조노토프의 1차 근사 속성을 파괴하지 않고 수행할 수 있다.

실행

매트릭스 구현

아핀 산술은 위에서 설명한 것처럼 글로벌 배열 A와 글로벌 벡터 b에 의해 구현될 수 있다.이 접근방식은 계산할 수량의 집합이 작고 미리 알려진 경우 합리적으로 적절하다.이 접근방식에서 프로그래머는 행 지수와 관심 수량 사이의 일치성을 외부적으로 유지해야 한다.글로벌 변수는 지금까지 계산된 첨부파일 형식(행)의 수 m과 지금까지 사용된 기호(열)의 수 n을 포함하고 있으며, 이는 각 AA 작동 시 자동으로 업데이트된다.

벡터 구현

또는 각 부착 형태는 계수의 별도 벡터로 구현될 수 있다.이 접근방식은 프로그래밍에 더 편리하며, 특히 내부적으로 AA를 사용할 수 있는 도서관 절차에 대한 요구가 있을 때 더욱 편리하다.각 아핀 형태는 니모닉 이름을 부여할 수 있다; 그것은 필요할 때 할당될 수 있고, 절차로 전달될 수 있으며, 더 이상 필요하지 않을 때 회수할 수 있다.그러면 AA 코드는 원래의 공식에 훨씬 더 가깝게 보인다.글로벌 변수는 지금까지 사용된 기호 수 n개를 보유한다.

희소 벡터 구현

상당히 긴 계산에서 (미래 계산에 사용될) "실시간" 수량 집합은 모든 계산 수량 집합보다 훨씬 작으며, "실시간" 기호 $\epsilon _{j}$ 에 대한 ditto는 o j ${\$ 이런 상황에서 매트릭스와 벡터 구현은 시간과 공간을 너무 낭비한다.

이런 상황에서는 희박한 구현을 사용해야 한다.즉, 각 어핀 형태는 쌍(j, x $x_{j}$ ${\$ 의 목록으로 저장되며, $x_{j}$ 0이 아닌 계수 x $x_{j}$ ${\$ 만을 포함하고 있다. $x_{j}$ 효율을 위해 항은 j의 순서로 정렬해야 한다.이러한 표현은 AA 운영을 다소 복잡하게 하지만, 각 운영 비용은 지금까지 사용된 총 기호 수 대신 피연산자에 나타나는 0이 아닌 용어의 수에 비례하게 된다.

이것은 LibAffa가 사용하는 표현이다.

참조

L. H. de Figueeredo와 J. Stolfi(2004) "Affine 산술: 개념과 응용"수치 알고리즘 37(1–4), 147–158.
J. L. D. 콤바와 J. 스톨피(1993) "Affine 산술과 컴퓨터 그래픽에 응용"Proc. SIBGRAPI'93 — VI 심포시오 브라실리루 데 컴포상 그라피카 e Processamento de Imagens (Recife, BR), 9–18.
L. H. de Figueeredo와 J. Stolfi(1996), "부착 산술로 암묵적 표면의 적응적 열거".컴퓨터 그래픽스 포럼, 15 5, 287–296.
W. Heidrich(1997), "일반 수학 라이브러리 함수의 첨부된 산술 버전 모음".기술 보고서 1997-3, Urniversityt Erlangen-Nürnberg.
M. 가시와기(1998), "어핀 산수를 이용한 모든 솔루션 알고리즘"NOLTA'98 — 1998년 비선형 이론 및 그 적용에 관한 국제 심포지엄(스위스 크란스-몬타나), 14–17.
L. Egiziano, N. Femia 및 G. Spagnuolo(1998) "회로 공차 및 민감도 분석에서 진정한 최악의 경우 평가에 대한 새로운 접근방법 — Part II: 아핀 산수를 이용한 외부 용액의 계산".Proc. COMPEL'98 — 제6회 파워 일렉트로닉스 컴퓨터 워크숍(이탈리아 빌라 에르바), 19–22.
W. 하이드리히, 슬뤼셀렉 박사, H.P.세이델(1998), "어핀 산술로 절차 셰이더 샘플링"ACM Transactions on Graphics, 17 3, 158–176.
F. 메신과 A.Mahfoudi(1998), "다차원 스케일링 문제를 해결하기 위해 간격 최적화 알고리즘에 아핀 산술 사용".Proc. SCAN'98 — IMACS/GAMM 국제 과학 컴퓨팅, 컴퓨터 산술 및 검증 숫자에 관한 심포지엄(Budapest, Hungry), 22–25.
A. de Cusatis Jr, L. H. Figueedo, M. Gattass(1999)의 "부착 산술적 레이 주조 표면의 중간 방법"이다.Proc. SIBGRAPI'99 — 제12회 브라질 컴퓨터 그래픽 및 이미지 처리 심포지엄, 65–71.
K. Bühler와 W. Barth(2000), "선형 구간 추정에 기초한 파라메트릭 표면의 새로운 교차 알고리즘".Proc. SCAN 2000 / Interval 2000 — 제9회 GAMM-IMACS 과학 컴퓨팅, 컴퓨터 산술 및 검증된 숫자에 관한 국제 심포지엄 ??
I. Voiculescu, J. Berchtold, A.보우이어, R. 마틴, Q. 장(2000년), "힘과 번스타인 형태의 다항식 표면 위치에 대한 중간 및 부호 산술".Proc. 표면 IX의 수학, 410–423.스프링거. ISBN1-85233-358-8
Q. 장·R. R. 마틴(2000), "곡선 그리기에 아핀 산수를 이용한 폴리노믹 평가"유로그래픽스 UK 2000 회의 49-56ISBN 0-9521097-9-4
D. Michelucci(2000), "동적 시스템을 위한 신뢰할 수 있는 연산".Proc. SCAN 2000 / Interval 2000 — 제9회 GAMM-IMACS 과학 컴퓨팅, 컴퓨터 산술 및 검증된 숫자에 관한 국제 심포지엄 ??
N. Femia와 G. Spagnuolo(2000), "유전자 알고리즘과 어핀 산술 - 파트 I"를 사용한 진정한 최악의 회로 허용오차 분석.IEEE 회로 및 시스템 거래, 479, 1285–1296.
R. 마틴, H. Shou, I.Voiculescu, 그리고 G.왕씨(2001년), "번스타인 선체와 아핀 산술법 비교 대수 곡선 그리기"Proc. 기하학적 계산의 불확실성, 143–154.클루워어 학술 출판사, ISBN 0-7923-7309-X.
A. Bowyer, R. Martin, H. Shou, 그리고 나.Voiculescu(2001), "CSG 기하학적 모델에서 Affine 간격".Proc. 기하학적 계산의 불확실성, 1–14.클루워어 학술 출판사, ISBN 0-7923-7309-X.
T. 기쿠치와 M. 가시와기(2001), "아핀 산수를 이용한 비선형 방정식 해법의 비존재 영역 제거"Proc. NOLTA'01 — 2001년 국제 비선형 이론 및 응용 심포지엄
T. 미야타·M. 가시와기(2001), 「어핀 산술의 다항식 평가」.Proc. NOLTA'01 - 2001 국제 비선형 이론 및 응용 심포지엄
Y. 가나자와와 S.오이시(2002년), "아핀 산수를 이용한 비선형 ODE에 대한 해법의 존재를 증명하는 수치적 방법"Proc. SCAN'02 — 제10회 GAMM-IMACS 과학 컴퓨팅, 컴퓨터 산술 및 검증 숫자에 관한 국제 심포지엄.
H. Shou, R. R.마티니.Voiculescu, A.Bowyer, 그리고 G.왕(2002), "다항식 평가 및 대수 곡선 도면을 위한 행렬 형식의 산술"자연과학의 진보, 121, 77–81.
A. 렘케, L. 헤드리치, E.바크(2002), "아핀 산술법을 사용한 공식 방법에 따른 아날로그 회로 크기 조정"Proc. ICCAD-2002 — 컴퓨터 보조 설계에 관한 국제 회의, 486–489.
F. 메신(2002), "어플라인 산술의 연장:제약 없는 글로벌 최적화에 적용"유니버설 컴퓨터 과학 저널, 8 11, 992–1015.
K. Bühler(2002), "불확실한 선형 간격 추정".Proc. 18회 춘계 컴퓨터 그래픽 회의(Budmerice, 슬로바키아), 123–132.ACM 프레스, ISBN 1-58113-608-0
L. H. de Figueeredo, J. Stolfi, L.벨호(2003), "아핀 산수를 사용하여 스트립 트리를 사용한 근사치 파라메트릭 곡선"컴퓨터 그래픽스 포럼, 222, 171–179.
C. F. 팽, T.첸, 그리고 R.Rutenbar(2003), "부착 산술에 기초한 부동 소수점 오차 분석".Proc. 2003년 국제 회의 음향, 음성 및 신호 처리.
A. Paiva, L. H. de Figueredo, J. Stolfi(2006)는 "어핀 산수를 사용하여 이상한 유인물을 시각화해야 한다"고 말했다.컴퓨터 & 그래픽스, 30 6, 1020– 1026.

외부 링크

[1] 스톨피의 AA 페이지.
[2] appine 산술의 LGPL 구현 LibAffaffa.
- 깃허브의 리바파
[3] 아핀 산수를 사용하여 비선형 방정식 시스템에 대한 모든 해결책을 찾는 분절 및 절삭 방법인 ASOL
[4] YalAA, appine 산술(AA)을 위한 객체 지향 C++ 기반 템플릿 라이브러리.
kv on GitHub(부착 산술 사용 가능한 C++ 라이브러리)

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